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| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 0 & 6 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Bestimmen Sie den Rang von A und Basen des Bildes und des Kerns der durch A beschriebenen lin. Abb. |
Hallo!
Durch Umformen habe ich die Matrix auf 2 linear unabhängige Zeilenvektoren reduziert:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 }, [/mm]
was nach meinem Verständnis das Bild der lin. Abbildung ist. Da die beiden Zeilenvektoren linear unabhängig sind, kann man außerdem den Rang der Matrix (=2) ablesen.
Dann hab ich den Kern [mm] \overrightarrow{x} [/mm] der Abb. bestimmt, indem ich [mm] A*\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0} [/mm] gelöst hab, wobei drei Variablen frei wählbar sind:
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{6s-3t+eu \\ -3s+t-2u \\ s \\ t \\ u}
[/mm]
Mein Problem sind jetzt die Basen (ich versteh die Aufgabe so, dass ich für Kern und Bild je eine bestimmen soll). Beim Bild kann ich die Spaltenvektoren auf 2 linear unabhängige reduzieren:
[mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 2}.
[/mm]
Das ist doch dann schon eine Basis des Bilds, oder?
Muss ich den Kern dann als Matrixprodukt umschreiben? Das sähe dann so aus: [mm] \pmat{ 6 & -3 & 3 \\ -3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\vektor{s \\ t \\ u}
[/mm]
Und dann? Ich brauche doch eigentlich 5 Vektoren mit je 5 Elementen, um eine Basis zu bekommen!?
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> Sei [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 0 & 6 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
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> Bestimmen Sie den Rang von A und Basen des Bildes und des
> Kerns der durch A beschriebenen lin. Abb.
> Hallo!
> Durch Umformen habe ich die Matrix auf 2 linear
> unabhängige Zeilenvektoren reduziert:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 2 },[/mm]
>
> was nach meinem Verständnis das Bild der lin. Abbildung
> ist. Da die beiden Zeilenvektoren linear unabhängig sind,
> kann man außerdem den Rang der Matrix (=2) ablesen.
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts, ich gehe davon aus, daß es so richtig ist.
Der Rang der Matrix ist =2, also hat das Bild die Dimension 2.
Das Bild kannst Du an der ZSF nicht direkt ablesen, aber Du kannst ablesen, welche der Startvektoren eine Basis des Bildes sind:
in der ZSF hast Du die führenden Element der Nichtnullzeilen in der 1. und 2.Spalte, also sind der 1. und 2. der ursprünglichen (!) Spaltenvektoren eine basis des Bildes.
> Dann hab ich den Kern [mm]\overrightarrow{x}[/mm] der Abb. bestimmt,
> indem ich [mm]A*\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}[/mm] gelöst
> hab, wobei drei Variablen frei wählbar sind:
>
> [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{6s-3t+u \\ -3s+t-2u \\ s \\ t \\ u}[/mm]
Ich gehe davon aus, daß Du auch hier richtig gerechnet hast.
Es hat jeder Vektor des kerns die Gestalt
[mm] \overrightarrow{x}=s\vektor{6 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\1 \\ 0}+u\vektor{1 \\ -2 \\ 0\\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Diese drei Vektoren bilden eine Basis des Kerns.
I
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> Mein Problem sind jetzt die Basen (ich versteh die Aufgabe
> so, dass ich für Kern und Bild je eine bestimmen soll).
> Beim Bild kann ich die Spaltenvektoren auf 2 linear
> unabhängige reduzieren:
> [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ 2}.[/mm]
Ich hatte das oben jja erklärt. Das, was Du hier tust, ist aber großer Quatsch, denn Deine Abbildung geht ja in den [mm] \IR^3, [/mm] und schon deshalb können diese beiden Vektörchen keine Basis des Bildes sein.
> Und dann? Ich brauche doch eigentlich 5 Vektoren mit je 5
> Elementen, um eine Basis zu bekommen!?
Kommt drauf an, wovon. Für 'ne basis des [mm] \IR^5 [/mm] brauchst Du das. Aber hier geht's doch um kern und Bild.
Gruß v. Angela
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Das hat geholfen... Danke!
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