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| Aufgabe | Wir definieren A [mm] \in [/mm] M2x3 durch [mm] A:=\pmat{ 2 & 8 & 6 \\ 1 & 4 & 3 }
[/mm]
1. Bestimme eine Basis von Ker(A)
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Hallo schon wieder!
Ich weiß nicht, wie man eine Basis von Ker(A) berechnet...Zuerst muss man ja den Kern von A berechnen und das geht (glaube ich), indem man de Matrix auf Zeilenstufenformbringt...aber wie geht das?
Oder die Matrix gleich Null setzen, aber dann erhalte ich 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten....Ich verstehe das irgendwie nicht...Es wäre schön, wenn ihr mir noch einmal helfen könntet!
LG
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> Wir definieren A [mm]\in[/mm] M2x3 durch [mm]A:=\pmat{ 2 & 8 & 6 \\ 1 & 4 & 3 }[/mm]
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> 1. Bestimme eine Basis von Ker(A)
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> Hallo schon wieder!
> Ich weiß nicht, wie man eine Basis von Ker(A)
> berechnet...Zuerst muss man ja den Kern von A berechnen und
> das geht (glaube ich), indem man de Matrix auf
> Zeilenstufenformbringt...aber wie geht das?
> Oder die Matrix gleich Null setzen, aber dann erhalte ich 2
> Gleichungen mit 3 Unbekannten....Ich verstehe das irgendwie
> nicht...Es wäre schön, wenn ihr mir noch einmal helfen
> könntet!
Hallo,
beides kannst Du tun, Zeilenstufenform ist eigentlich nur eine (schreib-)arbeitsparende Art fürs zweite.
Es geht ja darum, die Lösungen für Ax=0 zu finden, denn der Kern ist ja die Gesamtheit dessen, was auf die Null abgebildet wird.
Ich mach Dir das jetzt mal mit der Zeilenstufenform vor:
[mm] \pmat{ 2 & 8 & 6 \\ 1 & 4 & 3 }
[/mm]
[mm] -->\pmat{ 2 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] -->\pmat{ 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Der Rang der Matrix ist also =1.
Da wir 3 Variable haben, können wir 3-RangA=3-1=2 Variable völlig frei wählen.
sei etwa
[mm] x_2=r,
[/mm]
[mm] x_3=s [/mm] mit r,s [mm] \in \IR.
[/mm]
Dann ist (aus der 1.Matrixzeile)
[mm] x_1=0-4x_2-3x_3=-4r-3s.
[/mm]
Die Lösungen [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} [/mm] des GS haben also die Gestalt
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}=\vektor{-4r-3s \\ r\\ s}=r\vektor{-4 \\ 1\\ 0}+s\vektor{-3 \\ 0\\ 1} [/mm] mit r,s [mm] \in \IR
[/mm]
Das bedeutet, daß der Lösungsraum aufgespannt wird von [mm] \vektor{-4 \\ 1\\ 0}und\vektor{-3 \\ 0\\ 1}, [/mm] denn sämtliche Linearkombinationen der beiden lösen das System.
Also ist KernA=< [mm] \vektor{-4 \\ 1\\ 0},\vektor{-3 \\ 0\\ 1}>.
[/mm]
Da in der Überschrift auch noch was von Im(A) steht:
Das Bild wird erzeugt von den Spaltenvektoren der Matrix.
Wenn nach einer Basis des Bildes gefragt ist, mußt Du eine max. linear unabhängige Teilmenge dieser Spaltenvektoren herausfinden.
Da Du Dich wohl gerade auf eine Klausur vorbereitest, solltest Du das Bestimmen des Kerns unbedingt noch an ein paar Beispielen üben.
Noch eine Bem. zum Kern:
Es lohnt sich auch, wenn man sich merkt, daß eine lineare Abbildung genau dann injektiv ist, wenn ihr Kern nur den Nullvektor enthält. (Ich kann mir kaum eine Lineare Algebra 1-Klausur vorstellen, in welcher man das nicht irgendwo wissen muß.)
Gruß v. Angela
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Der Rang der Matrix ist also =1. --> das verstehe ich
Da wir 3 Variable haben, können wir 3-RangA=3-1=2 Variable völlig frei wählen. --> das auch
und das einsetzen für x2 und x3 auch...aber bei dem rest hört es irgenwie bei mir auf?!
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> Der Rang der Matrix ist also =1. --> das verstehe ich
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> Da wir 3 Variable haben, können wir 3-RangA=3-1=2 Variable
> völlig frei wählen. --> das auch
> und das einsetzen für x2 und x3 auch...aber bei dem rest
> hört es irgenwie bei mir auf?!
Hallo,
sollte es daran liegen, daß ich den Formeleditor nicht richtig verwendet hatte...
Ich hab's eben bearbeitet, jetzt sind die geplanten Vektoren tatsächlich als solche zu lesen.
Vielleicht klärt sich damit manches.
Falls nicht, müßtest Du
>aber bei dem rest
> hört es irgenwie bei mir auf?!
noch etwas spezifizieren.
Gruß v. Angela
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Ja, jetzt hab ich es auch ;o) danke!
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