Basis von Kern/Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mo 26.07.2010 | | Autor: | papilio |
| Aufgabe | Es sei A:= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & -1 } [/mm] aus [mm] Q^{2x2} [/mm] und [mm] f:Q^{2x2} [/mm] -> [mm] Q^{2x2} [/mm] die Abbildung, die durch die Vorschrieft f(b)=b*A für alle B aus [mm] Q^{2x2} [/mm] definiert ist.
Weiter seien die geordneten Basen [mm] B=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &1 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 1 &0 },\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 0 }) [/mm] und [mm] C=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\0 & 1 }).
[/mm]
a)Berechne die Abbildungsmatrix [mm] M^{B}_{C} [/mm] (f)
b)Geben Sie eine Basis von Kern(f)an
c)Geben Sie eine Basis von Bild(f)an |
Hallo,
zu a) [mm] M^{B}_{C} [/mm] (f) = [mm] \pmat{ 1 & 1& 0& 0 \\ 1 & 1& 0& 0 \\ -1& 1& 1& -1\\ -1 & 1& 1& -1} [/mm]
zu b) Die Basis vom Kern kann ich auf zwei Arten lösen,
1. [mm] M^{B}_{C} [/mm] (f)*x=0
2. f(b)=0
zu2) f(b)=0 ..... -> [mm] b_{11}=b_{12} [/mm] und [mm] b_{21}=b_{22} [/mm] dann wähle ich einfach [mm] b_{11}=b_{12}=1 [/mm] und [mm] b_{21}=b_{22} [/mm] =-1, damit erhalte ich Kern f [mm] <\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & -1 }>
[/mm]
zu1) [mm] M^{B}_{C} [/mm] (f)*x=0 dann erhalte ich, wenn ich x1=1 und x3=1 setze [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 }, [/mm] wie schreibe ich das denn jetzt auf? So: Kern f [mm] <\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 }>?
[/mm]
zu c) Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie man die Basis eines Bildes berechnet.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann, der sich mit dem Thema auskennt.
Viele Grüße
papilio
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Hallo papilio,
> Es sei A:= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & -1 }[/mm] aus [mm]Q^{2x2}[/mm] und
> [mm]f:Q^{2x2}[/mm] -> [mm]Q^{2x2}[/mm] die Abbildung, die durch die
> Vorschrieft f(b)=b*A für alle B aus [mm]Q^{2x2}[/mm] definiert
> ist.
> Weiter seien die geordneten Basen [mm]B=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &1 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 1 &0 },\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 0 })[/mm]
> und [mm]C=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\0 & 1 }).[/mm]
>
> a)Berechne die Abbildungsmatrix [mm]M^{B}_{C}[/mm] (f)
> b)Geben Sie eine Basis von Kern(f)an
> c)Geben Sie eine Basis von Bild(f)an
> Hallo,
>
> zu a) [mm]M^{B}_{C}[/mm] (f) = [mm]\pmat{ 1 & 1& 0& 0 \\ 1 & 1& 0& 0 \\ -1& 1& 1& -1\\ -1 & 1& 1& -1}[/mm]
Rechne diese Abbildungsmatrix nochmal nach.
>
> zu b) Die Basis vom Kern kann ich auf zwei Arten lösen,
> 1. [mm]M^{B}_{C}[/mm] (f)*x=0
> 2. f(b)=0
>
> zu2) f(b)=0 ..... -> [mm]b_{11}=b_{12}[/mm] und [mm]b_{21}=b_{22}[/mm] dann
> wähle ich einfach [mm]b_{11}=b_{12}=1[/mm] und [mm]b_{21}=b_{22}[/mm] =-1,
> damit erhalte ich Kern f [mm]<\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & -1 }>[/mm]
Zunächst sind das alle Matrizen der Form:
[mm]\pmat{b_{11} & b_{11} \\ b_{21} & b_{21}}[/mm]
Das kann jetzt so geschrieben werden:
[mm]=b_{11}*\pmat{1 & 1 \\ 0 & 0}+b_{21}*\pmat{0 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
Dann ist
[mm]\operatorname{Kern}\left(f\right)= \ < \pmat{1 & 1 \\ 0 & 0} , \pmat{0 & 0 \\ 1 & 1}>[/mm]
>
> zu1) [mm]M^{B}_{C}[/mm] (f)*x=0 dann erhalte ich, wenn ich x1=1 und
> x3=1 setze [mm]\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 },[/mm] wie schreibe ich
> das denn jetzt auf? So: Kern f [mm]<\pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 }>?[/mm]
>
> zu c) Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie man die Basis
> eines Bildes berechnet.
Bilde hier die Basiselemente z.B. von B ab,
und bestimme hieraus eine Basis des Bildes.
>
> Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann, der sich mit dem
> Thema auskennt.
>
> Viele Grüße
> papilio
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mo 26.07.2010 | | Autor: | papilio |
zur Abbildungsmatrix:
Ich habe die beiden Basen:
[mm] B=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &1 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 1 &0 },\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 0 })
[/mm]
[mm] C=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\0 & 1 })
[/mm]
Dann berechne ich doch erst [mm] f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &1 })= \pmat{ 1 & 1 \\ -1 &-1 }
[/mm]
dann setze ich [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 &-1 } [/mm] = a1 [mm] *\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &0} [/mm] + a2 [mm] *\pmat{ 0 & 1 \\ 0 &0 } [/mm] + a3 [mm] *\pmat{ 0 & 0 \\ 1 &0 } [/mm] + a4 [mm] *\pmat{ 0 & 0 \\ 0 &1 } [/mm]
dann bekomme ich für [mm] \pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 \\ a4} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
das ist doch dann die erste Spalte meiner Abbildungsmatrix, oder habe ich das falsch verstanden?
Mit den anderen spalten verfahre ich analog.
Bis ich [mm] M^{B}_{C} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1& 0& 0 \\ 1 & 1& 0& 0 \\ -1& 1& 1& -1\\ -1 & 1& 1& -1} [/mm] bekomme.
Was genau meinst du mit Basiselementen?
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> zur Abbildungsmatrix:
> Ich habe die beiden Basen:
> [mm]B=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &1 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 1 &0 },\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 0 })[/mm]
>
> [mm]C=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\0 & 1 })[/mm]
>
> Dann berechne ich doch erst [mm]f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &1 })= \pmat{ 1 & 1 \\ -1 &-1 }[/mm]
>
> dann setze ich [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -1 &-1 }[/mm] = a1 [mm]*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &0}[/mm]
> + a2 [mm]*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 &0 }[/mm] + a3 [mm]*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 &0 }[/mm] +
> a4 [mm]*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 &1 }[/mm]
>
> dann bekomme ich für [mm]\pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 \\ a4}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
>
> das ist doch dann die erste Spalte meiner Abbildungsmatrix,
> oder habe ich das falsch verstanden?
Hallo,
Du hast das richtig verstanden, aber Du hast nicht alle Funktionswerte richtig berechnet.
>
> Mit den anderen spalten verfahre ich analog.
> Bis ich [mm]M^{B}_{C}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1& 0& 0 \\ 1 & 1& 0& 0 \\ -1& 1& 1& -1\\ -1 & 1& 1& -1}[/mm]
> bekomme.
>
>
> Was genau meinst du mit Basiselementen?
Wenn [mm] B:=(B_1, B_2, B_3, B_4) [/mm] irgendeine Basis ist, dann wird das Bild von f aufgespannt von den [mm] f(B_i), [/mm] dh. Bild [mm] f=.
[/mm]
Man weiß, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält. Fische also aus [mm] f(B_1),..., f(B_4) [/mm] eine max. linear unabhängige Teilmenge ab, damit hast Du eine basis des Bildes.
Ansonsten weißt Du sicher, daß man Bild und Kern mithilfe der Darstellungsmatrix (Zeilenstufenform) bestimmen kann. Das geht hier natürlich auch - die erhaltenen Spaltenvektoren sind halt Koordinatenvektoren bzgl. B (beim Bild) bzw. bzgl. C (beim Kern).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 27.07.2010 | | Autor: | papilio |
Ich habe die Abbildungsmatrix nochmal nachgerechnet und irgendwie habe ich ein Brett vorm Kopf, ich finde den Fehler einfach nicht.
Hier mal meine Rechnung:
[mm] f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &1 })= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 &1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 &-1 } =\pmat{ 1 & 1 \\ -1 &-1 }
[/mm]
Dann setze ich [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 &-1 } [/mm] = a1 [mm] \cdot{}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &0}+ a2\cdot{}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 &0 } [/mm] + [mm] a3\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\ 1 &0 }+ a4\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 &1 } [/mm] und bekomme [mm] \pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 \\ a4}=\pmat{ 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1} [/mm] als meine erste Spalte.
Weiter mit
[mm] f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &-1 })= \pmat{ 1 & 1 \\ 1 &1 }
[/mm]
Dann setze ich [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 &1 } [/mm] = a1 [mm] \cdot{}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &0}+ a2\cdot{}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 &0 } [/mm] + [mm] a3\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\ 1 &0 }+ a4\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 &1 } [/mm] und bekomme [mm] \pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 \\ a4}=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] als meine zweite Spalte.
Weiter mit
[mm] f(\pmat{ 0 & 0 \\ 1 &0})= \pmat{ 0 & 0 \\ 1 &1 }
[/mm]
Dann setze ich [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 &1 } [/mm] = a1 [mm] \cdot{}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &0}+ a2\cdot{}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 &0 } [/mm] + [mm] a3\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\ 1 &0 }+ a4\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 &1 } [/mm] und bekomme [mm] \pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 \\ a4}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] als meine dritte Spalte.
Weiter mit
[mm] f(\pmat{ 0 & 0 \\ 0 &1 })= \pmat{ 0 & 0 \\ -1 &-1 }
[/mm]
Dann setze ich [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 &1 } [/mm] = a1 [mm] \cdot{}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 &0}+ a2\cdot{}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 &0 } [/mm] + [mm] a3\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\ 1 &0 }+ a4\cdot{}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 &1 } [/mm] und bekomme [mm] \pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 \\ a4}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -1} [/mm] als meine letzte Spalte.
[mm] M^{B}_{C} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1& 0& 0 \\ 1 & 1& 0& 0 \\ -1& 1& 1& -1\\ -1 & 1& 1& -1}
[/mm]
Wo genau habe ich mich verrechnet?
Zum Bild:
Bild f=<f(b1),..,f(b4)> ->
Bild f =< [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 &-1 }, \pmat{ 1 & 1 \\ 1 &1 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 &1 }, \pmat{ 0 & 0 \\ -1 &-1 }> [/mm] und jetzt hierraus die max. lineare Teilmenge.
Heißt das: Bild f =< [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 &0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 &1 }, \pmat{ 0 & 0 \\ -1 &-1 }> [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 27.07.2010 | | Autor: | papilio |
Ohh.... Danke, sowas darf aber eigentlich nicht passieren... XD
Und ist dievIdee mit dem Bild richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Di 27.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
Bild f=<f(b1),..,f(b4)>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
$ [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 &1 }, \pmat{ 0 & 0 \\ -1 &-1 } [/mm] $ sind linear abhängig.
Wie wählst Du eine Teilmenge aus, die linear unabhängig ist?
Gruß meili
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
