Basis von Kern(f) und Bild(f) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mo 30.11.2009 | | Autor: | donald |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum mit V = [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] und sei der Endomorphismus f: V [mm] \to [/mm] V definiert durch f(x,y,z) = (x+2x+2z, y, 3x+z).
Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) und Bild(f). |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe leider keine Ahnung wie ich genau vorgehen muss um die Basen auszurechnen. Außerdem handelt es sich hier um einen Endomorphismus also eine Abb. der Form f(x) = x. Es ist es dann nicht so, dass auch nur der Nullvektor auf Null abgebildet wird??
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mo 30.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo donald,
da musst Du aber etwas schrecklich missverstanden haben!
Ein Endomorphismus ist allgemein eine lineare Abbildung (Homomorphismus) eines Vektorraumes in sich; das von Dir angegebene f(x) = x ist lediglich ein Beispiel (die Identität) für einen Endomorphismus, aber mehr nicht.
Der in der Aufgabenstellung vorgegebene Endomorphismus sieht ganz anders aus.
Nun wie bestimmt man Kef und Bif?
Der Kern von f ist nach Definition die Menge der x, die von f auf 0 abgebildet werden, also eigentlich die Lösung der Gleichung f(x) = 0. Da der Kern ein Unterraum von V ist, hat er eine Basis, sofern er nicht nur die 0 enthält. Die ergibt sich als linear unabhängige Menge aus eben diesem Gleichungssystem.
Das Bild von f ist bekanntlich die Menge der Funktionswerte f(x) mit x [mm] \in [/mm] V.
Auch das Bild ist ein Unterraum von V. Bei der Bestimmung kann man auch ausnutzen, dass dim(Bild(f)) + dim(Kern(f)) = n ist, also die bei Kef bestimmten Basisvektoren nur zu einer Basis von V ergänzt werden müssen; diese bilden dann die Basis von Bif.
Gruß
Uli
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