Basis von P_2(\IR) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f(x) ein Polynom von Grad n in [mm] P_2(\IR). [/mm] Zeige, dass jedes Polynom $ g(x) [mm] \in P_2(\IR) [/mm] $ zu schreiben ist als
$ [mm] c_0f(x)+c_1f'(x)+\cdots+c_nf^{(n)}(x) [/mm] $
für bestimmte [mm] c_i \in \IR. [/mm] |
Hallo,
Ich frage mich, wie ich hier anfangen soll. Man muss beweisen, dass ein Polynom und seine Ableitungen sowohl linear unabhängig sind (das muss ich hier nicht machen, weil wir das schon hergeleitet haben), als auch ein minimales Erzeugendensystem bilden. Alternativ kann man auch mit dem Wissen, dass lineare Unabhängigkeit gilt und was die Dimension der Basis ist, folgern, dass das Polynom und die Ableitungen ein minimales Erzeugendensystem bilden.
Ich weiß jetzt allerdings nicht, was der Ansatz ist und wie ich hier vorgehen soll. Generell find ich es schwer, zu bestimmen, ob etwas ein min. Erzeugendensystem bildet. Vielleicht kann hier auch jemand kurz drauf eingehen.
Vielen Dank schon mal im Voraus :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Fr 19.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f(x) ein Polynom von Grad n in [mm]P_2(\IR).[/mm]
Du meinst [mm] $P_n(\IR),$ [/mm] oder?
> Zeige, dass
> jedes Polynom [mm]g(x) \in P_2(\IR)[/mm]
S.o.!
> zu schreiben ist als
>
> [mm]c_0f(x)+c_1f'(x)+\cdots+c_nf^{(n)}(x)[/mm]
>
> für bestimmte [mm]c_i \in \IR.[/mm]
> Hallo,
>
> Ich frage mich, wie ich hier anfangen soll. Man muss
> beweisen, dass ein Polynom und seine Ableitungen sowohl
> linear unabhängig sind (das muss ich hier nicht machen,
> weil wir das schon hergeleitet haben), als auch ein
> minimales Erzeugendensystem bilden. Alternativ kann man
> auch mit dem Wissen, dass lineare Unabhängigkeit gilt und
> was die Dimension der Basis ist, folgern, dass das Polynom
> und die Ableitungen ein minimales Erzeugendensystem bilden.
>
> Ich weiß jetzt allerdings nicht, was der Ansatz ist und
> wie ich hier vorgehen soll.
Begründe nur kurz, dass [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] die Dimension [mm] $n+1\,$ [/mm] hat (Kurzfassung
wäre: Monome bilden Basis).
Es wurde
hier (klick!),
worauf Du oben ja hingewiesen hast, bereits gezeigt, dass
[mm] $(f^{(k)})_{k=0}^{n}$
[/mm]
eine linear unabhängige Familie in [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] ist. Damit ist das auch eine Basis
von [mm] $P_n(\IR)$ [/mm]
(denn in dieser Familie stehen [mm] $n+1\,$ [/mm] Elemente!) und Basen sind insbesondere
Erzeugendensysteme. Damit hat man sogar "die Eindeutigkeit solcher [mm] $c_m=c_m(g)$ [/mm] für
$m=0,...,n$, wobei $g(x) [mm] \in P_n(\IR)$ [/mm] fest".
> Generell find ich es schwer, zu
> bestimmen, ob etwas ein min. Erzeugendensystem bildet.
> Vielleicht kann hier auch jemand kurz drauf eingehen.
Sei [mm] $V\,$ [/mm] ein Vektorraum über dem Körper [mm] $K\,.$ [/mm] Eine Teilmenge
$T [mm] \subseteqq [/mm] V$
heißt Erzeugendensystem, wenn gilt:
Für jedes $v [mm] \in [/mm] V$ existiert ein $N(v) [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass es Vektoren
[mm] $b_1=b_1(v),..., b_N=b_{N(v)}(v) \in [/mm] T$ und Skalare [mm] $\lambda_1(v)=\lambda_1,...,\lambda_N=\lambda_N(v) \in [/mm] K$
so gibt, dass
[mm] $v=\sum_{k=1}^{N} \lambda_k b_k$
[/mm]
geschrieben werden kann.
Kurzgesagt: Für jeden Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ kann man eine endliche Teilmenge von [mm] $T\,$
[/mm]
auswählen, so dass sich [mm] $v\,$ [/mm] als Linearkombination der Elemente dieser endlichen
Teilmenge schreiben läßt. Beachte dabei, dass oben gesagt wird, dass die
Wahl der Teilmengen variieren darf, wenn [mm] $v\,$ [/mm] variiert. Es steht ja:
"Für jedes [mm] $v\,$ [/mm] existiert ein [mm] $N\,$ [/mm] mit..."
Würde man
"Es existiert ein [mm] $N\,$ [/mm] und [mm] $b_1,...,b_N \in [/mm] T$ so, dass für jedes [mm] $v\,$ [/mm] ..."
schreiben, dann wäre das etwas anderes. ("Universelle Fassung.")
Die obige Definition des Erzeugendensystems ist halt gut für unendlich
dimensionale Vektorräume. Bei endlich dimensionalen Vektorräumen könnte
man auch die "Universelle Fassung" benutzen. Aber das nur nebenbei.
Übrigens folgt aus der Definition oben direkt, dass
[mm] $V\,$
[/mm]
selbst ein EZS für [mm] $V\,$ [/mm] ist. (Bei der "Universellen Fassung" würde man das
nicht hinbekommen. Wir könnten dann ja nur einen endlich dimensionalen
Unterraum von [mm] $V\,$ [/mm] mit einer endlichen Teilmenge von [mm] $V\,$ [/mm] erzeugen.)
Warum? Naja, es sei [mm] $T=V\,.$ [/mm] Für $v [mm] \in [/mm] V$ ist dann
$v [mm] \in [/mm] T$
darstellbar als
[mm] $v=1*v\,,$
[/mm]
und es ist [mm] $1=1_K \in [/mm] K$ und $v [mm] \in \{v\} \subseteqq [/mm] T$ und [mm] $|\{v\}|=1\,.$
[/mm]
Zur Minimalität:
Ein EZS
$T [mm] \subseteqq [/mm] V$ von [mm] $V\,$
[/mm]
heißt minimal, wenn gilt:
Für jedes $t [mm] \in [/mm] T$ ist
$T [mm] \setminus \{t\}$ [/mm] KEIN EZS von [mm] $V\,.$ [/mm]
Kurzgesagt: Entfernt man
auch nur ein Element aus dem EZS [mm] $T\,$ [/mm] von [mm] $V\,,$
[/mm]
so "zerstört man bei [mm] $T\,$ [/mm] die Eigenschaft des EZS".
Alternativ:
Ein EZS [mm] $T\,$ [/mm] von [mm] $V\,$ [/mm] heißt minimal, wenn gilt: Für jedes $t [mm] \in [/mm] T$ ist
[mm] $t\,$ [/mm] kein Element des Spans, der durch $T [mm] \setminus \{t\}$ [/mm] gebildet wird.
Diese Definitionen sind natürlich gleichwertig.
Im Falle, dass [mm] $V\,$ [/mm] endlichdimensional ist, läßt sich das Ganze aber noch
vereinfachen:
Man kann hier sagen, dass $T [mm] \subseteqq [/mm] V$ genau dann ein EZS von [mm] $V\,$ [/mm] ist, wenn
es eine endliche Teilmenge [mm] $E=\{b_1,...,b_M\} \subseteqq [/mm] T$ so gibt, dass gilt:
Für jedes $v [mm] \in [/mm] V$ existieren [mm] $\lambda_1,...,\lambda_{M} \in [/mm] K$ mit
[mm] $v=\sum_{m=1}^{M}\lambda_m b_m\,.$
[/mm]
Dieses Menge [mm] $E\,$ [/mm] kann dann "universell" betrachtet werden, sie braucht nicht
mehr zu variieren, wenn [mm] $v\,$ [/mm] variiert.
Insbesondere gilt: Ist $T [mm] \subseteqq [/mm] V$ ein Erzeugendensystem und ist $E [mm] \subseteqq [/mm] T$
wie oben, dann ist auch [mm] $E\,$ [/mm] ein Erzeugendensystem.
Daher ergibt sich insbesondere, dass man im Falle der Endlichdimensionalität
eines [mm] $K\,$-Vektorraums $V\,$ [/mm] sagen kann:
Ein minimales Erzeugendensystem von [mm] $V\,$ [/mm] ist eine endliche(!) Teilmenge $E [mm] \subseteqq [/mm] V$
derart, dass gilt:
Für jedes $e [mm] \in [/mm] E$ ist
[mm] $\text{linspan}(E \setminus \{e\}) \subsetneqq V\,,$
[/mm]
d.h.
$E [mm] \setminus \{e\}$ [/mm] ist kein EZS von [mm] $V\,.$
[/mm]
Merken sollte man sich: Jedes EZS von [mm] $V\,$ [/mm] hat hier immer [mm] $\ge \underbrace{\dim(V)}_{< \infty}$ [/mm] Elemente.
Um ein minimales EZS zu finden, reicht es, erst mal ein endliches EZS zu finden
(beachte die Endlichdimensionalität von [mm] $V\,$!). [/mm] Und aus diesem können wir
dann durch "sukzessives Entfernen geeigneter Elemente" eine Basis von [mm] $V\,$
[/mm]
basteln.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Hallo,
>
> > Sei f(x) ein Polynom von Grad n in [mm]P_2(\IR).[/mm]
>
> Du meinst [mm]P_n(\IR),[/mm] oder?
Ja, ich meinte in der Tat [mm] P_n(\IR). [/mm] War ein Tippfehler.
>
> > Zeige, dass
> > jedes Polynom [mm]g(x) \in P_2(\IR)[/mm]
>
> S.o.!
>
> > zu schreiben ist als
> >
> > [mm]c_0f(x)+c_1f'(x)+\cdots+c_nf^{(n)}(x)[/mm]
> >
> > für bestimmte [mm]c_i \in \IR.[/mm]
> > Hallo,
> >
> > Ich frage mich, wie ich hier anfangen soll. Man muss
> > beweisen, dass ein Polynom und seine Ableitungen sowohl
> > linear unabhängig sind (das muss ich hier nicht machen,
> > weil wir das schon hergeleitet haben), als auch ein
> > minimales Erzeugendensystem bilden. Alternativ kann man
> > auch mit dem Wissen, dass lineare Unabhängigkeit gilt und
> > was die Dimension der Basis ist, folgern, dass das Polynom
> > und die Ableitungen ein minimales Erzeugendensystem bilden.
> >
> > Ich weiß jetzt allerdings nicht, was der Ansatz ist und
> > wie ich hier vorgehen soll.
>
> Begründe nur kurz, dass [mm]P_n(\IR)[/mm] die Dimension [mm]n+1\,[/mm] hat
> (Kurzfassung
> wäre: Monome bilden Basis).
Könnte ich hier einfach sagen, dass die Monome
$ [mm] x^n, x^{n-1}, \ldots, [/mm] x, 1 (= [mm] x^0) [/mm] $
eine Basis für [mm] P_n(\IR) [/mm] bilden, ohne das zu beweisen? Dann könnte ich ja wirklich sagen, dass $ [mm] dim(P_n(\IR)) [/mm] = n+1 $ gilt und damit, dass die Basis und der Vektorraum die gleiche Dimension haben. Wenn ich es noch beweisen muss, muss ich ja zeigen, dass die Monome linear unabhängig (das sieht man ja schnell) und ein minimales Erzeugendensystem bilden, oder? Zur Sicherheit versuch ich das mal.
Um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen, kann ich ein lineares Gleichungssystem aufstellen, das in Matrixform eigentlich die Einheitsmatrix ist:
$ [mm] a_nx^n [/mm] = 0 $
$ [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] = 0 $
[mm] \vdots
[/mm]
$ [mm] a_0x^0 [/mm] = 0 $
Daraus ergibt sich dann automatisch, dass alle Koeffizienten $ [mm] a_i \in \IR [/mm] = 0 $.
Wenn ich jetzt jedes Polynom $ g(x) = [mm] c_nx^n [/mm] + [mm] c_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] c_0x^0, c_i \in \IR [/mm] $ erzeugen will, kann ich schreiben:
$ [mm] a_nx^n [/mm] = [mm] c_nx^n [/mm] $
$ [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] = [mm] c_{n-1}x^{n-1} [/mm] $
[mm] \vdots
[/mm]
$ [mm] a_0x^0 [/mm] = [mm] c_0x^0 [/mm] $
Hieraus folgt dann, dass man mit Hilfe der oben genannten Monome jedes Polynom erzeugen kann.
Wäre dann hiermit bewiesen, dass $ [mm] x^n, x^{n-1}, \ldots, [/mm] x, 1 $ eine Basis für [mm] P_n(\IR) [/mm] bilden? Anders gefragt: Ist hiermit bewiesen, dass
$ c_0f(x) + c_1f'(x) + [mm] \ldots [/mm] + [mm] c_nf^{(n)}(x) [/mm] $
mit bestimmten $ [mm] c_i \in \IR [/mm] $ eine Basis für [mm] P_n(\IR) [/mm] ist?
> Es wurde
>
> hier (klick!),
>
> worauf Du oben ja hingewiesen hast, bereits gezeigt, dass
>
> [mm](f^{(k)})_{k=0}^{n}[/mm]
>
> eine linear unabhängige Familie in [mm]P_n(\IR)[/mm] ist. Damit ist
> das auch eine Basis
> von [mm]P_n(\IR)[/mm]
> (denn in dieser Familie stehen [mm]n+1\,[/mm] Elemente!) und Basen
> sind insbesondere
> Erzeugendensysteme. Damit hat man sogar "die Eindeutigkeit
> solcher [mm]c_m=c_m(g)[/mm] für
> [mm]m=0,...,n[/mm], wobei [mm]g(x) \in P_n(\IR)[/mm] fest".
>
> > Generell find ich es schwer, zu
> > bestimmen, ob etwas ein min. Erzeugendensystem bildet.
> > Vielleicht kann hier auch jemand kurz drauf eingehen.
>
> Sei [mm]V\,[/mm] ein Vektorraum über dem Körper [mm]K\,.[/mm] Eine
> Teilmenge
>
> [mm]T \subseteqq V[/mm]
>
> heißt Erzeugendensystem, wenn gilt:
> Für jedes [mm]v \in V[/mm] existiert ein [mm]N(v) \in \IN[/mm] so, dass es
> Vektoren
>
> [mm]b_1=b_1(v),..., b_N=b_{N(v)}(v) \in T[/mm] und Skalare
> [mm]\lambda_1(v)=\lambda_1,...,\lambda_N=\lambda_N(v) \in K[/mm]
>
> so gibt, dass
>
> [mm]v=\sum_{k=1}^{N} \lambda_k b_k[/mm]
>
> geschrieben werden kann.
>
> Kurzgesagt: Für jeden Vektor [mm]v \in V[/mm] kann man eine
> endliche Teilmenge von [mm]T\,[/mm]
> auswählen, so dass sich [mm]v\,[/mm] als Linearkombination der
> Elemente dieser endlichen
> Teilmenge schreiben läßt. Beachte dabei, dass oben
> gesagt wird, dass die
> Wahl der Teilmengen variieren darf, wenn [mm]v\,[/mm] variiert. Es
> steht ja:
> "Für jedes [mm]v\,[/mm] existiert ein [mm]N\,[/mm] mit..."
>
> Würde man
> "Es existiert ein [mm]N\,[/mm] und [mm]b_1,...,b_N \in T[/mm] so, dass für
> jedes [mm]v\,[/mm] ..."
> schreiben, dann wäre das etwas anderes. ("Universelle
> Fassung.")
>
> Die obige Definition des Erzeugendensystems ist halt gut
> für unendlich
> dimensionale Vektorräume. Bei endlich dimensionalen
> Vektorräumen könnte
> man auch die "Universelle Fassung" benutzen. Aber das nur
> nebenbei.
>
> Übrigens folgt aus der Definition oben direkt, dass
>
> [mm]V\,[/mm]
>
> selbst ein EZS für [mm]V\,[/mm] ist. (Bei der "Universellen
> Fassung" würde man das
> nicht hinbekommen. Wir könnten dann ja nur einen endlich
> dimensionalen
> Unterraum von [mm]V\,[/mm] mit einer endlichen Teilmenge von [mm]V\,[/mm]
> erzeugen.)
>
> Warum? Naja, es sei [mm]T=V\,.[/mm] Für [mm]v \in V[/mm] ist dann
>
> [mm]v \in T[/mm]
>
> darstellbar als
>
> [mm]v=1*v\,,[/mm]
>
> und es ist [mm]1=1_K \in K[/mm] und [mm]v \in \{v\} \subseteqq T[/mm] und
> [mm]|\{v\}|=1\,.[/mm]
>
> Zur Minimalität:
> Ein EZS
>
> [mm]T \subseteqq V[/mm] von [mm]V\,[/mm]
>
> heißt minimal, wenn gilt:
> Für jedes [mm]t \in T[/mm] ist
>
> [mm]T \setminus \{t\}[/mm] KEIN EZS von [mm]V\,.[/mm]
>
> Kurzgesagt: Entfernt man
>
> auch nur ein Element aus dem EZS [mm]T\,[/mm] von [mm]V\,,[/mm]
>
> so "zerstört man bei [mm]T\,[/mm] die Eigenschaft des EZS".
>
> Alternativ:
> Ein EZS [mm]T\,[/mm] von [mm]V\,[/mm] heißt minimal, wenn gilt: Für jedes
> [mm]t \in T[/mm] ist
>
> [mm]t\,[/mm] kein Element des Spans, der durch [mm]T \setminus \{t\}[/mm]
> gebildet wird.
>
> Diese Definitionen sind natürlich gleichwertig.
>
> Im Falle, dass [mm]V\,[/mm] endlichdimensional ist, läßt sich das
> Ganze aber noch
> vereinfachen:
> Man kann hier sagen, dass [mm]T \subseteqq V[/mm] genau dann ein
> EZS von [mm]V\,[/mm] ist, wenn
> es eine endliche Teilmenge [mm]E=\{b_1,...,b_M\} \subseteqq T[/mm]
> so gibt, dass gilt:
> Für jedes [mm]v \in V[/mm] existieren [mm]\lambda_1,...,\lambda_{M} \in K[/mm]
> mit
>
> [mm]v=\sum_{m=1}^{M}\lambda_m b_m\,.[/mm]
>
> Dieses Menge [mm]E\,[/mm] kann dann "universell" betrachtet werden,
> sie braucht nicht
> mehr zu variieren, wenn [mm]v\,[/mm] variiert.
>
> Insbesondere gilt: Ist [mm]T \subseteqq V[/mm] ein Erzeugendensystem
> und ist [mm]E \subseteqq T[/mm]
> wie oben, dann ist auch [mm]E\,[/mm] ein
> Erzeugendensystem.
>
> Daher ergibt sich insbesondere, dass man im Falle der
> Endlichdimensionalität
> eines [mm]K\,[/mm]-Vektorraums [mm]V\,[/mm] sagen kann:
> Ein minimales Erzeugendensystem von [mm]V\,[/mm] ist eine
> endliche(!) Teilmenge [mm]E \subseteqq V[/mm]
> derart, dass gilt:
> Für jedes [mm]e \in E[/mm] ist
>
> [mm]\text{linspan}(E \setminus \{e\}) \subsetneqq V\,,[/mm]
>
> d.h.
>
> [mm]E \setminus \{e\}[/mm] ist kein EZS von [mm]V\,.[/mm]
>
> Merken sollte man sich: Jedes EZS von [mm]V\,[/mm] hat hier immer
> [mm]\ge \underbrace{\dim(V)}_{< \infty}[/mm] Elemente.
> Um ein minimales EZS zu finden, reicht es, erst mal ein
> endliches EZS zu finden
> (beachte die Endlichdimensionalität von [mm]V\,[/mm]!). Und aus
> diesem können wir
> dann durch "sukzessives Entfernen geeigneter Elemente"
> eine Basis von [mm]V\,[/mm]
> basteln.
>
Danke für die ausführliche Erklärung! Ich denke, ich muss auch einfach üben, so ein minimales EZS zu erzeugen.
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:09 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > > Sei f(x) ein Polynom von Grad n in [mm]P_2(\IR).[/mm]
> >
> > Du meinst [mm]P_n(\IR),[/mm] oder?
>
> Ja, ich meinte in der Tat [mm]P_n(\IR).[/mm] War ein Tippfehler.
>
> >
> > > Zeige, dass
> > > jedes Polynom [mm]g(x) \in P_2(\IR)[/mm]
> >
> > S.o.!
> >
> > > zu schreiben ist als
> > >
> > > [mm]c_0f(x)+c_1f'(x)+\cdots+c_nf^{(n)}(x)[/mm]
> > >
> > > für bestimmte [mm]c_i \in \IR.[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > Ich frage mich, wie ich hier anfangen soll. Man muss
> > > beweisen, dass ein Polynom und seine Ableitungen sowohl
> > > linear unabhängig sind (das muss ich hier nicht machen,
> > > weil wir das schon hergeleitet haben), als auch ein
> > > minimales Erzeugendensystem bilden. Alternativ kann man
> > > auch mit dem Wissen, dass lineare Unabhängigkeit gilt und
> > > was die Dimension der Basis ist, folgern, dass das Polynom
> > > und die Ableitungen ein minimales Erzeugendensystem bilden.
> > >
> > > Ich weiß jetzt allerdings nicht, was der Ansatz ist und
> > > wie ich hier vorgehen soll.
> >
> > Begründe nur kurz, dass [mm]P_n(\IR)[/mm] die Dimension [mm]n+1\,[/mm] hat
> > (Kurzfassung
> > wäre: Monome bilden Basis).
>
> Könnte ich hier einfach sagen, dass die Monome
>
> [mm]x^n, x^{n-1}, \ldots, x, 1 (= x^0)[/mm]
>
> eine Basis für [mm]P_n(\IR)[/mm] bilden, ohne das zu beweisen?
das ist relativ klar, aber ja: Beweise es ruhig!
> Dann
> könnte ich ja wirklich sagen, dass [mm]dim(P_n(\IR)) = n+1[/mm]
> gilt und damit, dass die Basis und der Vektorraum die
> gleiche Dimension haben.
Vorsicht in der Wortwahl: Du hast damit eine Basis des [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] gefunden,
die aus [mm] $n+1\,$ [/mm] Elementen besteht. Die Anzahl der Basiselemente einer
jeden Basis des [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] ist damit [mm] $n+1\,,$ [/mm] also [mm] $\dim(P_{n}(\IR))=n+1$ [/mm] folgt sodann!
> Wenn ich es noch beweisen muss,
> muss ich ja zeigen, dass die Monome linear unabhängig (das
> sieht man ja schnell) und ein minimales Erzeugendensystem
> bilden, oder? Zur Sicherheit versuch ich das mal.
>
> Um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen, kann ich ein
> lineares Gleichungssystem aufstellen, das in Matrixform
> eigentlich die Einheitsmatrix ist:
>
> [mm]a_nx^n = 0[/mm]
> [mm]a_{n-1}x^{n-1} = 0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]a_0x^0 = 0[/mm]
> Daraus ergibt sich dann automatisch, dass alle
> Koeffizienten [mm]a_i \in \IR = 0 [/mm].
Langsam. Du willst hier schon mit einer Koordinatenabbildung kommen, die
gewisse Eigenschaften haben soll, ohne geprüft zu haben, dass diese
Koordinatenabbildung auch diese Eigenschaften hat. Diese Identifikation
liegt natürlich nahe, aber ist nicht trivial. (Wenn Du es Dir genau überlegst,
brauchst Du, um das, was Du machen willst, machen zu dürfen, schon das
Ergebnis, dass Du [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] mit [mm] $\IR^{n+1}$ [/mm] identifizieren kannst.)
Also der "wahre" Ansatz ist (ich schreibe [mm] $f_m \colon \IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto f_m(x):=x^m \in \IR$ [/mm] für $m [mm] \in \IN_0$)
[/mm]
[mm] $\sum_{k=0}^n r_k f_k=0$ $\Rightarrow$ $r_0=...=r_n=0\,,$
[/mm]
bzw.
[mm] ($\star$) $\sum_{k=0}^n r_k x^k\equiv [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$ $r_0=...=r_n=0\,.$
[/mm]
Sowas haben wir schon mehrmals gesehen und gemacht: Du kannst wieder
mit sukzessiver Ableitung argumentieren, oder, was ganz einfach ist, mit dem
Wissen, dass jedes Polynom vom Grad $N [mm] \in \IN$ [/mm] auch höchstens [mm] $N\,$ [/mm] Nullstellen
hat. Letztere Idee hatte Fred mal genauer erläutert, ich erinnere nochmal
dran:
Wäre die linke Identität von [mm] ($\star$) [/mm] wahr für ein Tupel [mm] $(r_0,...,r_n)^T \not=(0,...,0) \in \IR^{n+1}\,,$ [/mm]
dann sei
[mm] $\ell:=\max\{u \in \{0,...,n\}:\;\; r_u \not=0\}\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $\sum_{k=0}^n r_k x^k$
[/mm]
ein Polynom vom Grad [mm] $\ell \in \IN_0$, [/mm] was wegen der linken Identität von
[mm] ($\star$) [/mm] unendlich viele Nullstellen hätte.
Widerspruch!
(Beachte, dass man dem Nullpolynom einen Grad [mm] $\notin \IN_0$ [/mm] zuspricht; üblich
ist etwa [mm] $-\infty\,.$)
[/mm]
> Wenn ich jetzt jedes Polynom [mm]g(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_0x^0, c_i \in \IR[/mm]
> erzeugen will, kann ich schreiben:
>
> [mm]a_nx^n = c_nx^n[/mm]
> [mm]a_{n-1}x^{n-1} = c_{n-1}x^{n-1}[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]a_0x^0 = c_0x^0[/mm]
>
> Hieraus folgt dann, dass man mit Hilfe der oben genannten
> Monome jedes Polynom erzeugen kann.
Verstehe ich nicht. Die "EZS-Eigenschaft" folgt eigentlich per Definitionem:
Ein Polynom
$g(x) [mm] \in P_n(\IR)$
[/mm]
hat die Darstellung [mm] $g(x)=c_nx^n+...+c_1x^1+c_0x^0\,.$
[/mm]
Nun willst Du
[mm] $g=r_nf_n+...+r_1f_1+r_0f_0$
[/mm]
schreiben, wobei [mm] $r_n,..., r_1, r_0 \in \IR$ [/mm] geeignet. Setze einfach [mm] $r_m:=c_m$ [/mm] für
alle $m [mm] \in \{0,...,n\}\,.$ [/mm] (Erinnerung: [mm] "$f_m(x)\equiv x^m$.")
[/mm]
> Wäre dann hiermit bewiesen, dass [mm]x^n, x^{n-1}, \ldots, x, 1[/mm]
> eine Basis für [mm]P_n(\IR)[/mm] bilden? Anders gefragt: Ist
> hiermit bewiesen, dass
>
> [mm]c_0f(x) + c_1f'(x) + \ldots + c_nf^{(n)}(x)[/mm]
>
> mit bestimmten [mm]c_i \in \IR[/mm] eine Basis für [mm]P_n(\IR)[/mm] ist?
Ja. Aber nochmal, damit es wirklich klar ist:
Wir haben herausgefunden, dass die Dimension von [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] nichts anderes
als [mm] $n+1\,$ [/mm] ist, indem wir (s.o.) nachgerechnet haben, dass die Familie
[mm] $(x^n, ...,x^1,x^0)$
[/mm]
eine Basis von [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] ist. Das geschah, indem wir erstmal gezeigt haben,
dass diese Monome linear unabhängig sind und dass sie zudem ein EZS
von [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] bilden.
(Okay, allgemein sollte man zeigen oder sich klarmachen: Ist [mm] $V\,$ [/mm] ein endlich-
dimensionaler VR über [mm] $K\,$ [/mm] und wenn wir endlich viele linear unabhängige
Elemente aus [mm] $V\,$ [/mm] haben, die [mm] $V\,$ [/mm] schon erzeugen, dann bilden diese auch
eine Basis von [mm] $V\,.$)
[/mm]
In einem $(n+1)$-dimensionalen Vektorraum bilden [mm] $(n+1)\,$ [/mm] linear unabhängige
Elemente immer eine Basis des Vektorraums.
Es reichte also, und das haben wir getan, das Nachrechnen, dass die Familie
[mm] $(f^{(n)},...,f^{(1)},f^{(0)})$
[/mm]
linear unabhängig ist (dort stehen [mm] $(n+1)\,$ [/mm] Elemente aus [mm] $P_n(\IR)$).
[/mm]
> > Es wurde
> >
> > hier (klick!),
> >
> > worauf Du oben ja hingewiesen hast, bereits gezeigt, dass
> >
> > [mm](f^{(k)})_{k=0}^{n}[/mm]
> >
> > eine linear unabhängige Familie in [mm]P_n(\IR)[/mm] ist. Damit ist
> > das auch eine Basis
> > von [mm]P_n(\IR)[/mm]
> > (denn in dieser Familie stehen [mm]n+1\,[/mm] Elemente!) und Basen
> > sind insbesondere
> > Erzeugendensysteme. Damit hat man sogar "die Eindeutigkeit
> > solcher [mm]c_m=c_m(g)[/mm] für
> > [mm]m=0,...,n[/mm], wobei [mm]g(x) \in P_n(\IR)[/mm] fest".
> >
> > > Generell find ich es schwer, zu
> > > bestimmen, ob etwas ein min. Erzeugendensystem bildet.
> > > Vielleicht kann hier auch jemand kurz drauf eingehen.
> >
> > Sei [mm]V\,[/mm] ein Vektorraum über dem Körper [mm]K\,.[/mm] Eine
> > Teilmenge
> >
> > [mm]T \subseteqq V[/mm]
> >
> > heißt Erzeugendensystem, wenn gilt:
> > Für jedes [mm]v \in V[/mm] existiert ein [mm]N(v) \in \IN[/mm] so, dass
> es
> > Vektoren
> >
> > [mm]b_1=b_1(v),..., b_N=b_{N(v)}(v) \in T[/mm] und Skalare
> > [mm]\lambda_1(v)=\lambda_1,...,\lambda_N=\lambda_N(v) \in K[/mm]
>
> >
> > so gibt, dass
> >
> > [mm]v=\sum_{k=1}^{N} \lambda_k b_k[/mm]
> >
> > geschrieben werden kann.
> >
> > Kurzgesagt: Für jeden Vektor [mm]v \in V[/mm] kann man eine
> > endliche Teilmenge von [mm]T\,[/mm]
> > auswählen, so dass sich [mm]v\,[/mm] als Linearkombination der
> > Elemente dieser endlichen
> > Teilmenge schreiben läßt. Beachte dabei, dass oben
> > gesagt wird, dass die
> > Wahl der Teilmengen variieren darf, wenn [mm]v\,[/mm] variiert.
> Es
> > steht ja:
> > "Für jedes [mm]v\,[/mm] existiert ein [mm]N\,[/mm] mit..."
> >
> > Würde man
> > "Es existiert ein [mm]N\,[/mm] und [mm]b_1,...,b_N \in T[/mm] so, dass
> für
> > jedes [mm]v\,[/mm] ..."
> > schreiben, dann wäre das etwas anderes. ("Universelle
> > Fassung.")
> >
> > Die obige Definition des Erzeugendensystems ist halt gut
> > für unendlich
> > dimensionale Vektorräume. Bei endlich dimensionalen
> > Vektorräumen könnte
> > man auch die "Universelle Fassung" benutzen. Aber das
> nur
> > nebenbei.
> >
> > Übrigens folgt aus der Definition oben direkt, dass
> >
> > [mm]V\,[/mm]
> >
> > selbst ein EZS für [mm]V\,[/mm] ist. (Bei der "Universellen
> > Fassung" würde man das
> > nicht hinbekommen. Wir könnten dann ja nur einen
> endlich
> > dimensionalen
> > Unterraum von [mm]V\,[/mm] mit einer endlichen Teilmenge von [mm]V\,[/mm]
> > erzeugen.)
> >
> > Warum? Naja, es sei [mm]T=V\,.[/mm] Für [mm]v \in V[/mm] ist dann
> >
> > [mm]v \in T[/mm]
> >
> > darstellbar als
> >
> > [mm]v=1*v\,,[/mm]
> >
> > und es ist [mm]1=1_K \in K[/mm] und [mm]v \in \{v\} \subseteqq T[/mm] und
> > [mm]|\{v\}|=1\,.[/mm]
> >
> > Zur Minimalität:
> > Ein EZS
> >
> > [mm]T \subseteqq V[/mm] von [mm]V\,[/mm]
> >
> > heißt minimal, wenn gilt:
> > Für jedes [mm]t \in T[/mm] ist
> >
> > [mm]T \setminus \{t\}[/mm] KEIN EZS von [mm]V\,.[/mm]
> >
> > Kurzgesagt: Entfernt man
> >
> > auch nur ein Element aus dem EZS [mm]T\,[/mm] von [mm]V\,,[/mm]
> >
> > so "zerstört man bei [mm]T\,[/mm] die Eigenschaft des EZS".
> >
> > Alternativ:
> > Ein EZS [mm]T\,[/mm] von [mm]V\,[/mm] heißt minimal, wenn gilt: Für
> jedes
> > [mm]t \in T[/mm] ist
> >
> > [mm]t\,[/mm] kein Element des Spans, der durch [mm]T \setminus \{t\}[/mm]
> > gebildet wird.
> >
> > Diese Definitionen sind natürlich gleichwertig.
> >
> > Im Falle, dass [mm]V\,[/mm] endlichdimensional ist, läßt sich das
> > Ganze aber noch
> > vereinfachen:
> > Man kann hier sagen, dass [mm]T \subseteqq V[/mm] genau dann ein
> > EZS von [mm]V\,[/mm] ist, wenn
> > es eine endliche Teilmenge [mm]E=\{b_1,...,b_M\} \subseteqq T[/mm]
> > so gibt, dass gilt:
> > Für jedes [mm]v \in V[/mm] existieren [mm]\lambda_1,...,\lambda_{M} \in K[/mm]
> > mit
> >
> > [mm]v=\sum_{m=1}^{M}\lambda_m b_m\,.[/mm]
> >
> > Dieses Menge [mm]E\,[/mm] kann dann "universell" betrachtet werden,
> > sie braucht nicht
> > mehr zu variieren, wenn [mm]v\,[/mm] variiert.
> >
> > Insbesondere gilt: Ist [mm]T \subseteqq V[/mm] ein Erzeugendensystem
> > und ist [mm]E \subseteqq T[/mm]
> > wie oben, dann ist auch [mm]E\,[/mm]
> ein
> > Erzeugendensystem.
> >
> > Daher ergibt sich insbesondere, dass man im Falle der
> > Endlichdimensionalität
> > eines [mm]K\,[/mm]-Vektorraums [mm]V\,[/mm] sagen kann:
> > Ein minimales Erzeugendensystem von [mm]V\,[/mm] ist eine
> > endliche(!) Teilmenge [mm]E \subseteqq V[/mm]
> > derart, dass
> gilt:
> > Für jedes [mm]e \in E[/mm] ist
> >
> > [mm]\text{linspan}(E \setminus \{e\}) \subsetneqq V\,,[/mm]
> >
> > d.h.
> >
> > [mm]E \setminus \{e\}[/mm] ist kein EZS von [mm]V\,.[/mm]
> >
> > Merken sollte man sich: Jedes EZS von [mm]V\,[/mm] hat hier immer
> > [mm]\ge \underbrace{\dim(V)}_{< \infty}[/mm] Elemente.
> > Um ein minimales EZS zu finden, reicht es, erst mal ein
> > endliches EZS zu finden
> > (beachte die Endlichdimensionalität von [mm]V\,[/mm]!). Und aus
> > diesem können wir
> > dann durch "sukzessives Entfernen geeigneter Elemente"
> > eine Basis von [mm]V\,[/mm]
> > basteln.
> >
>
> Danke für die ausführliche Erklärung! Ich denke, ich
> muss auch einfach üben, so ein minimales EZS zu erzeugen.
Ein EZS kann "extrem groß" sein - wenn Du es zu einer Basis minimieren
willst, dann ist immer die Frage, was günstiger ist:
Minimiere es zu einem minimalen EZS durch Entfernen einzelner Elemente
(das wird nicht gehen, wenn das Ausgangs-EZS unendlich viele Elemente
innehat - wobei das obige Entfernen auch im Sinne von "entferne immer
endlich viele Elemente" gemeint ist!).
Oder:
Bastle Dir sukzessive eine maximale linear unabhängige Teilmenge aus dem
EZS.
Beispiel:
Wenn Du 12 Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] hast, die den [mm] $\IR^3$ [/mm] aufspannen, dann
willst Du sicher eher nicht nach und nach einen der 12 Vektoren solange
entfernen, bis Du eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] hast. Sondern Du gehst den anderen
Weg.
Wenn Du aber 4 Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] hast, die den [mm] $\IR^3$ [/mm] aufspannen, dann
wirst Du sicher eher die "Vektorentfernen-Variante" bevorzugen, um damit
eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] zu finden.
Beachte: Sowohl die 12 als auch die 4 Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] sind zwangsläufig
linear abhängig.
Gruß,
Marcel
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Hey, danke für die mal wieder ausführliche Antwort :)
Zur Kontrolle würde ich gerne meine Antwort hier posten.
Wir wissel also dass die Monome $ [mm] x^n, x^{(n-1)}, \ldots, x^1, x^0 [/mm] $ eine Basis bilden für $ [mm] P_n(\IR) [/mm] $. Die lineare Unabhänhigkeit ist zu beweisen, indem man schaut, ob
$ [mm] \summe_{k=0}^n r_kf^{(k)}(x) \equiv [/mm] 0 $
zutrifft für alle $ [mm] r_i [/mm] = 0 $. Wenn man diese Funktion $ (n-1) $ und $n$ mal ableitet, erhält man
$ [mm] \summe_{k=0}^{n-(n-1)} r_kf^{(k+(n-1))}(x) \equiv [/mm] 0 = [mm] r_0f^{(n-1)}(x)+r_1f^{(n)}(x) [/mm] = 0 $
$ [mm] \summe_{k=0}^{n-n} r_kf^{(k+n)}(x) \equiv [/mm] 0 = [mm] r_0f^{(n)}(x) [/mm] = 0 $
Aus der letzten Gleichung folgt dann, dass $ [mm] r_0 [/mm] = 0 $ weil [mm] f^{(n)} [/mm] eine Konstante ungleich null sein muss. $ [mm] r_0 [/mm] $ kann man jetzt einsetzen in die (n-1)-te Ableitung, woraus dann folgt, dass auch $ [mm] r_1 [/mm] = 0 $ sein muss. Diese Technik kann man jetzt weiter ausführen, bis man bei der Anfangsfunktion angelangt ist. Man erhält schließlich, dass alle $ [mm] r_i [/mm] = 0 $ sein müssen, womit die Monome linear unabhängig sind.
Sie bilden auch ein minimales Erzeugendensystem für [mm] P_n(\IR), [/mm] weil jedes Polynom $ g(x) [mm] \in P_n(\IR) [/mm] $ die Form $ g(x) = [mm] c_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] c_1x^1 [/mm] + [mm] c_0x^0 [/mm] $ hat. Wenn man jetzt schreibt
$ g = [mm] r_nf_n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] r_1f_1 [/mm] + [mm] r_0f_0 [/mm] $,
(wobei gilt $ [mm] f_m(x) \equiv x^m [/mm] $), kann man alle $ [mm] r_m [/mm] := [mm] c_m [/mm] $ setzen für alle $m [mm] \in \{0, \ldots, n\} [/mm] $ und erhält somit, dass die Monome ein minimales EZS für [mm] P_n(\IR) [/mm] bilden. Zusammen mit der linearen Unabhängigkeit kann man sagen, dass sie eine Basis sind für [mm] P_n(\IR).
[/mm]
Eine Basis für [mm] P_n(\IR) [/mm] hat nun $(n+1)$ Elementen, woraus abzuleiten ist, dass gilt $ [mm] dim(P_n(\IR)) [/mm] = (n+1) $.
Jedes Polynom $ g(x) [mm] \in P_n(\IR) [/mm] $ ist also zu schreiben als
$ c_0f(x) + c_1f'(x) + [mm] \ldots [/mm] + [mm] c_nf^{(n)}(x) [/mm] $
für gewisse $ [mm] c_i \in \IR [/mm] $.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey, danke für die mal wieder ausführliche Antwort :)
>
> Zur Kontrolle würde ich gerne meine Antwort hier posten.
>
> Wir wissel also dass die Monome [mm]x^n, x^{(n-1)}, \ldots, x^1, x^0[/mm]
> eine Basis bilden für [mm]P_n(\IR) [/mm].
genau. Falls ihr das nicht in der Vorlesung oder einer Übung hattet, würde
ich etwa den Beweis, wie ich ihn erwähnte, der Aufgabenlösung als
"Zusatz" anhängen.
> Die lineare Unabhänhigkeit
...von [mm] $f^{(n)},...,f^{(0)}$
[/mm]
> ist zu beweisen,
kann daher bspw. bewiesen werden,
> indem man schaut, ob
>
> [mm]\summe_{k=0}^n r_kf^{(k)}(x) \equiv 0[/mm]
>
> zutrifft für alle [mm]r_i = 0 [/mm].
Das ist logisch verkehrt: Dass
[mm] "...$\summe_{k=0}^n r_kf^{(k)}(x) \equiv [/mm] 0$ zutrifft für alle [mm] $r_i=0$"
[/mm]
bedeutet:
Wenn alle [mm] $r_i=0\,,$ [/mm] dann ist
[mm] $\summe_{k=0}^n r_kf^{(k)}(x) \equiv 0\,.$
[/mm]
Das wäre trivial. Du musst schreiben:
[mm]\summe_{k=0}^n r_kf^{(k)}(x) \equiv 0[/mm]
zutrifft (dann und) nur dann, wenn alle [mm]r_i = 0 [/mm].
Das bedeutet nämlich
[mm]\summe_{k=0}^n r_kf^{(k)}(x) \equiv 0[/mm]
trifft zu [mm] $\Rightarrow$ [/mm] alle [mm]r_i = 0 [/mm].
(Das eingeklammerte "dann, wenn" wäre [mm] $\Leftarrow$.)
[/mm]
> Wenn man diese Funktion [mm](n-1)[/mm]
> und [mm]n[/mm] mal ableitet, erhält man
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-(n-1)} r_kf^{(k+(n-1))}(x) \equiv 0 = r_0f^{(n-1)}(x)+r_1f^{(n)}(x) = 0[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-n} r_kf^{(k+n)}(x) \equiv 0 = r_0f^{(n)}(x) = 0[/mm]
>
> Aus der letzten Gleichung folgt dann, dass [mm]r_0 = 0[/mm] weil
> [mm]f^{(n)}[/mm] eine Konstante ungleich null sein muss. [mm]r_0[/mm] kann
> man jetzt einsetzen in die (n-1)-te Ableitung, woraus dann
> folgt, dass auch [mm]r_1 = 0[/mm] sein muss. Diese Technik kann man
> jetzt weiter ausführen, bis man bei der Anfangsfunktion
> angelangt ist. Man erhält schließlich, dass alle [mm]r_i = 0[/mm]
> sein müssen, womit die Monome linear unabhängig sind.
Kannst Du machen, Du darfst aber auch darauf verweisen, dass Du das
eh schon mal in einer anderen Aufgabe nachgewiesen hast.
> Sie bilden auch ein minimales Erzeugendensystem für
> [mm]P_n(\IR),[/mm] weil jedes Polynom [mm]g(x) \in P_n(\IR)[/mm] die Form
> [mm]g(x) = c_nx^n + \ldots + c_1x^1 + c_0x^0[/mm] hat. Wenn man
> jetzt schreibt
>
> [mm]g = r_nf_n + \ldots + r_1f_1 + r_0f_0 [/mm],
>
> (wobei gilt [mm]f_m(x) \equiv x^m [/mm]), kann man alle [mm]r_m := c_m[/mm]
> setzen für alle [mm]m \in \{0, \ldots, n\}[/mm] und erhält somit,
> dass die Monome ein minimales EZS für [mm]P_n(\IR)[/mm] bilden.
Vorsicht, das war doch der Nachweis dafür, dass die
[mm] "$f_m(x)=x^m$" [/mm] für $m=0,...,n$
ein EZS von [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] bilden.
Für die
[mm] $f^{(n)},...,f^{(1)},f^{(0)}$
[/mm]
rechnen wir die EZS-Eigenschaft gar nicht mehr nach. Das brauchen wir
nicht!
> Zusammen mit der linearen Unabhängigkeit kann man sagen,
> dass sie eine Basis sind für [mm]P_n(\IR).[/mm]
>
> Eine Basis für [mm]P_n(\IR)[/mm] hat nun [mm](n+1)[/mm] Elementen, woraus
> abzuleiten ist, dass gilt [mm]dim(P_n(\IR)) = (n+1) [/mm].
>
> Jedes Polynom [mm]g(x) \in P_n(\IR)[/mm] ist also zu schreiben als
Nicht "ist zu schreiben als:", sondern: "kann geschrieben werden als:"
> [mm]c_0f(x) + c_1f'(x) + \ldots + c_nf^{(n)}(x)[/mm]
>
> für gewisse [mm]c_i \in \IR [/mm].
Also irgendwie ist mir das oben noch zu "unsortiert". Die musst die Monome
"$x [mm] \mapsto x^m$"
[/mm]
auch nicht unbedingt [mm] $f_m$ [/mm] nennen, auch, wenn ich das gemacht hatte. Meinetwegen
gib' denen einen anderen Funktionsnamen.
Von der "Sortierung" her würde ich es so machen, dass ich die Aufgabe in
mehrere Teile untergliedern würde:
1. Teil:
Beweis, dass
[mm] $\dim(P_n(\IR))=n+1\,.$
[/mm]
Behauptung: Die Monome
[mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto x^n \in \IR$, [/mm] ..., [mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto x^1 \in \IR$, $\IR \ni [/mm] x [mm] \maspto 1=x^0 \in \IR$,
[/mm]
kurz
[mm] $x^n,...,x^1,x^0$
[/mm]
bilden eine Basis.
Beweis 1a) Beweis, dass [mm] $x^n,...,x^0$ [/mm] linear unabhg. sind in [mm] $P_n(\IR)\,.$
[/mm]
Beweis 1b) Beweis, dass [mm] $x^n,...,x^0$ [/mm] ein EZS von [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] sind.
(Die Reihenfolge ist hier eigentlich unwichtig - ob Du nun [mm] $x^n,...,x^0$ [/mm] sortiert schreibst,
oder andersrum [mm] $x^0,...,x^n$.)
[/mm]
(Jetzt am Besten in der Vorlesung nach einem Satz suchen, dass aus 1a)
und 1b) folgt, dass [mm] $x^n,...,x^0$ [/mm] dann auch eine Basis (von [mm] $P_n(\IR)$) [/mm] bildet.
Wobei man sich das auch selbst überlegen kann, indem man sich klarmacht,
dass man so eine maximal linear unabhängige Teilmenge des [mm] $P_n(\IR)$ [/mm]
gefunden hat!)
2. Teil: Für das Polynom $f(x) [mm] \in P_n(\IR)$ [/mm] mit Grad [mm] $n\,$ [/mm] sind die in [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] gelegene Elemente
[mm] $f^{(n)},...,f^{(0)}$
[/mm]
nach Aufgabe ... linear UNabhängig.
3. Teil: Der [mm] $\IR$-Vektorraum $P_n(\IR)$ [/mm] hat wegen des 1. Teils die Dimension
[mm] $(n+1)\,,$ [/mm] so dass folglich
[mm] $(n+1)\,$ [/mm] linear UNabhhängige Elemente aus [mm] $P_n(\IR)$
[/mm]
stets eine Basis für [mm] $P_n(\IR)$ [/mm] sind. Der 2. Teil liefert folglich die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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