Basis von U(orth.) bzgl Sesqlf < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:58 So 21.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | In V = [mm] C^4 [/mm] sei u durch die Gleichungen
[mm] z_3 [/mm] - [mm] z_4 [/mm] = 0, [mm] z_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} z_2 [/mm] + [mm] z_3 [/mm] = 0 gegebene Teilraum.
Man bestimme eine Basis von U (rechtsorthogonal) bzgl der Sesquilinearform [mm] \beta (\nu, \mu) [/mm] = [mm] z_1 \overline{w_1} [/mm] - i [mm] z_2 \overline{w_2} [/mm] + [mm] z_3 \overline{w_4} [/mm] - [mm] z_4 \overline{w_3}
[/mm]
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Hi, hab nun einen teil der lösung, versteh aber noch nicht ganz, warum das so funtioniert!
würd mich ganz arg freuen, wenn ihr mir das erklären könntet!!!*verzweifel*
also als erstes bekommt man durch die 2 gleichungen die den Teilraum U angeben ein LGS. Wie können aber diese 2 gleichungen den Raum U aufspannen??
das LGS:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1/3 & 1 & 0 }
[/mm]
Fundamentallösungen sind:
[mm] a_1= \pmat{ 0 \\ -3 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] a_2 [/mm] = [mm] \pmat{ -1\\ 3 \\ 0 \\1 }
[/mm]
warum ist dann die Basis von U [mm] {a_1, a_2} [/mm] ??
die definition von so einem orthogonalen komplement ist ja:
X(orth) = { y aus V| [mm] \beta(x,y) [/mm] = 0 für alle x aus X} wobei X aus V.
d.h. ich muss [mm] \beta(a_1,y) [/mm] = 0 und [mm] \beta(a_2,y)=0 [/mm] berechnen, d.h. ich setz die [mm] a_i [/mm] für [mm] z_i [/mm] in der gleichung ein, und bekomm
[mm] \beta(a_1,y) [/mm] = 3 i [mm] \overline{w_2} [/mm] + [mm] \overline{w_4} [/mm] = 0 und
[mm] \beta(a_2,y) [/mm] = - [mm] \overline{w_1} [/mm] - 3 i [mm] \overline{w_2} [/mm] - [mm] \overline{w_3} [/mm] = 0
jetzt muss ich davon wieder die fundamentallösungen von dem LGS berechnen, oder??
und was mach ich mit den komplex konjugierten w's?
kann ich das "ganz normal" in ne matrix schreiben:
[mm] \pmat{ 0 & 3i & 0 & 1 \\ -1 & - 3i& -1 & 0 }
[/mm]
viele grüße riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 05.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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