Basis von polynomfunktionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Abbildung bildet alle reellen Polynome auf ihre 1. Ableitung ab (in Summenschreibweise).
Bestimme eine Basis des Bildes und eine Basis des Kerns dieser Abbildung. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.onlinemathe.de
Ich weiß nicht wie ich die Basen bestimmen soll da die Menge der Polynome unendlich ist und damit der Basisauswahlsatz auch nichts bringt.
Hat jemand von Euch einen Tipp?
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> Die Abbildung bildet alle reellen Polynome auf ihre 1.
> Ableitung ab (in Summenschreibweise).
> Bestimme eine Basis des Bildes und eine Basis des Kerns
> dieser Abbildung.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: www.onlinemathe.de
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> Ich weiß nicht wie ich die Basen bestimmen soll da die
> Menge der Polynome unendlich ist und damit der
> Basisauswahlsatz auch nichts bringt.
> Hat jemand von Euch einen Tipp?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast also eine Abbildung [mm] \Phi, [/mm] welche jedem Polynom seine Ableitung zuordnet, dh.
[mm] \phi:\IR[x]\to \IR[x]
[/mm]
[mm] \phi(\summe_{k=0}^{n}a_ix^i)= [/mm] ... für alle [mm] \summe_{k=0}^{n}a_ix^i\in \IR[x].
[/mm]
Jetzt fangen wir mal mit dem Kern an:
Was ist die Null in [mm] \IR[x]? [/mm] das Nullpolynom.
Nun überlege Dir, welche Polynome auf das Nullpolynom abgebildet werden. Wenn Du das weißt, fällt Dir vermutlich auch eine Basis ein.
Zum Bild:
gibt es irgendein Polynom des [mm] \IR[x], [/mm] welches nicht Ableitung eines Polynoms ist?
Was ist also das Bild der Abbildung? Wenn Du das weißt, fällt Dir vermutlich eine Basis ein.
Gruß v. Angela
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hallo angela
1.auf das nullpolynom bilden alle konstanten funktionen ab (vom grad null) da deren ableitung null ist, und damit auch alle polynome wenn man x=0 setzt.
2. was du damit meinst weiss ich nicht genau...kann man nicht jede fkt aufleiten?
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> 1.auf das nullpolynom bilden alle konstanten funktionen ab
> (vom grad null) da deren ableitung null ist, und damit auch
> alle polynome wenn man x=0 setzt.
Hallo,
der Anfang dessen, was Du schreibst, ist gut, der Rest "alle Polynome, wenn man x=0 setzt" nicht.
Klären wir das zunächst, denn es liegt hier eine Verwirrung vor, die aber nicht unbedingt Deine Schuld ist, sondern die Wurzel liegt im Schulunterricht.
Du mußt gründlich unterscheiden zwischen der Funktion f und den Werten der Funktion an der Stelle x, welche man als f(x) schreibt.
Die Funktion f ist das "Gesamtkonstrukt", ein Kartoffelsack voller Päckchen, die jeweils ein Argument mit seinem Funktionswert enthalten.
f(x) ist wie gesagt der Funktionswert an der Stelle x, und wenn dasteht [mm] f(x):=2x^3sin(4x^5), [/mm] dann wissen wir, wie die Päckchen aus Argument und Funktionswert zu schnüren sind.
(Ich gehe davon aus, daß Ihr mit Polynom Polynomfunktionen meint.)
Das Nullpolynom n ist die Polynomfunktion, welche an jeder Stelle den Funktionswert 0 hat,.
Dafür, daß die Ableitung das Nullpolynom ist, reicht es also nicht, wenn die Ableitung an einer Stelle =0 ist, sondern sie muß überall =0 sein.
Und dies ist, wie Du zunächst festgestellt hast, gerade bei den konstanten Polynomen der Fall,
also bei den Polynomen [mm] p_r, r\in \IR [/mm] mit [mm] p_r=rx^0.
[/mm]
Überleg Dir mal, daß die 1 eine Basis des Raumes, welcher alle Polynome vom Grad 0 enthält, ist.
> 2. was du damit meinst weiss ich nicht genau...kann man
> nicht jede fkt aufleiten?
Au wacka. Sag' nicht "aufleiten", damit wirst Du zur gefährdeten Person. Du wolltest sicher sagen, daß Du eine Stammfunktion finden kannst...
Ja, zu jedem Polynom findest Du eine Stammfunktion, aber es geht um etwas anderes:
Findest Du auch zu jedem Polynom ein Polynom, dessen Stammfunktion es ist? Wenn Du das garantieren kannst, ist das Bild der Funktion [mm] \phi [/mm] nämlich der ganze [mm] \IR[x].
[/mm]
Du mußt das vorrechnen:
Sei [mm] \summe_{k=0}^{n}a_ix^i \in \IR^x.
[/mm]
Es ist [mm] \phi(...)=\summe_{k=0}^{n}a_ix^i, [/mm] also ...
Gruß v. Angela
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Erstmal vielen dank für deine geduld!
1. also ist 1 eine Basis des Kerns weil sich die Menge der polynomfkt vom grad null dadurch "aufspannen" lässt?( körperelement mal 1= jedes polynom vom grad null) ist dann nicht jede beliebige Zahl Basis vom Kern???
2.also mir fiele jetzt keine polynomfkt ein, die keine Stammfkt hat...
3. zum vorrechnen: kleine nachfrage zum verständnis: wenn man IR hoch x nimmt meint man doch die Menge aller PFkt vom grad max x....aber warum steht das x dann in der Summenschreibweise nicht im exponenten???
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> Erstmal vielen dank für deine geduld!
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> 1. also ist 1 eine Basis des Kerns weil sich die Menge der
> polynomfkt vom grad null dadurch "aufspannen" lässt?(
> körperelement mal 1= jedes polynom vom grad null) ist dann
> nicht jede beliebige Zahl Basis vom Kern???
Hallo,
es ist nicht die Zahl 1 die Basis, sondern das Polynom p=1, also die Polynomfunktion, die alles auf die 1 abbildet.
Du hast recht: außer diesem Polynom könntest Du mit Ausnahme des Nullpolynoms jedes konstante verwenden.
> 2.also mir fiele jetzt keine polynomfkt ein, die keine
> Stammfkt hat...
Mir auch nicht.
> 3. zum vorrechnen: kleine nachfrage zum verständnis: wenn
> man IR hoch x nimmt meint man doch die Menge aller PFkt vom
> grad max x....aber warum steht das x dann in der
> Summenschreibweise nicht im exponenten???
Ich kenne Eure Bezeichnungen nicht.Was habt Ihr wie definiert?
Mein x ist nicht der Grad, sondern die Variable.
in Deiner Aufgabenstellung hattest Du keine Begrenzung des Höchstgrades der betrachteten Polynome genannt.
Ich betrachte im Moment alle Polynome.
Gruß v. Angela
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Es ist auch die (unendliche) menge aller reellen polynomfkt gemeint...deswegen irritiert es mich auch dass deine Abbildung von endlichen Mengen ausgeht (k=1,...n).
Was soll ich denn bei der Basis des Bildes vorrechnen?Wenn dass Bild der ganze IR(x) ist (da alle Polynome im Bildraum eine Stammfunktion im Urbildraum IR(x) haben) welche Basis spannt dann denn gesamten IR(x)(hier:Menge aller reellenPolynomfkt) auf???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Wie wärs mit
{ [mm] 1,x,x^2,x^3,x^4,...... [/mm] }
als basis des Bildes ?
FRED
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muss eine basis denn nicht endlich sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> muss eine basis denn nicht endlich sein?
Nein, z.B. ist der Raum aller Polynome unendlichdimensional.
Der Raum aller stetigen Funktionen auf [0,1] ist ein Vektorraum. Jede Basis dieses Raumes ist überabzählbar.
FRED
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Ach so....danke!
1. nur zum verständnis: wäre dann (2, 2xhoch1, 2xhoch2,.....) auch eine Basis des Bildes?
2. warum ist die Abb eigentlich linear? wenn ich F(körperelement mal Polynomfkt) bilde, habe ich doch 0 mal 1.Ableitung der PF was nicht das gleiche wie Körperelement mal F(PF) ist....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ach so....danke!
> 1. nur zum verständnis: wäre dann (2, 2xhoch1,
> 2xhoch2,.....) auch eine Basis des Bildes?
Ja
>
> 2. warum ist die Abb eigentlich linear? wenn ich
> F(körperelement mal Polynomfkt) bilde, habe ich doch 0 mal
> 1.Ableitung der PF was nicht das gleiche wie Körperelement
> mal F(PF) ist....
Die Ableitung ist doch eine lineare Angelegenheit:
[mm] $(\alpha f+\beta [/mm] g)' = [mm] \alpha [/mm] f' + [mm] \beta [/mm] g'$
FRED
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1.na klar...denkfehler von mir....Vielen Dank an euch beide!!!!
Noch eine kleine Rückfrage: ich muss ja auch zeigen, dass (1,x hoch1,...) Basis ist also u.a. die Lineare Unabhängigkeit...kann ich sagen dass bei Linearkombi
a0xhoch0+a1xhoch1+....+anxhochn= (jedes bel) Polynomfkt im Bild die a=0 sein müssen,da die x [mm] \in [/mm] R(x) [mm] \setminus [/mm] Nullpolynom sind..und damit ungleich 0..???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 17.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Frage ist unklar.
x ist doch kein 0 Polynom?
du verwechselst noch immr Polynomfkt mit Wert von Polynom.
x=0 ist ein wert der Variablen den man in ein Polynom einsetzen kann, wenn man es an der Stelle 0 auswertetet.x=1 oder x=17 entsprechend. immer wenn man eine best. Variable einsetzt hat man ne reelle Zahl und kein poynom mehr.
Gruss leduart
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ja..klar...was stört dich denn an meinem voherigen beitrag?wie würdest du zeigen,dass die gefundene Basis tatsächlich Basis des Bildes ist???
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> ja..klar...was stört dich denn an meinem voherigen
> beitrag?
Hallo,
was leduart stört, weiß ich nicht.
Mich stört zunächst einmal, daß es eine Qual ist, dieses Post zu lesen.
Bitte befasse Dich mit der Eingabe der Formel, Eingabehilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters.
Weiter stört mich, daß ich hier nicht verstehe, was Du hier sagen willst:
> kann ich sagen dass bei Linearkombi
> a0xhoch0+a1xhoch1+....+anxhochn= (jedes bel) Polynomfkt im Bild die a=0 sein müssen,
> da die x $ [mm] \in [/mm] $ R(x) $ [mm] \setminus [/mm] $ Nullpolynom sind..und damit ungleich 0..???.
Die Ikse sind weder = noch ungleich 0, es sind Polynome, oder meinetwegen auch Variable im Polynom, und das scheint der Punkt zu sein, an welchem leduarts Toleranz überstrapaziert ist.
> wie würdest du zeigen,dass die gefundene Basis
> tatsächlich Basis des Bildes ist???
Wir haben jetzt festgestellt, daß das [mm] Bild=\IR[x] [/mm] ist. Gezeigt werden soll, daß [mm] (1,x,x^2,...) [/mm] eine Basis des Bildes ist.
jetzt würde ich zunächst mal in der Mitschrift gucken, ob nicht längst gezeigt wurde, daß dies eine Basis des Polynomraumes ist. Wenn ja, bist Du fertig.
Wenn nein: Erzeugendensystem ist ja nun wirklich leicht.
Schauen wir also gleich auf die lineare Unabhängigkeit.
Hier sind zwei Dinge zu erledigen:
1. Wie ist überhaupt die lineare unabhängigkeit für nichtendliche Mengen definiert?
Weiter sollte man wissen:
2. Wann sind eigentlcih zwei Polynome gleich?
Schau Dir die Sache unter diesen Aspekten nochmal an.
Gruß v. Angela
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Na um LU zu zeigen, müssen bei der Erzeugung des Nullpolynoms durch Linearkombination der Basis alle Körperelemente=0 sein-das will ich zeigen
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> Na um LU zu zeigen, müssen bei der Erzeugung des
> Nullpolynoms durch Linearkombination der Basis Basiselemente alle
> Körperelemente=0 sein-das will ich zeigen
Hallo,
jaja, so in etwa geht das schon.
Meine Fragen an Dich hatte ich allerdings mit Bedacht gewählt, und Du bist nicht mit der gebotenen Sorgfalt auf ihre Beantwortung eingegangen:
Du hast hier ja eine unendlich große Basis. "Linearkombination der Basiselemente" könnte einen hier zumindest grübeln lassen - oder dazu verlocken, etwas Verkehrtes zu tun.
Deshalb nochmal: wie ist das definiert? (Keine pi mal Daumen Nacherzählung, sondern die Def. mit Präludium und postludium, sofern vorhanden.)
Und es ist kein Fehler, wenn Du, wie bereits angefragt, schonmal herausfindest, wie man feststellen kann, ob zwei Polynome gleich sind.
Gruß v. Angela
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also...zwei P sind gleich,wenn alle Koeffizienten gleich sind...okay?
ich will zeigen: [mm] axhoch0+bxhoch1+...+\alpha [/mm] xhochm=0 [mm] \Rightarrow [/mm] alle Koeffizienten sind Null [mm] \Rightarrow [/mm] LU
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> also...zwei P sind gleich,wenn alle Koeffizienten gleich
> sind...okay?
Hallo,
ja, das wollte ich gern einmal hören, denn dann ist der Rest ein Kinderspiel:
wenn ein Polynom gleich dem Nullpolynom ist, kann es ja nicht anders sein, als daß alle Koeffizienten =0 sind.
> ich will zeigen: [mm]axhoch0+bxhoch1+...+\alpha[/mm] xhochm=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] alle Koeffizienten sind Null [mm]\Rightarrow[/mm] LU
"Hoch irgendwas " geht mit ^ und dann den Exponenten in geschweifte Klammern.
Ja, für die Menge [mm] \{1,x,x^2, ...,x^n\} [/mm] wäre das ja völlig richtig - und auch für Deine unendliche Menge [mm] \{1,x,x^2, ...\} [/mm] ist in Wahrheit nicht viel mehr zu tun...
Warum bloß suchst Du nicht mal die komplette Definition für die lineare Unabhängigkeit beliebiger Mengen von Vektoren heraus?
Oder gibt es einen Grund, aus welchem Du das für uninteressant hältst?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Fr 19.06.2009 | | Autor: | maximathe |
nein ich finde lineare unabhängigkeit sehr relevant...im ernst-du hast recht,ich sollte mich intensive mit den Grundbegriffen auseinandersetzen...danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mi 17.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ne Basis hast und jeden Basisvektor mit irgendner Zahl aus k mult. hast du natuerlich immer noch ne Basis,
also ist auch falls K=R
e [mm] ,\pi*x, 123*x^2 ;10^{-17}*x^3 [/mm] usw. ne Basis.
Kannst du auch zeigen, dass das ne Basis ist?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mi 17.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
in einem nicht endlich dimensionalen VR hat man auch keine endliche Basis.
Gruss leduart
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