Basisaustaschsatz < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Austauschsatz:
In einem K-Vektorraum V seien eine Basis [mm] B=(v_{1},...,v_{r}) [/mm] und eine lineare unabhängige Familie [mm] (w_{1},...,w_{n}) [/mm] gegeben. Dann ist n [mm] \le [/mm] r, und es gibt Indizes [mm] i_{1},...,i_{n} \in [/mm] {1,...,r} derart, dass man nach Austasch von [mm] v_{i}_{1} [/mm] gegen [mm] w_{1}, v_{i}_{2} [/mm] gegen [mm] w_{2}, [/mm] ..., [mm] v_{i}_{n} [/mm] gegen [mm] w_{n} [/mm] wieder eine Basis von V erhält. Numeriert man so um, dass [mm] i_{1} [/mm] = [mm] 1,...,i_{} [/mm] = n ist, so bedeutet das, dass [mm] B\* [/mm] = [mm] (w_{1},...,w_{n}, v_{n+1},..., v_{r}) [/mm] eine Basis von V ist. |
Hallo,
ich verstehe obigen Austausch Satz aus einem Buch nicht. Vorallem habe ich Probleme zu erkennen, was genau mit den Doppelindizes gemeint ist. Wäre eine von euch so freundlich, mir diesen Satz etwas besser zu erklären oder vielleicht ein konkretes Beispiel aufzuzeigen? Dafür wäre ich sehr dankbar.
Grüße
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> Austauschsatz:
> In einem K-Vektorraum V seien eine Basis
> [mm]B=(v_{1},...,v_{r})[/mm] und eine lineare unabhängige Familie
> [mm](w_{1},...,w_{n})[/mm] gegeben. Dann ist n [mm]\le[/mm] r, und es gibt
> Indizes [mm]i_{1},...,i_{n} \in[/mm] {1,...,r} derart, dass man nach
> Austasch von [mm]v_{i}_{1}[/mm] gegen [mm]w_{1}, v_{i}_{2}[/mm] gegen [mm]w_{2},[/mm]
> ..., [mm]v_{i}_{n}[/mm] gegen [mm]w_{n}[/mm] wieder eine Basis von V erhält.
> Numeriert man so um, dass [mm]i_{1}[/mm] = [mm]1,...,i_{}[/mm] = n ist, so
> bedeutet das, dass [mm]B\*[/mm] = [mm](w_{1},...,w_{n}, v_{n+1},..., v_{r})[/mm]
> eine Basis von V ist.
> Hallo,
> ich verstehe obigen Austausch Satz aus einem Buch nicht.
Hallo,
der Satz sagt dies:
Du hast eine Basis eines Raumes, welche aus r Elementen besteht, und n linear unabhängige Vektoren dieses Raumes.
Du findest in der Basis n Vektoren so, daß, wenn Du sie aus der Basis entfernst und die Vektoren der linear unabhängigen Familie dafür einfügst, Du wieder eine Basis des Raumes bekommst.
Dies zu wissen, ist erstmal das Wichtigste.
> In einem K-Vektorraum V seien eine Basis
> [mm] $B=(v_{1},...,v_{r})$ [/mm] und eine lineare unabhängige Familie
> [mm] $(w_{1},...,w_{n})$ [/mm] gegeben. Dann ist n [mm] $\le$ [/mm] r,
Klar. Wenn n>r wäre, dann könnte [mm] $B=(v_{1},...,v_{r})$ [/mm] keine Basis sein.
> und es gibt
> Indizes [mm] $i_{1},...,i_{n} \in$ [/mm] {1,...,r} derart, dass man nach
> Austasch von [mm] $v_{i}_{1}$ [/mm] gegen [mm] $w_{1}, v_{i}_{2}$ [/mm] gegen [mm] $w_{2},$
[/mm]
> ..., [mm] $v_{i}_{n}$ [/mm] gegen [mm] $w_{n}$ [/mm] wieder eine Basis von V erhält.
Wenn Du Glück hast, kannst Du direkt [mm] v_1 [/mm] gegen [mm] w_1, v_2 [/mm] gegen [mm] v_2, [/mm] ..., [mm] v_r [/mm] gegen [mm] w_r [/mm] tauschen.
Wenn nicht, macht das auch nichts. Du kannst die [mm] v_i [/mm] in eine andere Reihenfolge bringen, damit es klappt.
Dieses in-eine-andere-Reihenfolge-Bringen wird durch die Doppelindizes ausgedrückt.
> Numeriert man so um, dass [mm] $i_{1}$ [/mm] = [mm] $1,...,i_{}$ [/mm] = n ist, so
> bedeutet das, dass [mm] $B\*$ [/mm] = [mm] $(w_{1},...,w_{n}, v_{n+1},..., v_{r})$
[/mm]
> eine Basis von V ist.
Man kann die [mm] v_i [/mm] so umtaufen, daß der direkte Austausch [mm] v_1 [/mm] gegen [mm] w_1 [/mm] usw. klappt.
Beispiel: [mm] V:=\IR, [/mm] die Basis B sei (aus Bequemlichkeitsgründen) die Standardbasis [mm] B:=(e_1, e_2, e_3, e_4), [/mm] und die linear unabhängige Familie sei [mm] (w_1:=\vektor{1\\2\\0\\0},w_2:=\vektor{2\\4\\0\\1}).
[/mm]
Der "direkte" Austausch klappt nicht, denn
[mm] (w_1, w_2, v_3, v_4) [/mm] ist nicht linear unabhängig.
Wenn ich aber so schlau bin zu wählen [mm] i_1:=1, i_2:=4, i_3:=2, i_4:=3,d
[/mm]
dann kann ich [mm] w_1 [/mm] gegen [mm] v_{i_1}=v_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] gegen [mm] v_{i_2}=v_4 [/mm] tauschen und bekomme mit [mm] (w_1, v_2, v_3, w_4) [/mm] eine Basis.
(Daß so einen Wahl möglich ist, sagt der Satz)
Oder ich bringe vorher die Basisvektoren in eine geeignete Reihenfolge, hier [mm] (v_1, v_4, v_2, v_3), [/mm] und kann dann direkt den ersten "Familien"vektor gegen den ersten Basisvektor, den zweiten Familienvektor gegen den zweiten Basisvektor tauschen.
Gruß v. Angela
Ich hoffe, es ist jetzt etwas klarer.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Do 08.12.2011 | | Autor: | Pauli85 |
Perfekt, habe es verstanden!
Wenn man weiß, was damit gemeint ist, kommt einen die Frage irgendwie dämlich vor ^.^
Vielen vielen Dank für die Mühe!
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