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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 13.12.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Sei B=(b1,b2,b3,b4) eine Basis des K-VR V. Sei
a1 <-> (1,0,2,0)
a2 <-> (1,1,0,0)
a3 <-> (1,-1,0,0)
(i) Man zeige, dass {a1,b2,b3,b4} eine Basis von V ist
(ii) Lässt sich {a1,a2} zu einer Basis von V ergänzen? Wenn ja,wie? |
Hallo,
zu (i): ich weiß ja schon,dass b1,b2,b3 und b4 eine basis sind.nach dem austauschsatz kann ich doch einen vektor dieser basis austauschen,hier a1 und b1,oder?
a1 ist doch durch die vektoren von B entstanden.
zu (ii): ich würde jetzt intuitiv nein sagen,aber so recht weiß ich nicht,was ich speziell zeigen soll.
hat vielleicht jemand ein paar anregungen?
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Hallo simplify,
> Sei B=(b1,b2,b3,b4) eine Basis des K-VR V. Sei
> a1 <-> (1,0,2,0)
> a2 <-> (1,1,0,0)
> a3 <-> (1,-1,0,0)
> (i) Man zeige, dass {a1,b2,b3,b4} eine Basis von V ist
> (ii) Lässt sich {a1,a2} zu einer Basis von V ergänzen?
> Wenn ja,wie?
> Hallo,
> zu (i): ich weiß ja schon,dass b1,b2,b3 und b4 eine basis
> sind.nach dem austauschsatz kann ich doch einen vektor
> dieser basis austauschen,hier a1 und b1,oder?
> a1 ist doch durch die vektoren von B entstanden.
Unterschlägst du uns hier Voraussetzungen? Wie sehen denn diese [mm] b_{i} [/mm] aus?
Wenn zum Beispiel [mm] a_{1} [/mm] = [mm] b_{2}, [/mm] dürftest du den Austauschsatz gar nicht anwenden!
Ansonsten musst du prüfen, ob die Voraussetzung für den Austauschsatz gegeben ist.
> zu (ii): ich würde jetzt intuitiv nein sagen,aber so
> recht weiß ich nicht,was ich speziell zeigen soll.
> hat vielleicht jemand ein paar anregungen?
[mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] sind doch linear unabhängig, also lassen sie sich durchaus zu einer Basis von V ergänzen!
Nimm doch einfach
[mm] a_{3}' [/mm] = (0,0,1,0)
und [mm] a_{4}' [/mm] = (0,0,0,1).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 13.12.2009 | | Autor: | simplify |
ich habe mir vorgestellt,dass z.b. b1=(1,0,0,0), b2=(0,1,0,0), b3=(0,0,1,0) und b4=(0,0,0,1) ist.
ich bin der meinung,dass wir das irgendwann mal so gemacht haben.kann mich aber auch täuschen,was wahrscheinlich der fall sein wird.
ich habe leichte probleme mit dem austauschsatz.oft genug angeschaut habe ich ihn ja,aber sobald es zur anwendung kommt bin ich mir nicht mehr sicher.
aber ich brauche den doch jetzt schon,oder?
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> ich habe mir vorgestellt,dass z.b. b1=(1,0,0,0),
> b2=(0,1,0,0), b3=(0,0,1,0) und b4=(0,0,0,1) ist.
> ich bin der meinung,dass wir das irgendwann mal so gemacht
> haben.kann mich aber auch täuschen,was wahrscheinlich der
> fall sein wird.
Hallo,
Das, was Du oben angibst, sind die Koordinatenvektoren der [mm] b_i [/mm] bzgl der Basis B, insofern ist's also richtig.
> ich habe leichte probleme mit dem austauschsatz.oft genug
> angeschaut habe ich ihn ja,aber sobald es zur anwendung
> kommt bin ich mir nicht mehr sicher.
> aber ich brauche den doch jetzt schon,oder?
S. meine andere Antwort.
Den Austauschsatz brauchst Du nicht.
Du weißt, daß die Dimension des betrachteten VRes =4 ist, und wenn Du zeigen kannst, daß Du 4 linear unabhängige Vektoren hast, dann müssen sie automatisch eine Basis sein.
Gruß v. Angela
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> Sei B=(b1,b2,b3,b4) eine Basis des K-VR V. Sei
> a1 <-> (1,0,2,0)
> a2 <-> (1,1,0,0)
> a3 <-> (1,-1,0,0)
Hallo,
Indizes bekommt man mit einem Unterstrich.
Was sollen die Pfeile <-> bedeuten? Gleichheitszeichen? Dann schreib welche...
Es sind hier wohl die [mm] a_i [/mm] in Koordinaten bzgl. der Basis B angegeben.
Mit [mm] a_1=\vektor{1\\0\\2\\0} [/mm] ist gemeint [mm] a_1=1*b_1+0*b_2+2*b_3+0*b_4, [/mm] die anderen entsprechend.
> (i) Man zeige, dass {a1,b2,b3,b4} eine Basis von V ist
Rechne vor, daß [mm] a_1=1*b_1+0*b_2+2*b_3+0*b_4, b_2, b_3, b_4 [/mm] linear unabhängig sind.
Was mußt Du dafür zeigen?
Gruß v. Angela
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