Basisergänzungssatz < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | Gegeben seien v[mm] _1 [/mm] =[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] [mm] v_2 [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] [mm] v_3 [/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \alpha \end{pmatrix}[/mm] [mm] \in\IR^3 [/mm]
a) Für welche Werte des Parameters [mm] \alpha [/mm] [mm] \in\IR [/mm] bilden [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm]? Im Falle der linearen Abhängigkeit bestimme man eine maximal linear unabhängige Teilmenge und ergänze diese zu einer Basis von [mm] \IR^3 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bisher habe ich herausgefunden, dass [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear abhängig sind. Nun muss ich ja laut Aufgabenstellung eine maximal linear unabhängige Teilmenge finden und sie zu einer Basis ergänzen.
Meine Frage:Wie mache ich das?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Fr 04.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Gegeben seien v[mm] _1[/mm] =[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] [mm]v_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] [mm]v_3[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \alpha \end{pmatrix}[/mm] [mm]\in\IR^3[/mm]
>
die 1. Fragestellung ist ja:
> a) Für welche Werte des Parameters [mm]\alpha[/mm] [mm]\in\IR[/mm] bilden
> [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] eine Basis von [mm]\IR^3 [/mm]?
Da kannst du folgendes machen:
[mm] A=\pmat{ 1 & -1& 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & \alpha}
[/mm]
Damit [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] linear unabhängig sind, muss die Matrix a invertierbar sein; das ist dann der Fall, wenn [mm] det(A)\not=0.
[/mm]
Mit LaPlace-Entwicklung erhält man:
[mm] det(A)=-6+2\alpha\not=0 \gdw{\alpha\not=3}
[/mm]
Wir wissen: [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig für alle [mm] v_3\not=3.
[/mm]
Für alle [mm] \alpha\in\IR\backslash\{3\} [/mm] bilden [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
2. Fragestellung:
> Im Falle der linearen
> Abhängigkeit bestimme man eine maximal linear unabhängige
> Teilmenge und ergänze diese zu einer Basis von [mm]\IR^3[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wir wissen, für [mm] \alpha=3 [/mm] sind v[mm] _1[/mm] =[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] [mm]v_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] [mm]v_3[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] linear abhängig.
wie man leicht erkennen kann, bilden [mm] v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] v_2=[/mm] [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] eine maximal linear unabhängige Teilmenge. Wir müssen jetzt also einen Vektor [mm] v_4 [/mm] finden mit:
[mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] sind linear unabhängig. Und diese 3 Vektoren würden dann gleichzeitig eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
Allerdings bin ich jetzt irritiert.![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Wenn wir jetzt nämlich einfach sagen:
[mm] v_4=[/mm] [mm]v_3[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \alpha \end{pmatrix}[/mm] mit [mm] \alpha\not=3, [/mm] dann haben wir ja wieder drei linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] und somit auch eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Komisch
Ich hoffe trotzdem, ich konnte dir helfen.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
>
> > Gegeben seien v[mm] _1[/mm] =[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]v_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] [mm]v_3[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \alpha \end{pmatrix}[/mm] [mm]\in\IR^3[/mm]
> >
>
> die 1. Fragestellung ist ja:
>
>
> > a) Für welche Werte des Parameters [mm]\alpha[/mm] [mm]\in\IR[/mm] bilden
> > [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] eine Basis von [mm]\IR^3 [/mm]?
>
>
> Da kannst du folgendes machen:
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & -1& 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & \alpha}[/mm]
>
> Damit [mm]v_1,v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] linear unabhängig sind, muss die
> Matrix a invertierbar sein; das ist dann der Fall, wenn
> [mm]det(A)\not=0.[/mm]
>
> Mit LaPlace-Entwicklung erhält man:
>
> [mm]det(A)=-6+2\alpha\not=0 \gdw{\alpha\not=3}[/mm]
>
> Wir wissen: [mm]v_1,v_2[/mm] und [mm]v_2[/mm] linear unabhängig für alle
> [mm]v_3\not=3.[/mm]
>
> Für alle [mm]\alpha\in\IR\backslash\{3\}[/mm] bilden [mm]v_1,v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm]
> eine Basis des [mm]\IR^3.[/mm]
>
> 2. Fragestellung:
>
> > Im Falle der linearen
> > Abhängigkeit bestimme man eine maximal linear unabhängige
> > Teilmenge und ergänze diese zu einer Basis von [mm]\IR^3[/mm]
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
> Wir wissen, für [mm]\alpha=3[/mm] sind v[mm] _1[/mm] =[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]v_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] [mm]v_3[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] linear abhängig.
>
> wie man leicht erkennen kann, bilden [mm]v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]v_2=[/mm] [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] eine
> maximal linear unabhängige Teilmenge. Wir müssen jetzt also
> einen Vektor [mm]v_4[/mm] finden mit:
>
> [mm]v_1, v_2[/mm] und [mm]v_4[/mm] sind linear unabhängig. Und diese 3
> Vektoren würden dann gleichzeitig eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
> bilden.
>
> Allerdings bin ich jetzt irritiert. Wenn wir
> jetzt nämlich einfach sagen:
>
> [mm]v_4=[/mm] [mm]v_3[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \alpha \end{pmatrix}[/mm]
> mit [mm]\alpha\not=3,[/mm] dann haben wir ja wieder drei linear
> unabhängige Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] und somit auch eine Basis
> des [mm]\IR^3.[/mm]
Hallo,
obgleich ich selbst heute auch verwirrt bin, kann ich Deiner Verwirrung überhaupt nicht folgen.
Oben rechnest Du selber vor, daß die drei Vektoren für [mm] a\not=3 [/mm] linear unabhängig sind und für a=3 abhängig,
und unten wunderst Du Dich daß sie für [mm] a\not=3 [/mm] unabhängig sind.
Ich wundere mich, warum Du Dich darüber wunderst. Oder hab' ich was verpaßt?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Fr 04.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ich wundere mich, warum Du Dich darüber wunderst. Oder hab'
> ich was verpaßt?
mir kam es komisch vor, dass explizit noch einmal nach einem linear unabhängigen, [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zu einer Basis ergänzenden, dritten Vektor gefragt wurde. Man hatte diesen Teil ja quasi schon in der 1. Fragestellung abgedeckt - das hatte mich ein wenig verwirrt.
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Fr 04.01.2008 | | Autor: | arschratte |
Ich verstehe die Aufgabe so:
Du sollst zuerst bestimmen, für welches [mm] \alpha [/mm] die Vektoren eine Basis bilden und für welches [mm] \alpha [/mm] nicht. Das ist ja mittlerweile erledigt.
Für den Fall der linearen Abhängigkeit sollst du eine linear unabhängige Teilmenge bilden - und da hast du ja mehrere Möglichkeiten. Wenn du die Teilmenge bestimmt hast, sollst du einfach einen weiteren Vektor bestimmen, so dass die Vektoren linear unabängig sind und somit wieder eine Basis bilden. Dieser neue Vektor sollte dann natürlich eigentlich nicht an die Form des oben schon untersuchten Vektors angelehnt sein.
Es soll wahrscheinlich abgefragt werden, ob ihr diese Zusammenhänge verstanden habt.
|
|
|
| |
|
> mir kam es komisch vor, dass explizit noch einmal nach
> einem linear unabhängigen, [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] zu einer Basis
> ergänzenden, dritten Vektor gefragt wurde. Man hatte diesen
> Teil ja quasi schon in der 1. Fragestellung abgedeckt
Achso!
Erstens mal ist es ja so, daß in den Aufgaben (zum Glück!) nicht immer intellektuelle Höchstleistungen verlangt werden.
Zweitens könnte ich mir vorstellen, daß für wurzel2 das Verfahren, in welchem die Startvektoren in Spalten gelegt werden und man dann durch ZSF eine Basis des Bildes ermittelt, "geplant" war.
Ich will nicht sagen, daß das Herausfinden des dritten Vektors in diesem Falle besonders schwierig wäre, aber es wäre hier naheliegend, sich einen "frischen" Vektor auszudenken.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
