Basisergänzungssatz < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich komme leider alleine schon wieder nicht weiter... :-(
Diesmal geht es um den Beweis des Basisergänzungssatz, und ich denke mal, dass der schon recht wichtig ist, oder?
Hier erstmal der Satz wie er bei uns in der Vorlesung steht:
Sei $V$ ein endlich erzeugter Vektorraum und $A [mm] \subset [/mm] V$ linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis $B [mm] \subset [/mm] V$, so dass $A [mm] \subset [/mm] B$.
Genauer: Wenn zusätzlich zu $A$ auch noch ein Erzeugendensystem $A' [mm] \subset [/mm] V$ gegegen ist, dann kann die Basis $B$ so gewählt werden, dass $B-A [mm] \subset [/mm] A'$.
Also das sagt mir doch, dass ich ein paar linear unabhängige Vektoren habe, die Teil meiner Basis werden sollen. Und dann pack ich noch ein paar von $A'$ dazu, dass das zusammen gibt dann die Basis, richtig?
Aber irgendwie ist das ein bisschen komisch find ich. Warum muss $A'$ z.B. ein Erzeugendensystem sein? Ich mein, ich nehm ja eh nur ein paar Vektoren davon, die sind ja dann (wahrscheinlich) eh kein Erzeugendensystem mehr.
Und dann müssen die ja auch noch linear unabhängig von den Vektoren aus $A$ sein, warum nehme ich dann nicht direkt alle linear unabhängigen Vektoren (weil Basis ja immer die maximal linear unabhängige Teilmenge ist, mehr linear unabhängige Vektoren kann es ja dann in $V$ eh nicht geben) und fertig ist die Sache?
Warum so umständlich mit ein paar linear unabhängigen Vektoren und noch nem Erzeugendessystem?
So, dann mal zum Beweis. Ich verstehe schon die ersten beiden Sätze nicht. Ich poste mal nur die alleine, danach kommt direkt ne Fallunterscheidung:
Nach Beweis des Satzes über die Existenz einer Basis enthält $A'$ eine Basis.
$A'$ ist selbst schon Basis und da $V$ endlich erzeugt, ist $A'$ endlich.
So, mal zum ersten Satz. Der einzige Satz, den wir bzgl. Existenz von Basis hatten, ist folgender:
Jeder endlich erzeugte Vektorraum besitzt eine Basis.
Aber irgendwie passt der find ich nicht, denn schließlich ist $A'$ nur eine Teilmenge von $V$ und kein eigenständiger endlich erzeugter Vektorraum.
Und zum zweiten Satz: Wieso ist $A'$ den plötzlich selbst schon eine Basis, bisher war es doch nur ein Erzeugendensystem, aber von linear unabhängig stand da noch nix.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Sehr gerne auch bei beiden Problemen, also zum einen beim Beweis und zum anderen bei der Aussage des Satzes ansich. Also wie gesagt, ich denke die Aussage versteh ich, nur den Sinn dahinter nicht.
Vielen Dank.
LG, Nadine
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> Diesmal geht es um den Beweis des Basisergänzungssatz, und
> ich denke mal, dass der schon recht wichtig ist, oder?
Hallo,
ja, der ist wichtig.
>
>
>
> Hier erstmal der Satz wie er bei uns in der Vorlesung
> steht:
>
> Sei [mm]V[/mm] ein endlich erzeugter Vektorraum und [mm]A \subset V[/mm]
> linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis [mm]B \subset V[/mm],
> so dass [mm]A \subset B[/mm].
> Genauer: Wenn zusätzlich zu [mm]A[/mm] auch
> noch ein Erzeugendensystem [mm]A' \subset V[/mm] gegegen ist, dann
> kann die Basis [mm]B[/mm] so gewählt werden, dass [mm]B-A \subset A'[/mm].
>
> Also das sagt mir doch, dass ich ein paar linear
> unabhängige Vektoren habe, die Teil meiner Basis werden
> sollen. Und dann pack ich noch ein paar von [mm]A'[/mm] dazu, dass
> das zusammen gibt dann die Basis, richtig?
Ja, genau.
>
> Aber irgendwie ist das ein bisschen komisch find ich. Warum
> muss [mm]A'[/mm] z.B. ein Erzeugendensystem sein? Ich mein, ich nehm
> ja eh nur ein paar Vektoren davon, die sind ja dann
> (wahrscheinlich) eh kein Erzeugendensystem mehr.
Wenn A' ein Erzeugendensystem ist, kann man sicher sein, daß Du in A' passende Ergänzungsvektoren findest.
Nehmen wir mal [mm] V:=\IR^3, [/mm]
[mm] A:=\{\vektor{1\\2\\0}\}
[/mm]
[mm] A':=\{\vektor{1\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\0\\0}\}. [/mm]
A' ist kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3, [/mm] und Du findest hier nicht genügend passende Vektoren, mit denen Du A zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen kannst.
Anders hingegen mit [mm] A'':=\{\vektor{1\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\1\\1}\}.
[/mm]
Das ist ein Erzeugendensystem, und Du findest hier Vektoren, mit denen Du ergänzen kannst.
(Du solltest übrigens wissen: jedes Erzeugendensystem von V enthält eine Basis von V.)
> Und dann müssen die ja auch noch linear unabhängig von
> den Vektoren aus [mm]A[/mm] sein, warum nehme ich dann nicht direkt
> alle linear unabhängigen Vektoren
Woraus? Was genau meinst Du jetzt?
> (weil Basis ja immer die
> maximal linear unabhängige Teilmenge ist, mehr linear
> unabhängige Vektoren kann es ja dann in [mm]V[/mm] eh nicht geben)
> und fertig ist die Sache?
Dir ist aber klar, daß man im [mm] \IR^3 [/mm] sehr viele Mengen mit 3 linear unabhängigen Vektoren finden kann?
>
> Warum so umständlich mit ein paar linear unabhängigen
> Vektoren und noch nem Erzeugendessystem?
Es geht halt daraum, daß Du, wenn Du ein paar linear unabhängige Vektoren hast und ein Erzeugendensystem, diese Vektoren mit vektoren aus dem Erzeugendensystem zu einer Basis ergänzen kannst. (Wie in meinem kleinen Beispiel.)
>
>
>
> So, dann mal zum Beweis. Ich verstehe schon die ersten
> beiden Sätze nicht. Ich poste mal nur die alleine, danach
> kommt direkt ne Fallunterscheidung:
>
> Nach Beweis des Satzes über die Existenz einer Basis
> enthält [mm]A'[/mm] eine Basis.
> [mm]A'[/mm] ist selbst schon Basis und da [mm]V[/mm] endlich erzeugt, ist [mm]A'[/mm]
> endlich.
>
> So, mal zum ersten Satz. Der einzige Satz, den wir bzgl.
> Existenz von Basis hatten, ist folgender:
>
> Jeder endlich erzeugte Vektorraum besitzt eine Basis.
Schau mal im Beweis zu diesem Existenzsatz (oder sonstwo).
Es gilt jedenfalls: jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis, also auch A'.
>
> Aber irgendwie passt der find ich nicht, denn schließlich
> ist [mm]A'[/mm] nur eine Teilmenge von [mm]V[/mm] und kein eigenständiger
> endlich erzeugter Vektorraum.
ja, und es geht darum, daß man sich unter den Vektoren, die in A' sind, eine Basis zusammenklauben kann.
> Und zum zweiten Satz: Wieso ist [mm]A'[/mm] den plötzlich selbst
> schon eine Basis, bisher war es doch nur ein
> Erzeugendensystem, aber von linear unabhängig stand da
> noch nix.
Nee, ich denke, daß ist der erste der Fälle:
1. A' ist schon eine Basis.
2. A' enthält eine Basis A''
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Di 29.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Leider kann ich erst jetzt wieder antworten, da ich in letzer Zeit mit einem Seminarvortrag beschäftigt war.
> Wenn A' ein Erzeugendensystem ist, kann man sicher sein,
> daß Du in A' passende Ergänzungsvektoren findest
>
> Nehmen wir mal [mm]V:=\IR^3,[/mm]
>
> [mm]A:=\{\vektor{1\\2\\3}}[/mm]
>
> [mm]A':=\{\vektor{1\\1\\0}, \vektor{0\\1\0}, \vektor{1\\0\\0}\}.[/mm]
> A' ist kein Erzeugendensystem des [mm]\IR^3,[/mm] und Du findest
> hier nicht genügend passende Vektoren, mit denen Du A zu
> einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen kannst.
>
> Anders hingegen mit [mm]A'':=\{\vektor{1\\1\\0}, \vektor{0\\1\0}, \vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\1\\1}\}.[/mm]
>
> Das ist ein Erzeugendensystem, und Du findest hier
> Vektoren, mit denen Du ergänzen kannst.
Hmm, ehrlich gesagt weiß ich nicht genau, wie ich überprüfe, ob die Vektoren, die ich wähle eine Basis bilden oder nicht.
Bzw. ich sehe noch nicht einmal, ob sie ein Erzeugendessystem bilden oder nicht.
Zum Beispiel in deiner ersten Menge A', ich kann nicht erkennen, dass das kein Erzeugendensystem ist.
Deshalb kann ich auch nicht erkennen, dass wenn ich den Vektor [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] aus A mit den beiden Vektoren [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] aus A' ergänze, keine Basis geben kann. Alles was ich sehe, ist, dass diese drei Vektoren voneinander linear unabhängig sind (was ich ja für eine Basis brauche).
Und ebenso erkenne ich bei der zweiten Menge nicht, dass wenn ich den Vektor [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] aus A mit Vektoren aus A'' ergänze, ich eine Basis erhalte.
Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich prüfe, ob Vekoren ein Erzeugendensystem bilden oder nicht?
Und kannst du mir erklären, warum du in die Mengen noch einen zweidimesionalen Vektor mit reingepackt hast? Den kann ich doch gar nicht mit den anderen Vektoren linear kombinieren...
> (Du solltest übrigens wissen: jedes Erzeugendensystem von
> V enthält eine Basis von V.)
Nein, das weiß ich nicht... So etwas steht nicht in unserer Vorlesung...
In meiner Vorlesung steht nur, dass jeder Vektorraum eine Basis enthält.
Aber ein Erzeugendensystem ist ja kein Vektorraum.
Diese Aussage steht ja auch ganz am Anfang meines Beweises des BES, aber da wusste ich ja auch nicht was damit gemeint war, hatte ich ja hier auch nachgefragt.
Ich hätte da auch noch eine inhaltliche Frage zum Basisergänzungssatz.
Hier nochmal mein Satz:
Sei $V$ ein endlich erzeugter Vektorraum und $A [mm] \subset [/mm] V$ linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis $B [mm] \subset [/mm] V$, so dass $A [mm] \subset [/mm] B$.
Genauer: Wenn zusätzlich zu $A$ auch noch ein Erzeugendensystem $A' [mm] \subset [/mm] V$ gegegen ist, dann kann die Basis $B$ so gewählt werden, dass $B-A [mm] \subset [/mm] A'$.
Wenn jetzt dieser ich nenn ihm mal "Genauer-Absatz" nicht dabei stände, dann würd ich aus dem ersten Teil nicht erkennen, das es sich bei den übrigen Vektoren der Basis B um Vektoren aus einem Erzeugendensystem A' handelt.
Ist es dann wirklich so wichtig dass die restlichen Vektoren aus einem Erzeugendessystem stammen, oder geht es auch ohne?
Oder kann man das irgendwie zwischen den Zeilen lesen, dass diese übrigen Vektoren wirklich aus einem Erzeugendessystem stammen müssen?
LG, Nadine
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> > Anders hingegen mit [mm]A'':=\{\vektor{1\\1\\0}, \vektor{0\\1\0}, \vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\1\\1}\}.[/mm]
> Hmm, ehrlich gesagt weiß ich nicht genau, wie ich
> überprüfe, ob die Vektoren, die ich wähle eine Basis
> bilden oder nicht.
>
Hallo,
sie müssen linear unabhängig sein und den Raum erzeugen.
Oder, wenn bekannt ist, daß der VR die Dimension n hat:
n linear unabhängige Vektoren sind eine Basis.
Ein Erzeugendensystem mit n Vektoren ist eine Basis.
> Zum Beispiel in deiner ersten Menge A', ich kann nicht
> erkennen, dass das kein Erzeugendensystem ist.
Kannst Du [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] damit erzeugen?
>
> Deshalb kann ich auch nicht erkennen, dass wenn ich den
> Vektor [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] aus A mit den beiden Vektoren
> [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm] und [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] aus A' ergänze,
> keine Basis geben kann. Alles was ich sehe, ist, dass diese
> drei Vektoren voneinander linear unabhängig sind (was ich
> ja für eine Basis brauche).
Ja, da steckte eine Fehler im Post. Der Vektor sollte statt [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] heißen [mm] \vektor{1\\2\\0}.
[/mm]
Vielleicht liest Du Dir das korrigierte Post jetzt mal durch, es sollte aufgrund der ausgemerzten Fehler sinnvoller und verständlicher sein.
>
> Und ebenso erkenne ich bei der zweiten Menge nicht, dass
> wenn ich den Vektor [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] aus A mit Vektoren aus
> A'' ergänze, ich eine Basis erhalte.
???
Du mußt doch nur die richtigen Vektoren aus A'' herausnehmen?
>
> Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich prüfe, ob Vekoren
> ein Erzeugendensystem bilden oder nicht?
Da der [mm] \IR^3 [/mm] die Dimension 3 hat, ist jede Menge, die eine Teilmenge aus 3 linear unabhängigen vektoren enthält, ein Erzeugendensystem.
Ansonsten kannst Du auch nachrechnen, ob Du jeden beliebigen Vektore [mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] als Linearkombination der Vektoren der zu prüfenden Menge darstellen kannst.
>
> Und kannst du mir erklären, warum du in die Mengen noch
> einen zweidimesionalen Vektor mit reingepackt hast?
Da wäre wirklich sinnlos. Im Zitat meines Artikels konntest Du allerdings sehen, daß es lediglich die Folge eines vergessenen Striches war.
Wie gesagt, lies nochmal meine korrigierte Antwort.
> > (Du solltest übrigens wissen: jedes Erzeugendensystem von
> > V enthält eine Basis von V.)
>
> Nein, das weiß ich nicht...
Oh weh.
Nimm Dir aus dem Erzeugendensystem E eine maximale Menge B von linear unabhängigen Vektoren heraus. Das ist dann eine Basis, denn mit diesen Vektoren kannst Du den Raum ebenfalls erzeugen.
> Ich hätte da auch noch eine inhaltliche Frage zum
> Basisergänzungssatz.
> Hier nochmal mein Satz:
>
> Sei [mm]V[/mm] ein endlich erzeugter Vektorraum und [mm]A \subset V[/mm]
> linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis [mm]B \subset V[/mm],
> so dass [mm]A \subset B[/mm].
> Genauer: Wenn zusätzlich zu [mm]A[/mm] auch
> noch ein Erzeugendensystem [mm]A' \subset V[/mm] gegegen ist, dann
> kann die Basis [mm]B[/mm] so gewählt werden, dass [mm]B-A \subset A'[/mm].
>
> Wenn jetzt dieser ich nenn ihm mal "Genauer-Absatz" nicht
> dabei stände, dann würd ich aus dem ersten Teil nicht
> erkennen, das es sich bei den übrigen Vektoren der Basis B
> um Vektoren aus einem Erzeugendensystem A' handelt.
Im ersten Teil steht, daß Du jede linear unabhängige Teilmenge A durch passende Vektoren zu einer Basis ergänzen kannst, bzw. daß es eine Basis gibt, deren Teilmenge A ist,
und das isterstmal unbedingt merkenswert.
Wenn wir die Menge [mm] \{vektor{1\\2\\0}\} [/mm] haben, können wir sie durch [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen.
> Ist es dann wirklich so wichtig dass die restlichen
> Vektoren aus einem Erzeugendessystem stammen, oder geht es
> auch ohne?
Der zweite Teil geht darüber hinaus: wenn wir eine linear unabhängige Menge A haben und ein beliebiges Erzeugendensystem E, so finden wir in diesem Erzeugendensystem (!) passende Ergänzungsvektoren.
(In diesen Dunstkreis gehört auch der Basisaustauschsatz.)
> Oder kann man das irgendwie zwischen den Zeilen lesen, dass
> diese übrigen Vektoren wirklich aus einem
> Erzeugendessystem stammen müssen?
Es ist doch die Menge [mm] \{vektor{1\\0\\0}, \vektor{2\\2\\0}, \vektor{3\\3\\3}, \vektor{1\\2\\3}\} [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3.
[/mm]
Also ist auch die Vereinigung dieser Menge mit meinen Ergänzungsvektoren von oben, [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] , ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3. [/mm] .
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Vielen Dank für deine Antwort.
Ein paar Fragen hab ich aber nochmal.
> > > (Du solltest übrigens wissen: jedes Erzeugendensystem von
> > > V enthält eine Basis von V.)
> >
> > Nein, das weiß ich nicht...
>
> Oh weh.
>
> Nimm Dir aus dem Erzeugendensystem E eine maximale Menge B
> von linear unabhängigen Vektoren heraus. Das ist dann eine
> Basis, denn mit diesen Vektoren kannst Du den Raum
> ebenfalls erzeugen.
Aber wenn nun jedes Erzeugendessystem sowieso schon eine Basis hat, warum brauche ich dann noch den Basisergänzungssatz? Im Basisergänzungssatz habe ich ja eine linear unabhängige Teilmenge und ein Erzeugendessystem gegeben. Dann könnte ich doch nur noch das Erzeugendensystem nehmen, suche darin die Basis raus, und wäre fertig. Dann bräuchte ich die linear unabhängige Teilmenge doch gar nicht... Oder kann es sein, dass sich die linear unabhängige Teilmenge und das Erzeugendessystem überschneiden?
> > Ich hätte da auch noch eine inhaltliche Frage zum
> > Basisergänzungssatz.
> > Hier nochmal mein Satz:
> >
> > Sei [mm]V[/mm] ein endlich erzeugter Vektorraum und [mm]A \subset V[/mm]
> >
> linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis [mm]B \subset V[/mm],
>
> > so dass [mm]A \subset B[/mm].
> > Genauer: Wenn zusätzlich zu [mm]A[/mm]
> auch
> > noch ein Erzeugendensystem [mm]A' \subset V[/mm] gegegen ist,
> dann
> > kann die Basis [mm]B[/mm] so gewählt werden, dass [mm]B-A \subset A'[/mm].
> >
> > Wenn jetzt dieser ich nenn ihm mal "Genauer-Absatz" nicht
> > dabei stände, dann würd ich aus dem ersten Teil nicht
> > erkennen, das es sich bei den übrigen Vektoren der Basis B
> > um Vektoren aus einem Erzeugendensystem A' handelt.
>
> Im ersten Teil steht, daß Du jede linear unabhängige
> Teilmenge A durch passende Vektoren zu einer Basis
> ergänzen kannst, bzw. daß es eine Basis gibt, deren
> Teilmenge A ist,
> und das isterstmal unbedingt merkenswert.
>
> Wenn wir die Menge [mm]\{vektor{1\\2\\0}\}[/mm] haben, können wir
> sie durch [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm] zu einer
> Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen.
>
> > Ist es dann wirklich so wichtig dass die restlichen
> > Vektoren aus einem Erzeugendessystem stammen, oder geht es
> > auch ohne?
>
> Der zweite Teil geht darüber hinaus: wenn wir eine linear
> unabhängige Menge A haben und ein beliebiges
> Erzeugendensystem E, so finden wir in diesem
> Erzeugendensystem (!) passende Ergänzungsvektoren.
Hmm, also das ist mir noch nicht so klar.
Sind das dann quasi zwei Varianten des Basisergänzungssatzes?
Ich bin da grad sowieso etwas verwirrt, weil ich habe hier ein paar Bücher, und in jedem steht eine andere Variante des Basisergänzungssatzes.
Also kann ich quasi einmal sagen, dass ich nur eine linear unabhängige Menge vorgegeben habe. Und zu der kann ich irgendwelche Vektoren finden, dass das ganze eine Basis eines vorgegebenen Vektorraums wird?
Und einmal kann ich sagen, dass ich neben der linear unabhängigen Teilmenge noch ein Erzeugendessystem gegeben hab, und dann sind die zusätzlichen Vektoren, die ich noch brauche um eine Basis zu bilden, aus diesem Erzeugendessystem?
Aber welche Variante ist jetzt die richtige/bessere?
LG, Nadine
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> > Nimm Dir aus dem Erzeugendensystem E eine maximale Menge B
> > von linear unabhängigen Vektoren heraus. Das ist dann eine
> > Basis, denn mit diesen Vektoren kannst Du den Raum
> > ebenfalls erzeugen.
>
> Aber wenn nun jedes Erzeugendessystem sowieso schon eine
> Basis hat, warum brauche ich dann noch den
> Basisergänzungssatz?
Hallo,
was man braucht, kommt doch immer auf die Situation an - wenn Du keine Mathematik betreibst, dann brauchst Du gar nichts davon. Es lebt sich prächtig ohne all das.
Oftmals ist es gut zu wissen, daß in jedem Erzeugendensystem eine Basis steckt,
und ebenso oft ist es nützlich, wenn man weiß, daß man eine linear unabhängige Menge von Vektoren zu einer Basis ergänzen kann,
und manchmal hat man eben eine linear unabhängige Menge und ein Erzeugendensystem vor sich liegen, und aufgrund Deines Satzes hat man die Garantie, daß man in dem Erzeugendensystem Vektoren findet, die die linear unabhängige Menge zu einer Basis ergänzen.
> Im Basisergänzungssatz habe ich ja
> eine linear unabhängige Teilmenge und ein
> Erzeugendessystem gegeben. Dann könnte ich doch nur noch
> das Erzeugendensystem nehmen, suche darin die Basis raus,
> und wäre fertig. Dann bräuchte ich die linear
> unabhängige Teilmenge doch gar nicht... Oder kann es sein,
> dass sich die linear unabhängige Teilmenge und das
> Erzeugendessystem überschneiden?
Nicht unbedingt. Das ist ja das Tolle: in einem völlig beliebigen Erzeugendensystem finde ich passende Ergänzungsvektoren.
>
>
>
> > > Ich hätte da auch noch eine inhaltliche Frage zum
> > > Basisergänzungssatz.
> > > Hier nochmal mein Satz:
> > >
> > > Sei [mm]V[/mm] ein endlich erzeugter Vektorraum und [mm]A \subset V[/mm]
>
> > >
> > linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis [mm]B \subset V[/mm],
>
> >
> > > so dass [mm]A \subset B[/mm].
> > > Genauer: Wenn zusätzlich zu
> [mm]A[/mm]
> > auch
> > > noch ein Erzeugendensystem [mm]A' \subset V[/mm] gegegen ist,
> > dann
> > > kann die Basis [mm]B[/mm] so gewählt werden, dass [mm]B-A \subset A'[/mm].
> > >
> > > Wenn jetzt dieser ich nenn ihm mal "Genauer-Absatz" nicht
> > > dabei stände, dann würd ich aus dem ersten Teil nicht
> > > erkennen, das es sich bei den übrigen Vektoren der Basis B
> > > um Vektoren aus einem Erzeugendensystem A' handelt.
> >
> > Im ersten Teil steht, daß Du jede linear unabhängige
> > Teilmenge A durch passende Vektoren zu einer Basis
> > ergänzen kannst, bzw. daß es eine Basis gibt, deren
> > Teilmenge A ist,
> > und das isterstmal unbedingt merkenswert.
> >
> > Wenn wir die Menge [mm]\{\vektor{1\\2\\0}\}[/mm] haben, können wir
> > sie durch [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm] zu einer
> > Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen.
> >
> > > Ist es dann wirklich so wichtig dass die restlichen
> > > Vektoren aus einem Erzeugendessystem stammen, oder geht es
> > > auch ohne?
> >
> > Der zweite Teil geht darüber hinaus: wenn wir eine linear
> > unabhängige Menge A haben und ein beliebiges
> > Erzeugendensystem E, so finden wir in diesem
> > Erzeugendensystem (!) passende Ergänzungsvektoren.
>
> Hmm, also das ist mir noch nicht so klar.
> Sind das dann quasi zwei Varianten des
> Basisergänzungssatzes?
Wenn Du es so sehen willst...
Eigentlich aber nicht: wenn man bedenkt, daß V ein Erzeugendensystem von V ist, dann sieht man, daß die erste Variante in der zweiten enthalten ist.
Die zweite ist schärfer.
> Ich bin da grad sowieso etwas verwirrt, weil ich habe hier
> ein paar Bücher, und in jedem steht eine andere Variante
> des Basisergänzungssatzes.
Ja, damit muß man wohl leben.
Es gibt ein paar Sätze, die sehr eng verbandelt sind. Basisergänzung und Basisaustausch liegen doch dicht beieinander.
Aber wenn Du die entsprechenden Buchseiten zusammenfaßt, dann werden summa summarum überall dieselben Fakten stehen - und die mußt Du wissen.
> Also kann ich quasi einmal sagen, dass ich nur eine linear
> unabhängige Menge vorgegeben habe. Und zu der kann ich
> irgendwelche Vektoren finden, dass das ganze eine Basis
> eines vorgegebenen Vektorraums wird?
Ja.
>
> Und einmal kann ich sagen, dass ich neben der linear
> unabhängigen Teilmenge noch ein Erzeugendessystem gegeben
> hab, und dann sind die zusätzlichen Vektoren, die ich noch
> brauche um eine Basis zu bilden, aus diesem
> Erzeugendessystem?
Du kannst dann sagen: in diesem Erzeugendensystem findest Du passende Vektoren.
>
> Aber welche Variante ist jetzt die richtige/bessere?
Beide.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Also ich hab jetzt schon mehrere Bücher durchforstet, aber in keinen davon versteh ich des Beweis des Basisergänzungssatzes. Es ist auch alles überall anders, auch der Satzes lautet teilweise anders.
Ich schreib hier einfach mal den kompletten Beweis aus meiner Vorlesung auf, er ist nicht so lang, vielleicht versteh ich es ja mit eurer Hilfe.
Hier aber erst nochmal der Satz, damit man weiß, worauf sich die Bezeichnungen beziehen:
Sei $V$ ein endlich erzeugter Vektorraum und $A [mm] \subset [/mm] V$ linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis $B [mm] \subset [/mm] V$, so dass $A [mm] \subset [/mm] B$.
Genauer: Wenn zusätzlich zu $A$ auch noch ein Erzeugendensystem $A' [mm] \subset [/mm] V$ gegegen ist, dann kann die Basis $B$ so gewählt werden, dass $B-A [mm] \subset [/mm] A'$.
Hier unser Beweis, ich nummerier mal jeden Satz durch, damit ich mich nachher besser darauf beziehen kann.
(1) Nach Beweis des Satzes über die Existenz einer Basis, enthält $A'$ eine Basis.
(2) Also o.B.d.A.: $A'$ ist selbst schon Basis und da $V$ endlich erzeugt ist, ist $A'$ endlich.
Fall 1:
(3) Falls $<A>=V$, dann ist $A$ Basis.
Fall 2:
(4) Falls $<A> [mm] \not= [/mm] V$, Behauptung: Es existiert ein [mm] $x_1 \in [/mm] A' : [mm] x_1 \not\in [/mm] <A>$.
(5) Denn wäre $A' [mm] \subset [/mm] <A>$, dann auch $V=<A'> [mm] \subset [/mm] <A> [mm] \not= [/mm] V$ [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
(6) Also existiert ein solches [mm] x_1 [/mm] .
(7) Dann ist aber auch $A' [mm] \cup \{ x_1 \}$ [/mm] linear unabhängig.
(8) Damit ist [mm] $A_1 [/mm] := A [mm] \cup \{ x_1 \}$ [/mm] linear unabhängig.
(9) Setzen fort und definieren rekursiv: [mm] $A_{i+1} [/mm] = [mm] A_i \cup \{x_{i+1} \}$ [/mm] mit [mm] $x_{i+1} \not\in \{ x_1,...,x_i \}$, [/mm] aber [mm] $x_{i+1} \in [/mm] A'$.
(10) Dieser Prozess endet, falls: [mm] $=V$ [/mm] oder [mm] $A'=\{x_1,...,x_i \}$. [/mm]
(11) Also da $A'$ endlich ist, endet dieser Prozess nach endlich vielen Schritten.
So, hier meine Fragen zum Beweis:
zu (1): Also der einzige Satz, den wir über die Existenz einer Basis haben, ist der Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis enthält. Mehr haben wir nicht, und ich kann im Beweis dazu nix entdecken, das mir sagt, dass ein Erzeugendensystem auch eine Basis enthält. Warum ist das so? [Das hatten wir ja bei der inhaltlichen Diskussion schonmal angesprochen...]
zu (2): Warum nehmen wir an, dass das Erzeugendessystem $A'$ schon eine Basis ist? Dann hab ich doch schon eine Basis, was will ich mehr? Warum mach ich dann überhaupt weiter? Gut, dass $A'$ endlich sein muss, weil es eine eine Teilmenge des Vektorraums ist, der wiederum selbst endlich ist, ist klar, geht ja nicht anders.
zu (3): Gut, wenn ich sage, dass die linear unabhängige Teilmenge $A$ bereits den ganzen Raum $V$ aufspannt, dann ist $A$ eine Basis, klar. Aber warum mache ich diese Fallunterscheidung?
zu (4): Ok, hier nehme ich dann den anderen Fall an. Und dann behaupte ich, dass ich in dem Erzeugendensystem einen Vektor [mm] x_1 [/mm] finde, der nicht im Erzeugnis der Vektoren von $A$ liegt, damit also linear unabhängig zu den Vektoren in $A$ ist.
zu (5): Hier wird ja gezeigt, dass es so einen Vektor [mm] x_1 [/mm] auch wirklich gibt, die Begründung verstehe ich allerdings nicht...
zu (6): -
zu (7): Warum ist $A' [mm] \cup \{ x_1 \}$ [/mm] linear unabhängig?
zu (8): Das $A [mm] \cup \{x_1 \}$ [/mm] linear unabhängig ist, verstehe ich, ich habe ja mein [mm] x_1 [/mm] extra so gewählt, dass es nicht im Erzeugnis der Vektoren aus $A$ liegt, und somit linear unabhängig zu den Vektoren aus $A$ ist.
zu (9) - (11) Darüber möchte ich mir erst dann Gedanken machen, wenn ich den ersten Teil des Beweises verstanden habe.
Ich wäre sehr sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Mir bereitet dieses Vektorenthema einfach nur riesengroße Schwierigkeiten... :-(
Vielen Dank!
LG, Nadine
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> Hier aber erst nochmal der Satz, damit man weiß, worauf
> sich die Bezeichnungen beziehen:
>
> Sei [mm]V[/mm] ein endlich erzeugter Vektorraum und [mm]A \subset V[/mm]
> linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis [mm]B \subset V[/mm],
> so dass [mm]A \subset B[/mm].
> Genauer: Wenn zusätzlich zu [mm]A[/mm] auch
> noch ein Erzeugendensystem [mm]A' \subset V[/mm] gegegen ist, dann
> kann die Basis [mm]B[/mm] so gewählt werden, dass [mm]B-A \subset A'[/mm].
>
>
>
> Hier unser Beweis, ich nummerier mal jeden Satz durch,
> damit ich mich nachher besser darauf beziehen kann.
Hallo,
ja, das ist gut.
>
> (1) Nach Beweis des Satzes über die Existenz einer Basis,
> enthält [mm]A'[/mm] eine Basis.
> (2) Also o.B.d.A.: [mm]A'[/mm] ist selbst schon Basis und da [mm]V[/mm]
> endlich erzeugt ist, ist [mm]A'[/mm] endlich.
>
> Fall 1:
> (3) Falls [mm]=V[/mm], dann ist [mm]A[/mm] Basis.
>
> Fall 2:
> (4) Falls [mm] \not= V[/mm], Behauptung: Es existiert ein [mm]x_1 \in A' : x_1 \not\in [/mm].
> (5) Denn wäre [mm]A' \subset [/mm], dann auch [mm]V= \subset \not= V[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch
> (6) Also existiert ein solches [mm]x_1[/mm] .
> (7) Dann ist aber auch [mm]A' \cup \{ x_1 \}[/mm] linear
> unabhängig.
> (8) Damit ist [mm]A_1 := A \cup \{ x_1 \}[/mm] linear unabhängig.
> (9) Setzen fort und definieren rekursiv: [mm]A_{i+1} = A_i \cup \{x_{i+1} \}[/mm]
> mit [mm]x_{i+1} \not\in \{ x_1,...,x_i \}[/mm], aber [mm]x_{i+1} \in A'[/mm].
> (10) Dieser Prozess endet, falls: [mm]=V[/mm] oder
> [mm]A'=\{x_1,...,x_i \}[/mm].
> (11) Also da [mm]A'[/mm] endlich ist, endet dieser Prozess nach
> endlich vielen Schritten.
>
>
>
> So, hier meine Fragen zum Beweis:
>
> zu (1): Also der einzige Satz, den wir über die Existenz
> einer Basis haben, ist der Satz, dass jeder Vektorraum eine
> Basis enthält. Mehr haben wir nicht, und ich kann im
> Beweis dazu nix entdecken, das mir sagt, dass ein
> Erzeugendensystem auch eine Basis enthält. Warum ist das
> so? [Das hatten wir ja bei der inhaltlichen Diskussion
> schonmal angesprochen...]
Du solltest und mußt über Basis wissen, daß es ein minimales Erzeugendensystem ist.
Aus Deinem Erzeugendensystem kannst Du nun alle überflüssigen Vektoren herausnehmen. Übrig bleibt ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis.
>
> zu (2): Warum nehmen wir an, dass das Erzeugendessystem [mm]A'[/mm]
> schon eine Basis ist?
Wir beschränken uns bei der Betrachtung auf die wichtigesten Bestandteile des Erzeugendensystems. Die verzichtbaren Vektoren legen wir beiseite.
> Dann hab ich doch schon eine Basis,
> was will ich mehr?
Du willst eine andere Basis, nämlich eine, die A enthält.
(Du hast Dir doch bestimmt auch schonmal ein T-Shirt gekauft, obgleich Du schon eins hast, oder?)
> Warum mach ich dann überhaupt weiter?
(Weil Du ein T-Shirt in einer schönen Farbe aus edlen Materialien in einem modernen Schnitt haben möchtest.)
> Gut, dass [mm]A'[/mm] endlich sein muss, weil es eine eine Teilmenge
> des Vektorraums ist, der wiederum selbst endlich ist,
Nein, der Vektorraum ist nicht endlich, sondern endlich erzeugt, wie z.B. der [mm] \IR^3.
[/mm]
Da V endlich erzeugt ist, ist jedes minimale Erzeugendensystem (=Basis) endlich.
> ist
> klar, geht ja nicht anders.
>
> zu (3): Gut, wenn ich sage, dass die linear unabhängige
> Teilmenge [mm]A[/mm] bereits den ganzen Raum [mm]V[/mm] aufspannt, dann ist [mm]A[/mm]
> eine Basis, klar. Aber warum mache ich diese
> Fallunterscheidung?
Weil's halt die beiden Fälle gibt:
1. A ist schon eine Basis. Dann gibt's nix zu ergänzen.
2. A ist keine Basis. Dann wird vorgemacht, daß man ergänzen kann.
>
> zu (4): Ok, hier nehme ich dann den anderen Fall an. Und
> dann behaupte ich, dass ich in dem Erzeugendensystem einen
> Vektor [mm]x_1[/mm] finde, der nicht im Erzeugnis der Vektoren von [mm]A[/mm]
> liegt, damit also linear unabhängig zu den Vektoren in [mm]A[/mm]
> ist.
Ja.
>
> zu (5): Hier wird ja gezeigt, dass es so einen Vektor [mm]x_1[/mm]
> auch wirklich gibt, die Begründung verstehe ich allerdings
> nicht...
Wenn jeder Vektor aus A' in <A> läge, dann wäre [mm] A'\subseteq [/mm] <A>.
Also wäre V=<A'> [mm] \subseteq \not=V
[/mm]
Überlege Dir hierfür, daß aus [mm] A'\subseteq [/mm] <A> folgt, daß <A'> [mm] \subseteq [/mm] <A>.
>
> zu (6): -
>
> zu (7): Warum ist [mm]A' \cup \{ x_1 \}[/mm] linear unabhängig?
Hier soll es wohl [mm]A \cup \{ x_1 \}[/mm] heißen.
([mm]A' \cup \{ x_1 \}[/mm]=A' ist natürlich unabhängig, das war ja vorausgesetzt.)
>
> zu (8): Das [mm]A \cup \{x_1 \}[/mm] linear unabhängig ist,
> verstehe ich, ich habe ja mein [mm]x_1[/mm] extra so gewählt, dass
> es nicht im Erzeugnis der Vektoren aus [mm]A[/mm] liegt, und somit
> linear unabhängig zu den Vektoren aus [mm]A[/mm] ist.
Genau.
>
> zu (9) - (11) Darüber möchte ich mir erst dann Gedanken
> machen, wenn ich den ersten Teil des Beweises verstanden
> habe.
>
>
>
> Ich wäre sehr sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen
> kann.
> Mir bereitet dieses Vektorenthema einfach nur riesengroße
> Schwierigkeiten... :-(
Ich gehe davon aus, daß Du in der Schule Vektorrechnung hattest.
Dies hier ist natürlich viel abstrakter, aber zum Verständnis hat es mir immer geholfen, wenn ich mir zu den Sätzen Beispiele gemacht habe aus VRen, die ich gut kenne.
Auch die Sätze an solchen Beispielen zu testen, verhilft zum Verständnis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 17.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Nach langer Zeit muss ich in diesem Thread doch nochmal was nachfragen.
> Wenn jeder Vektor aus A' in <A> läge, dann wäre
> [mm]A'\subseteq[/mm] <A>.
> Also wäre V=<A'> [mm]\subseteq \not=V[/mm]
>
> Überlege Dir hierfür, daß aus [mm]A'\subseteq[/mm] <A> folgt,
> daß <A'> [mm]\subseteq[/mm] <A>.
Hier komme ich nicht auf die Begründung, warum das so ist.
Ich habe mir zwar mal ein Beispiel gemacht, an dem es funktioniert hat, aber ich kann es nicht allgemein begründen.
Könntest du mir vielleicht erklären, warum das so ist?
> (10) Dieser Prozess endet, falls: $ [mm] =V [/mm] $ oder $ [mm] A'=\{x_1,...,x_i \} [/mm] $.
Die zweite Abbruchbedingung verstehe ich nicht so recht.
Sie sagt doch, dass der Prozess endet, wenn ich in A' keine weiteren Vektoren mehr habe, oder?
Kann das überhaupt passieren, dass ich alle Vektoren aus A' zum Ergänzen aufbrauche?
Wenn ja, dann müsste ja in der linear unabhängigen Menge vorher kein Vektor drin gewesen sein, ansonsten hätte ich in meiner gebastelten Basis ja die komplette Basis aus A' so wie die schon vorher darin enthaltenen linear unabhängigen Vektoren von A, was ja dann nicht mehr minimal wäre, oder?
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Sa 30.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Nadine,
> > Überlege Dir hierfür, daß aus [mm]A'\subseteq[/mm] <A> folgt,
> > daß <A'> [mm]\subseteq[/mm] <A>.
>
> Hier komme ich nicht auf die Begründung, warum das so
> ist.
> Ich habe mir zwar mal ein Beispiel gemacht, an dem es
> funktioniert hat, aber ich kann es nicht allgemein
> begründen.
> Könntest du mir vielleicht erklären, warum das so ist?
Variante 1 (naheliegend):
Man fängt wie üblich an, wenn man eine Inklusion von Mengen zeigen will: Sei [mm] $v\in [/mm] <A'>$. Zu zeigen ist [mm] $v\in [/mm] <A>$.
Wegen [mm] $v\in [/mm] <A'>$ hat $v$ nach Definition von $<A'>$ die Gestalt $v=$... für gewisse ...
Wegen [mm] $A'\subset$ [/mm] folgt ...
Da $<A>$ ein Unterraum von $V$ ist, folgt [mm] $v=$...$\in$...
[/mm]
Kannst du die fehlenden Teile selbst ergänzen?
Variante 2 (kürzer und eleganter):
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass $<A'>$ der kleinste Unterraum [mm] $U\subset [/mm] V$ mit [mm] $A'\subset [/mm] U$ ist, d.h. für jeden Unterraum [mm] $U'\subset [/mm] V$ mit [mm] $A'\subset [/mm] U'$ gilt schon [mm] $\subset [/mm] U'$.
Speziell $U':=<A>$ ist ein Unterraum mit [mm] $A'\subset [/mm] U'$. Also [mm] $\subset [/mm] U'=<A>$, was zu zeigen war.
> > (10) Dieser Prozess endet, falls: [mm]=V[/mm] oder
> [mm]A'=\{x_1,...,x_i \} [/mm].
>
> Die zweite Abbruchbedingung verstehe ich nicht so recht.
> Sie sagt doch, dass der Prozess endet, wenn ich in A'
> keine weiteren Vektoren mehr habe, oder?
> Kann das überhaupt passieren, dass ich alle Vektoren aus
> A' zum Ergänzen aufbrauche?
> Wenn ja, dann müsste ja in der linear unabhängigen Menge
> vorher kein Vektor drin gewesen sein, ansonsten hätte ich
> in meiner gebastelten Basis ja die komplette Basis aus A'
> so wie die schon vorher darin enthaltenen linear
> unabhängigen Vektoren von A, was ja dann nicht mehr
> minimal wäre, oder?
Genau.
Viele Grüße
Tobias
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