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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Sei f die lineare Abbildung f: [mm] \IR^{4} \to \IR^{5}: (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mapsto (x_{1}+x_{2}+5x_{4} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , [mm] 3x_{1}+x_{4} [/mm] , [mm] 2x_{2}-x_{3} [/mm] , [mm] x_{1}) [/mm] und seien
a = ((2,2,0,1) , (0,1,1,1) , (4,2,1,1) , (3,2,3,2))
b = ((1,0,0,3,0) , (2,2,0,0,1) , (1,1,0,0,0) , (2,1,1,1,1) , (1,1,1,1,1))
Man bestimme die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basen a und b. |
Hallo
Ich sitze hier mit 2 Freunden und wir versuchen uns an dieser Aufgabe. Wir haben nur 2 verschiedene Lösungen und wissen leider nicht, was stimmt.
Was ich gemacht habe. Ich habe zuerst die Matrix des Basiswechsels von [mm] E_{4} [/mm] nach a bestimmt. Dafür habe ich die Vektoren von a als Linearkombination der Standardvektoren von [mm] \IR^{4} [/mm] geschrieben: [mm] T_{A} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2}
[/mm]
Dann die Matrix des Basiswechsels von [mm] E_{5} [/mm] nach B. Analog mit den Vektoren von b als Linearkombination der Standardvektoren in [mm] \IR^{5}: T_{B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1}
[/mm]
Dann noch die Abbildungsmatrix bezüglich den Standardbasen [mm] E_{4} [/mm] und [mm] E_{5}: E_{E} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Und laut Transformationsformel ist jetzt meine gesuchte Matrix T = [mm] T_{B}*T_{E}*(T_{A})^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & -5 & -5 & 17 \\ -2 & 3 & -1 & 2 \\ -2 & 5 & 2 & -5 \\ 10 & -46 & -25 & 76 \\ -4 & 12 & 6 & -15 }
[/mm]
Nun, unser Problem: Wir sind uns nicht einig, ob wir die Matrizen [mm] T_{A} [/mm] und [mm] T_{B} [/mm] richtig aufgestellt haben oder, ob die Inverse genommen werden muss und warum. Anscheinend müsste man die Vektoren von [mm] E_{4} [/mm] bzw. [mm] E_{5} [/mm] als Linearkombination von a bzw. b nehmen, anstatt wie ichs gemacht habe.
Ihre Lösung ist mit diesen Matrizen dann: T = [mm] \pmat{ -1 & 0 & \bruch{-10}{3} & \bruch{-10}{3} \\ -5 & -1 & -9 & -8 \\ 5 & 2 & 7 & 7 \\ 8 & 5 & \bruch{37}{3} & \bruch{49}{3} \\ -1 & -4 & \bruch{2}{3} & \bruch{-16}{3}}
[/mm]
Was ist falsch, was richtig und warum?
Danke für die Mühe.
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Ich hoffe mal du hast mit deinen Freunden nicht gewettet^^ Die zuletzt angegebene Matrix scheint nämlich korrekt zu sein.
Also, meiner meinung nach sollte ein guter Kalkül falsche sachen einfach rein grafisch nicht zulassen... Ich schreibe deshalb gerne [mm] $\sideset{_Y}{_X}{F}$ [/mm] für die Matrixdarstellung einer Abbildung $F$ bezüglich Basen $X$ und $Y$.
Dann steht da:
[mm] $\sideset{_E}{_A}{Id}=\pmat{2&0&4&3\\2&1&2&2\\0&1&1&3\\1&1&1&2}\quad\sideset{_E}{_B}{Id}=\pmat{1&2&1&2&1\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&1\\3&0&0&1&1\\0&1&0&1&1}\quad\sideset{_E}{_E}{F}=\pmat{1&1&0&5\\0&1&0&0\\3&0&0&1\\0&2&-1&0\\1&0&0&0}$
[/mm]
Gesucht ist [mm] $\sideset{_B}{_A}{F}=\sideset{_B}{_E}{Id}\sideset{_E}{_E}{F}\sideset{_E}{_A}{Id}=\sideset{_E}{_B^{-1}}{Id}\sideset{_E}{_E}{F}\sideset{_E}{_A}{Id}=\pmat{ -1 & 0 & \bruch{-10}{3} & \bruch{-10}{3} \\ -5 & -1 & -9 & -8 \\ 5 & 2 & 7 & 7 \\ 8 & 5 & \bruch{37}{3} & \bruch{49}{3} \\ -1 & -4 & \bruch{2}{3} & \bruch{-16}{3}}$
[/mm]
Dass mit dem ersten Vorschlag irgendwas nicht stimmt, sieht man direkt, wenn man einfach nur hinschreibt was man da rechnet:
[mm] $\sideset{_E}{_B}{Id}\sideset{_E}{_E}{F}\sideset{_E}{_A^{-1}}{Id}=\sideset{_E}{_B}{Id}\sideset{_E}{_E}{F}\sideset{_A}{_E}{Id}$
[/mm]
bei dieser schreibweise sieht man direkt, dass die Basen in dieser Kette an zwei stellen nicht zusammenpassen.
Übrigens: wieder diese T's mit unklar drangeschriebenen Indizes... Dürfte ich mal nachfragen, aus welchem Buch diese verwirrende Notation ursprünglich kommt? Die finde ich didaktisch irgendwie nicht besonders gut gelungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Danke für deine Antwort :) Gewettet hab ich nicht, da war ich mir (glücklicherweise) nicht sicher genug ;)
Und das mit der Schreibweise.. wir sind uns eben nie einig, was mit [mm] P_{e}^{f} [/mm] beispielsweise gemeint ist.. dann habe ich einfach diese Matrzen so bezeichnet.. das kommt aus keinem Buch.
Übrigens, ich glaube, da ist dir ein Tippfehler unterlaufen.. Du benutzt dann beim Verrechnen der Matrizen die Matrix zur Basis A nicht mehr.. Aber ich denke, wir haben das verstanden..
Danke nochmals!
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Ja, da hast du natürlich vollkommen recht! sorry, zuviel copypaste, mit bleistift geht's besser *oops*
korrigiere...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Nun, ich verstehe deine Argumentation und ich verstehe auch, dass die gesuchte Matrix also so entstehen muss...
Aber da die Matrix nicht durch die Transformationsformel entsteht (es wird genau von der anderen jeweils die Inverse genommen) muss ich doch fragen...
Wenn ich also meine Abbildungsmatrix ausrechne, die die Vektoren der Basis A als Linearkombination der Vektoren aus [mm] E_{4} [/mm] darstellt (= [mm] T_{A}) [/mm] (analog mit B und [mm] E_{5} [/mm] (= [mm] T_{B}) [/mm] (entschuldige wieder meine Notation ^^)) und ich dann aber [mm] T_{B} [/mm] und nicht wie in der Transformationsformel [mm] T_{A} [/mm] transponieren muss, dann mache ich ja etwas verkehrt...
Das würde bedeuten, wenn ich alles umgekehrt machen würde, und anstatt A als Lin.Kombination von [mm] E_{4}, [/mm] einfach [mm] E_{4} [/mm] als Lin.Kombination von A darstellen würde, analog mit B und [mm] E_{5}, [/mm] dann könnte ich die Transformationsformel übernehmen, ja? Dann müsste ich tatsächlich die inverse von [mm] T_{A} [/mm] nehmen, und nicht die von [mm] T_{B}... [/mm]
Vielleicht wird es klarer was ich meine, wenn man sich das Diagramm auf s. 158 vom Linare Algebra - Gerd Fischer (für die, die das Buch haben) anschaut. Das würde für dieses Diagramm bedeuten, dass ich die Pfeile zwische [mm] K^{n} [/mm] und [mm] K^{n} [/mm] (bez. [mm] K^{m} [/mm] und K{m}) umkehre, wenn ich das so rechne, wie ich es wollte... oder?
Ich weiss nicht, ob man meine Frage verstehen kann ^^ ich warte gespannt auf Reaktionen :D
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Andrey |
*LA1 buch vom kleinen Bruder klau*
Ja, hab dieses Buch zufälligerweise tatsächlich zur hand... 14. Auflage.
Vielleicht hilft's was, wenn man ein paar buchstaben hier identifiziert?...
[mm] $V=\IR^4$
[/mm]
[mm] $W=\IR^5$
[/mm]
Die betrachteten Basen sind (zuerst symbole aus dem buch, dann aus deinem beispiel) $A=A$, [mm] $A'=E_4$, [/mm] $B=B$, [mm] $B'=E_5$.
[/mm]
Ferner ist dir die Abbildung F durch die 5x4-Matrix [mm] $M_{B'}^{A'}=M_E^E(F)=\pmat{1&1&0&5\\0&1&0&0\\3&0&0&1\\0&2&-1&0\\1&0&0&0}$ [/mm] gegeben. Da $A'$ und $B'$ so einfach aussehen, muss man zum glück für [mm] $T_{A'}^A$ [/mm] und [mm] $T_{B'}^B$ [/mm] nichts rechnen:
[mm] $T_{A'}^A=T_{E_4}^A=\pmat{2&0&4&3\\2&1&2&2\\0&1&1&3\\1&1&1&2}\quad T_{B'}^B=T_{E_5}^B=\pmat{1&2&1&2&1\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&1\\3&0&0&1&1\\0&1&0&1&1}$
[/mm]
Gefragt wird, was [mm] $M_B^A(F)$ [/mm] ist. Mit dieser deiner "Transformationsformel" ergibt sich also:
[mm] $M_B^A(F)=(T_{B'}^B)^{-1}M_{B'}^{A'}(F)T_{A'}^A=(T_{E_5}^B)^{-1}M_{E_5}^{E_4}(F)T_{E_4}^A=\pmat{1&2&1&2&1\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&1\\3&0&0&1&1\\0&1&0&1&1}^{-1}\pmat{1&1&0&5\\0&1&0&0\\3&0&0&1\\0&2&-1&0\\1&0&0&0}\pmat{2&0&4&3\\2&1&2&2\\0&1&1&3\\1&1&1&2}=\pmat{ -1 & 0 & \bruch{-10}{3} & \bruch{-10}{3} \\ -5 & -1 & -9 & -8 \\ 5 & 2 & 7 & 7 \\ 8 & 5 & \bruch{37}{3} & \bruch{49}{3} \\ -1 & -4 & \bruch{2}{3} & \bruch{-16}{3}}$
[/mm]
Also ist die Welt doch in Ordnung oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Danke nochmals für deine Antwort :) Ich verstehe jetzt, wo wir uns nicht verstehen :D
Die Welt ist sehr wohl in Ordnung, das beruhigt mich... Nur haben wir etwas anderes gleich bezeichnet...
Für dich ist [mm] M_{B'}^{A'} [/mm] = [mm] M_{E}^{E}(F), [/mm] dann verstehe ich natürlich, dass es doch funktioniert. [mm] T_{A'}^{A} [/mm] und [mm] T_{B'}^{B} [/mm] hab ich gleich. Nur ist für mich [mm] M_{B'}^{A'} [/mm] gesucht und [mm] M_{E}^{E}(F) [/mm] = [mm] M_{B}^{A}. [/mm] Das spricht also doch dafür, dass ich was verkehrt mache :)
Für mich ist A = [mm] E_{4}, [/mm] A' = A, B = [mm] E_{5}, [/mm] B' = B.
Aber jetzt, schauen wir nur die linke Seite an... von [mm] K^{n} \to K^{n}, [/mm] also von [mm] E_{4} [/mm] nach A (oben [mm] E_{4}, [/mm] unten A), also [mm] T_{A'}^{A}... [/mm] Für mich ist das A dargestellt als Linearkombination von [mm] E_{4}. [/mm] Wenn ich das aber so mache, dann wäre in diesem Diagramm also mein Pfeil nach oben, nicht nach unten... zumindest nach meiner Bezeichnung.. richtig?
Wenn dem wirklich so ist, dann habe ich das ganze glaube ich verstanden... Wenn ich A als Lin.Kombination von E darstelle, dann muss ich einen Pfeil von A nach E machen, nicht von E nach A.. richtig? :)
Danke und viele Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Öööh... A,B,B',E,B,E,A A A' AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA?...
ich versteh gar nix mehr^^ ich kann dir aber versichern, dass diese ganzen buchstaben Schall und Rauch sind, du kannst gerne alles umbenennen wie es dir gefällt, der Sinn der Formel bleibt stets unverändert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Ok, ok.. also, nochmals von vorne :D
Wir nehmen das Diagramm zu Hilfe... da ist eine Abbildung [mm] T_{A'}^{A} [/mm] von [mm] K^{n} \to K^{n}... [/mm] ich nehme also von [mm] E_{4} \to [/mm] A... und ich erhalte somit [mm] T_{A^}^{A}, [/mm] indem ich die Vektoren aus A als Lin.Kombination von E schreibe. Das gibt uns die bekannte Matrix.
Analog berechne ich [mm] T_{B'}^{B}.
[/mm]
Bis hierhin kein Problem.
Nun ist in meinem Diagramm oben [mm] E_{4} [/mm] und [mm] E_{5}, [/mm] also [mm] M_{B}^{A}(F) [/mm] die Abbildungsmatrix (mit der gegebenen Abbildung). Das sind die 3 Matrizen, die wir brauchen...
Jetzt.. du berechnest [mm] M_{B'}^{A'} [/mm] = [mm] (T_{B'}^{B})^{-1}*M_{B}^{A}*T_{A'}^{A}... [/mm] Im Buch steht aber [mm] M_{B'}^{A'} [/mm] = [mm] (T_{A'}^{A})^{-1}*M_{B}^{A}*T_{B'}^{B}.
[/mm]
Wenn ich aber das so berechne, dann komme ich auf die falsche Matrix.
Dies lässt mich vermuten, dass ich meine Matrizen [mm] T_{A'}^{A} [/mm] und [mm] T_{B'}^{B} [/mm] falsch berechnet habe.. nämlich verkehrt rum.
Also, nun nochmals die Frage.
Ich habe die Standardbasis E und eine Basis A, und ich stelle nun die Elemente der Basis A als Lin.Kombination der Basis E dar. Dann muss ich (in diesem Diagramm) ein Pfeil E [mm] \to [/mm] A oder A [mm] \to [/mm] E schreiben?
Da liegt wohl die ganze schwierigkeit.. denn so wie ich die Matrizen berechnet habe (vor allem da du die gleichen hast..^^), habe ich wohl ein Problemchen mit den Pfeilen...
Entschuldige, wenn ich dich verwirre, aber ich denke, du bleibst da ziemlich unbeeindruckt von den ganzen Indizes (Im Gegensatz zu mir..) :D Immer gut, wenn jemand den Überblick bewahrt...
Grüsse Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Ok, ok.. also, nochmals von vorne :D
Ok.
> Wir nehmen das Diagramm zu Hilfe... da ist eine Abbildung
> [mm]T_{A'}^{A}[/mm] von [mm]K^{n} \to K^{n}...[/mm] ich nehme also von [mm]E_{4} \to[/mm]
> A... und ich erhalte somit [mm]T_{A^}^{A},[/mm] indem ich die
> Vektoren aus A als Lin.Kombination von E schreibe. Das gibt
> uns die bekannte Matrix.
Nämlich [mm] $\pmat{2&0&4&3\\2&1&2&2\\0&1&1&3\\1&1&1&2}^{-1}$, [/mm] super (bitte auf "^-1" achten).
> Analog berechne ich [mm]T_{B'}^{B}.[/mm]
...bekommst dementsprechend
[mm] $\pmat{1&2&1&2&1\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&1\\3&0&0&1&1\\0&1&0&1&1}^{-1}$
[/mm]
> du berechnest [mm]M_{B'}^{A'}=(T_{B'}^{B})^{-1}*M_{B}^{A}*T_{A'}^{A}...[/mm]
Nein, tue ich nirgends?
> Jetzt.. Im Buch steht
> aber [mm]M_{B'}^{A'}[/mm] = [mm](T_{A'}^{A})^{-1}*M_{B}^{A}*T_{B'}^{B}.[/mm]
Langsam blick ich echt nicht mehr durch... Willst du mir erzählen, dass der Autor zwischen den Auflagen noch Oben und Unten in seiner Notation vertauscht hat? In "meiner" 14. Auflage steht da jedenfalls:
[mm] $M_{B'}^{A'}(F)=T_{B'}^{B}M_B^A(F)(T_{A'}^{A})^{-1}$
[/mm]
> Wenn ich aber das so berechne, dann komme ich auf die
> falsche Matrix.
wie willst du da überhaupt was "berechnen", in dem was du da oben hingeschrieben hast kannst du die matrizen überhaupt nicht multiplizieren.
Mit der Formel
[mm] $M_{B'}^{A'}(F)=T_{B'}^{B}M_B^A(F)(T_{A'}^{A})^{-1}$ [/mm] aus dem Buch
[mm] $T_{A'}^{A}=\pmat{2&0&4&3\\2&1&2&2\\0&1&1&3\\1&1&1&2}^{-1}$ [/mm] (nach deinem wunsch so rum benannt)
und
[mm] $T_{B'}^{B}=\pmat{1&2&1&2&1\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&1\\3&0&0&1&1\\0&1&0&1&1}^{-1}$
[/mm]
[mm] $M_{B}^{A}=\pmat{1&1&0&5\\0&1&0&0\\3&0&0&1\\0&2&-1&0\\1&0&0&0}$
[/mm]
ergibt sich:
[mm] $M_{B'}^{A'}(F)=T_{B'}^{B}M_B^A(F)(T_{A'}^{A})^{-1}=\pmat{1&2&1&2&1\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&1\\3&0&0&1&1\\0&1&0&1&1}^{-1}\pmat{1&1&0&5\\0&1&0&0\\3&0&0&1\\0&2&-1&0\\1&0&0&0}\pmat{2&0&4&3\\2&1&2&2\\0&1&1&3\\1&1&1&2}$
[/mm]
Also genau dasselbe wie vor 5 Stunden auch schon... Ich weiß echt nicht wo du hier noch Probleme haben kannst. Vielleicht starrst du dir diese Formel schon zu lange an, und die ganzen buchstaben kriechen schon hin und her... Mach mal eine kurze Pause, trink einen Kaffee, lauf 10 kilometer... Das klappt schon irgendwann^^ ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Cool, da haben wirs :D
> > Wir nehmen das Diagramm zu Hilfe... da ist eine Abbildung
> > [mm]T_{A'}^{A}[/mm] von [mm]K^{n} \to K^{n}...[/mm] ich nehme also von [mm]E_{4} \to[/mm]
> > A... und ich erhalte somit [mm]T_{A^}^{A},[/mm] indem ich die
> > Vektoren aus A als Lin.Kombination von E schreibe. Das gibt
> > uns die bekannte Matrix.
> Nämlich [mm]\pmat{2&0&4&3\\2&1&2&2\\0&1&1&3\\1&1&1&2}^{-1}[/mm],
> super (bitte auf "^-1" achten).
> > Analog berechne ich [mm]T_{B'}^{B}.[/mm]
> ...bekommst dementsprechend
>
> [mm]\pmat{1&2&1&2&1\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&1\\3&0&0&1&1\\0&1&0&1&1}^{-1}[/mm]
>
Ok, da ist es.. Das ^(-1) macht die Pfeile also richtig... Wenn ich das ^(-1) nicht hinschreibe, dann müsste ich im Diagramm die Pfeile vertauschen, richtig? Wenn ja, dann wäre alles endlich vorbei :D
> > Jetzt.. Im Buch steht
> > aber [mm]M_{B'}^{A'}[/mm] = [mm](T_{A'}^{A})^{-1}*M_{B}^{A}*T_{B'}^{B}.[/mm]
> Langsam blick ich echt nicht mehr durch... Willst du mir
> erzählen, dass der Autor zwischen den Auflagen noch Oben
> und Unten in seiner Notation vertauscht hat? In "meiner"
> 14. Auflage steht da jedenfalls:
> [mm]M_{B'}^{A'}(F)=T_{B'}^{B}M_B^A(F)(T_{A'}^{A})^{-1}[/mm]
>
> > Wenn ich aber das so berechne, dann komme ich auf die
> > falsche Matrix.
> wie willst du da überhaupt was "berechnen", in dem was du
> da oben hingeschrieben hast kannst du die matrizen
> überhaupt nicht multiplizieren.
>
Hab mich vertippt. Die Formel stimmt, die du geschrieben hast.. die steht auch bei mir so ^^
> Mit der Formel
> [mm]M_{B'}^{A'}(F)=T_{B'}^{B}M_B^A(F)(T_{A'}^{A})^{-1}[/mm] aus dem
> Buch
> [mm]T_{A'}^{A}=\pmat{2&0&4&3\\2&1&2&2\\0&1&1&3\\1&1&1&2}^{-1}[/mm]
Das würde ja das ^(-1) ja wieder sozusagen "auflösen"..
> (nach deinem wunsch so rum benannt)
> und
>
> [mm]T_{B'}^{B}=\pmat{1&2&1&2&1\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&1\\3&0&0&1&1\\0&1&0&1&1}^{-1}[/mm]
>
> [mm]M_{B}^{A}=\pmat{1&1&0&5\\0&1&0&0\\3&0&0&1\\0&2&-1&0\\1&0&0&0}[/mm]
> ergibt sich:
>
> [mm]M_{B'}^{A'}(F)=T_{B'}^{B}M_B^A(F)(T_{A'}^{A})^{-1}=\pmat{1&2&1&2&1\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&1\\3&0&0&1&1\\0&1&0&1&1}^{-1}\pmat{1&1&0&5\\0&1&0&0\\3&0&0&1\\0&2&-1&0\\1&0&0&0}\pmat{2&0&4&3\\2&1&2&2\\0&1&1&3\\1&1&1&2}[/mm]
> Also genau dasselbe wie vor 5 Stunden auch schon... Ich
> weiß echt nicht wo du hier noch Probleme haben kannst.
> Vielleicht starrst du dir diese Formel schon zu lange an,
> und die ganzen buchstaben kriechen schon hin und her...
> Mach mal eine kurze Pause, trink einen Kaffee, lauf 10
> kilometer... Das klappt schon irgendwann^^ ;)
Ok, ich sehe es ein. Ich hab nur dieses ^(-1) nie dabei gehabt.. also müsste ich wirklich die Pfeile vertauschen! Dann ist mir alles klar.. mit diesem ^(-1) macht alles mehr Sinn :D
Ich werde diesen Kaffee trinken.. das mit den 10 km muss ich mir noch gründlich überlegen.. das Wetter ist wirklich zum davonlaufen ^^
Ich schlaf mal drüber..
Auf jeden Fall danke schön für deine Erklärungen.. ich denke, es ist jetzt alles klar.. :)
Grüsse, Amaro
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