Basistransformationsmatrizen < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Fr 23.09.2011 | | Autor: | TFMaster |
| Aufgabe 1 | 1.
Gegeben ist:
A= [mm] \pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
B= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
A und B sind Basen des R³
Ges.) 1. Basistransformationsmatrix von A nach B und von B nach A
Ges.) 2. Der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 3 }
[/mm]
ist geg. bzgl der Basis A
Gesucht sind die Koordinaten von X bzgl. der Basis B |
| Aufgabe 2 | 2.a)
Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums V der Polynome höchstens 3. Grades.
b)
Untersuchen Sie ob die Funktionen
f1 (x) = X³ , f2 (x) = (x+1)² , f3 (x) = (x-1)² , f4 (x) = x
eine Basis von V bilden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu 1.1:
Mir ist mitlerweile klar, dass ich die Linearkombination verwenden muss um auf die Basistransformationsmatrix zu kommen, jedoch ergibt sich mir die Frage: Was tu ich da? also wie stellt sich das Grafisch dar und was genau ist jetzt die Basistransformationsmatrix?
zu 1.2:
Hier habe ich ebenfalls den Rechenweg verstanden aber mir kommt die Frage auf was der Vektor von X genau ist? Ist er Teil der Basis oder einfach nur eine Art Gerade im Raum?
zu 2.1:
Diese Aufgabe versteh ich garnicht... Was haben Funktionen mit Matritzen zu tun? Und vor allem: was Hat der Grad des Polynoms da mitzureden und warum wirkt der sich auf die Dimension aus? (Hab dazu nichts brauchbares im Internet oder meinen Büchern gefunden)
zu 2.2:
Im Grunde das Selbe nochmal in Grün. Ich habe keinen verständlichen Ansatz auf dem ich aufbauen kann...
Generell:
Man kann sagen, dass mir zwar zum teil der Rechenweg (zumindest in 1.1 und 1.2) klar ist, jedoch bin ich mir nicht darüber im klaren WAS genau ich da tue und warum. Ich hätte gern ein größeres Verständnis für die Materie statt einfach nur vorgegebene Ansätze zu verwenden :/
Was Basen und Matrizen sind habe ich verstanden. Gruppen und Vektorräume sind mir noch leicht fremd. Ich habe zwar die Definitionen, versteh sie jedoch noch nciht ganz. auch ist mir vorgegeben in einer der Aufgaben den "Austauschsatz von Steinitz" zu verwenden. Diesen finde ich zwar, jedoch versteh ich kein Wort von dem, was er aussagt :/
Ich hoffe auf eine schnelle Hilfe und danke schonmal im vorraus =) Ich weiß einfach nimmer weiter...
Grüße
Torsten
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mal vorweg: Dir scheint im Laufe der Vorlesung Wichtiges entgangen zu sein, was man auch nicht "mal eben kurz" in einem Forum aufarbeiten kann.
Du wirst im Eigenstudium manches gründlich nacharbeiten müssen, bei konkreten Fragen, die im Verlauf auftreten, helfen wir gern.
Die Vorlesung hast Du besucht? Du Übungen bearbeitet?
> 1.
>
> Gegeben ist:
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 }[/mm]
>
>
> B= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 }[/mm]
>
>
> A und B sind Basen des R³
Ganz sicher nicht. Was Du als A und B angibst, sind Matrizen.
Die Basen des [mm] \IR^3 [/mm] bestehen aus drei Spaltenvektoren.
Basen des [mm] \R^3 [/mm] sind z.B. [mm] \mathcal{A}=(\vektor{2\\0\\0}, \vektor{2\\1\\0}, \vektor{0\\1\\1}),
[/mm]
[mm] \mathcal{B} [/mm] analog.
Die Matrizen A bzw. B, die Du hier angibst, sind die Basistransformationsmatrizen von [mm] \mathcal{A} [/mm] bzw. [mm] \mathcal{B} [/mm] in die Standardbasis [mm] \mathcal{E}.
[/mm]
>
> Ges.) 1. Basistransformationsmatrix von A nach B und von B
> nach A
>
> Ges.) 2. Der Vektor [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\
0 \\
3 }[/mm]
>
> ist geg. bzgl der Basis A
>
> Gesucht sind die Koordinaten von X bzgl. der Basis B
> 2.a)
>
> Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums V der Polynome
> höchstens 3. Grades.
>
> b)
>
> Untersuchen Sie ob die Funktionen
>
> f1 (x) = X³ , f2 (x) = (x+1)² , f3 (x) = (x-1)² , f4 (x)
> = x
>
> eine Basis von V bilden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> zu 1.1:
> Mir ist mitlerweile klar, dass ich die Linearkombination
> verwenden muss um auf die Basistransformationsmatrix zu
> kommen, jedoch ergibt sich mir die Frage: Was tu ich da?
> also wie stellt sich das Grafisch dar und was genau ist
> jetzt die Basistransformationsmatrix?
Die Basistransformationsmatrix [mm] _{\mathcal{B}}M(id)_{\mathcal{A}}für [/mm] den Übergang von der Basis [mm] \mathcal{A} [/mm] in die Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] wandelt Vektoren, die in Koordinaten bzgl [mm] \mathcal{A} [/mm] gegeben sind, in solche bzgl [mm] \mathcal{B} [/mm] um.
In ihren Spalten stehen die Basisvektoren von [mm] \mathcal{A} [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
Ausrechnen kannst Du sie so, wie Du es vermutlich getan hast, also anhand der Linearkombinationen, oder indem Du rechnest
[mm] _{\mathcal{B}}M(id)_{\mathcal{A}}=B^{-1}A.
[/mm]
Die Basistransformation kannst Du Dir so vorstellen, daß ein und derselbe Pfeil in einem Koordinatensystem angegeben wird, dessen Ursprung mit dem alten übereinstimmt, dessen Achsen aber andere sind.
>
> zu 1.2:
> Hier habe ich ebenfalls den Rechenweg verstanden aber mir
> kommt die Frage auf was der Vektor von X genau ist? Ist er
> Teil der Basis oder einfach nur eine Art Gerade im Raum?
Ich verstehe Deine Frage nicht gut.
Gegeben ist hier [mm] $\vec{x}$ [/mm] = [mm] $\pmat{ 1 \\ 0 \\ 3 }_{\mathcal{A}}$.
[/mm]
Das bedeutet: [mm] \vec{x}=1*\vektor{2\\0\\0}_{\mathcal{E}}+0*\vektor{2\\1\\0}_{\mathcal{E}}+3*\vektor{0\\1\\1}_{\mathcal{E}}
[/mm]
Du sollst ihn nun in Koordinaten bzgl [mm] \mathcal{B} [/mm] schreiben.
Dafür hast Du Deine Basistransformationsmatrix [mm] _{\mathcal{B}}M(id)_{\mathcal{A}}. [/mm] Füttere sie mit [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 3 }, [/mm] heraus kommt der Koordinatenvektor bzgl. [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
>
> zu 2.1:
> Diese Aufgabe versteh ich garnicht... Was haben Funktionen
> mit Matritzen zu tun
Von Matrizen steht dort kein Sterbenswörtchen!
Nacharbeiten mußt Du zunächst den Begriff "Vektorraum".
Dann mußt Du lernen und begreifen, daß es andere Vektorräume gibt als den [mm] \IR^n [/mm] und Dich mit den einschlägigen Beispielen, zu denen der Vektorraum der Polynome zählt, vertraut machen.
> Und vor allem: was Hat der Grad des
> Polynoms da mitzureden und warum wirkt der sich auf die
> Dimension aus?
Du kannst jedes Polynom vom Höchstgrad 4 aus den 4 Polynomen [mm] p_0:=1, p_1:=x, p_2:=x^2 p_3:=x^3 p_4:=x^4 [/mm] als Linearkombination schreiben.
Diese Polynome sind linear unabhängig und damit eine Basis des Vektorraumes [mm] P_4 [/mm] der Polynome vom Höchstgrad 4.
Es sollte doch unmittelbar einsichtig sein, daß der VR der aus den Polynomen vom Höchstgrad 3 besteht, der VR [mm] P_3, [/mm] eine kleinere Dimension hat.
> (Hab dazu nichts brauchbares im Internet
> oder meinen Büchern gefunden)
>
> zu 2.2:
> Im Grunde das Selbe nochmal in Grün. Ich habe keinen
> verständlichen Ansatz auf dem ich aufbauen kann...
Prüfe, ob Du jedes Polynom des [mm] P_3 [/mm] mit den gegebenen Polynomen erzeugen kannst.
Hier gibt es natürlich auch die Möglichkeit, mit Koordinatenvektoren bzgl. der Standardbasis zu arbeiten, aber ich denke, Du solltest Dich erstmal mit den grundlagen vertraut machen.
>
> Generell:
> Man kann sagen, dass mir zwar zum teil der Rechenweg
> (zumindest in 1.1 und 1.2) klar ist, jedoch bin ich mir
> nicht darüber im klaren WAS genau ich da tue und warum.
> Ich hätte gern ein größeres Verständnis für die
> Materie statt einfach nur vorgegebene Ansätze zu verwenden
> :/
>
> Was Basen und Matrizen sind habe ich verstanden. Gruppen
> und Vektorräume sind mir noch leicht fremd.
Es kann nicht sein daß Du den Begriff "Basis" verstanden hast, wenn Du "Vektorraum" nicht verstanden hast.
> Ich habe zwar
> die Definitionen, versteh sie jedoch noch nciht ganz. auch
> ist mir vorgegeben in einer der Aufgaben den "Austauschsatz
> von Steinitz" zu verwenden. Diesen finde ich zwar, jedoch
> versteh ich kein Wort von dem, was er aussagt :/
Das wundert mich nicht, da wenig Grundlagen vorhanden sind.
Um den Austauschsatz zu verstehen, muß man zumindest wissen, was ein Vektorraum ist, muß die lineare Unabhängigkeit und den Begriff Erzeugendensystem verstanden haben, den Basisbegriff kennen.
Ich denke aber, daß wir das im Rahmen dieses Threads nicht klären sollten. Mach ggf. einen eigenen dafür auf, in welchem Du den Austauschsatz im O-Ton wiedergibst, sagst, was Du nicht verstehst und Deine Aufgabe postest.
Wenn hier im Thread x Aufgaben gleichzeitig bearbeitet werden, steigt schnell keiner mehr durch.
Gruß v. Angela
>
> Ich hoffe auf eine schnelle Hilfe und danke schonmal im
> vorraus =) Ich weiß einfach nimmer weiter...
>
> Grüße
> Torsten
|
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 24.09.2011 | | Autor: | TFMaster |
> Hallo,
>
> .
>
> Mal vorweg: Dir scheint im Laufe der Vorlesung Wichtiges
> entgangen zu sein, was man auch nicht "mal eben kurz" in
> einem Forum aufarbeiten kann.
> Du wirst im Eigenstudium manches gründlich nacharbeiten
> müssen, bei konkreten Fragen, die im Verlauf auftreten,
> helfen wir gern.
> Die Vorlesung hast Du besucht? Du Übungen bearbeitet?
Man muss dazu sagen, dass Ich Schüler der 13ten Klasse bin :) Dementsprechend war ich auf keiner Vorlesung nein. Dieses Thema ist teil meiner Seminararbeit =)
> > 1.
> >
> > Gegeben ist:
> >
> > A= [mm]\pmat{ 2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 }[/mm]
> >
>
> >
> > B= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 }[/mm]
> >
> >
> > A und B sind Basen des R³
>
> Ganz sicher nicht. Was Du als A und B angibst, sind
> Matrizen.
>
> Die Basen des [mm]\IR^3[/mm] bestehen aus drei Spaltenvektoren.
>
> Basen des [mm]\R^3[/mm] sind z.B. [mm]\mathcal{A}=(\vektor{2\\0\\0}, \vektor{2\\1\\0}, \vektor{0\\1\\1}),[/mm]
>
> [mm]\mathcal{B}[/mm] analog.
>
> Die Matrizen A bzw. B, die Du hier angibst, sind die
> Basistransformationsmatrizen von [mm]\mathcal{A}[/mm] bzw.
> [mm]\mathcal{B}[/mm] in die Standardbasis [mm]\mathcal{E}.[/mm]
Ja mein Fehler der Darstellungsweise, tut mir leid. In der Aufgabenstellung, ist es auf deiner art dargestellt.
> >
> > zu 1.2:
> > Hier habe ich ebenfalls den Rechenweg verstanden aber
> mir
> > kommt die Frage auf was der Vektor von X genau ist? Ist er
> > Teil der Basis oder einfach nur eine Art Gerade im Raum?
>
> Ich verstehe Deine Frage nicht gut.
>
> Gegeben ist hier [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 3 }_{\mathcal{A}}[/mm].
>
> Das bedeutet:
> [mm]\vec{x}=1*\vektor{2\\0\\0}_{\mathcal{E}}+0*\vektor{2\\1\\0}_{\mathcal{E}}+3*\vektor{0\\1\\1}_{\mathcal{E}}[/mm]
>
> Du sollst ihn nun in Koordinaten bzgl [mm]\mathcal{B}[/mm]
> schreiben.
> Dafür hast Du Deine Basistransformationsmatrix
> [mm]_{\mathcal{B}}M(id)_{\mathcal{A}}.[/mm] Füttere sie mit [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 3 },[/mm]
> heraus kommt der Koordinatenvektor bzgl. [mm]\mathcal{B}.[/mm]
>
>
Gut dir Frage war schlecht formuliert, hab es aber mitlerweile verstanden wo mein Denkfehler war =)
> >
> > zu 2.1:
> > Diese Aufgabe versteh ich garnicht... Was haben
> Funktionen
> > mit Matritzen zu tun
>
> Von Matrizen steht dort kein Sterbenswörtchen!
>
> Nacharbeiten mußt Du zunächst den Begriff "Vektorraum".
> Dann mußt Du lernen und begreifen, daß es andere
> Vektorräume gibt als den [mm]\IR^n[/mm] und Dich mit den
> einschlägigen Beispielen, zu denen der Vektorraum der
> Polynome zählt, vertraut machen.
>
>
> > Und vor allem: was Hat der Grad des
> > Polynoms da mitzureden und warum wirkt der sich auf die
> > Dimension aus?
>
> Du kannst jedes Polynom vom Höchstgrad 4 aus den 4
> Polynomen [mm]p_0:=1, p_1:=x, p_2:=x^2 p_3:=x^3 p_4:=x^4[/mm] als
> Linearkombination schreiben.
> Diese Polynome sind linear unabhängig und damit eine
> Basis des Vektorraumes [mm]P_4[/mm] der Polynome vom Höchstgrad 4.
>
> Es sollte doch unmittelbar einsichtig sein, daß der VR der
> aus den Polynomen vom Höchstgrad 3 besteht, der VR [mm]P_3,[/mm]
> eine kleinere Dimension hat.
>
Das bedeutet also in anderen Worten dass die Dimension eines Polynoms n-ten Grades immer die Zahl der x ist oder?
Also ein vollständiges Polynom 4ten Grades in [mm]R^3[/mm]dargestellt wird oder?
>
> > (Hab dazu nichts brauchbares im Internet
> > oder meinen Büchern gefunden)
> >
> > zu 2.2:
> > Im Grunde das Selbe nochmal in Grün. Ich habe keinen
> > verständlichen Ansatz auf dem ich aufbauen kann...
>
> Prüfe, ob Du jedes Polynom des [mm]P_3[/mm] mit den gegebenen
> Polynomen erzeugen kannst.
>
> Hier gibt es natürlich auch die Möglichkeit, mit
> Koordinatenvektoren bzgl. der Standardbasis zu arbeiten,
> aber ich denke, Du solltest Dich erstmal mit den grundlagen
> vertraut machen.
>
>
> >
> > Generell:
> > Man kann sagen, dass mir zwar zum teil der Rechenweg
> > (zumindest in 1.1 und 1.2) klar ist, jedoch bin ich mir
> > nicht darüber im klaren WAS genau ich da tue und warum.
> > Ich hätte gern ein größeres Verständnis für die
> > Materie statt einfach nur vorgegebene Ansätze zu verwenden
> > :/
> >
> > Was Basen und Matrizen sind habe ich verstanden. Gruppen
> > und Vektorräume sind mir noch leicht fremd.
>
> Es kann nicht sein daß Du den Begriff "Basis" verstanden
> hast, wenn Du "Vektorraum" nicht verstanden hast.
>
Ich habe verstanden dass eine Basis sich aus mehreren Vektoren zusammensetzt, die bestimmten Anforderungen unterliegen müssen. So muss eben eine Basis des [mm]R^3[/mm] 3 Vektoren beinhalten, die gewissen Mathematischen Grundregeln unterliegen, voneinander unterschiedlich sind und jede der 3 Achsen (x,y,z) Mindestens 1 mal in einer der Vektoren definiert ist. Lieg ich da richtig? Tut mir leid wenn das alles sehr Laiisch klingt, aber wie gesagt mir unterliegt nicht das fundierte Grundwissen, da ich in der Richtung schulisch noch Nichts gelernt habe.
Aber was unterscheidet dann eine Basis vom Vektorraum? Oder gibt es überhaupt einen Unterschied? Im grunde müsste ja eine Basis ein VR sein oder? Was ist dann der grobe unterschied zwischen VR und Gruppe?
>
> > Ich habe zwar
> > die Definitionen, versteh sie jedoch noch nciht ganz. auch
> > ist mir vorgegeben in einer der Aufgaben den "Austauschsatz
> > von Steinitz" zu verwenden. Diesen finde ich zwar, jedoch
> > versteh ich kein Wort von dem, was er aussagt :/
>
> Das wundert mich nicht, da wenig Grundlagen vorhanden
> sind.
> Um den Austauschsatz zu verstehen, muß man zumindest
> wissen, was ein Vektorraum ist, muß die lineare
> Unabhängigkeit und den Begriff Erzeugendensystem
> verstanden haben, den Basisbegriff kennen.
> Ich denke aber, daß wir das im Rahmen dieses Threads
> nicht klären sollten. Mach ggf. einen eigenen dafür auf,
> in welchem Du den Austauschsatz im O-Ton wiedergibst,
> sagst, was Du nicht verstehst und Deine Aufgabe postest.
>
> Wenn hier im Thread x Aufgaben gleichzeitig bearbeitet
> werden, steigt schnell keiner mehr durch.
>
> Gruß v. Angela
>
Okay dann werde ich das als einzelnen Thread noch einmal ansprechen =)
>
> > Ich hoffe auf eine schnelle Hilfe und danke schonmal im
> > vorraus =) Ich weiß einfach nimmer weiter...
> >
> > Grüße
> > Torsten
>
Danke für deine Hilfe!!
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> Man muss dazu sagen, dass Ich Schüler der 13ten Klasse bin
> :) Dementsprechend war ich auf keiner Vorlesung nein.
> Dieses Thema ist teil meiner Seminararbeit =)
Dann hoffe ich mal für dich du hast noch Zeit.^^
Ich würde dir dringend empfehlen nochmal ganz von vorne anzufangen, denn was bringt dir ein Basiswechsel wenn du nicht weißt was eine Basis ist, was bringt dir eine Basis, wenn du nicht weißt, was ein Vektorraum ist, etc.
Erzähl vielleicht auch mal wie du lernst (Buch, Internet, Unterricht,...).
> > >
> > > zu 2.1:
> > > Diese Aufgabe versteh ich garnicht... Was haben
> > Funktionen
> > > mit Matritzen zu tun
> >
> > Von Matrizen steht dort kein Sterbenswörtchen!
> >
> > Nacharbeiten mußt Du zunächst den Begriff "Vektorraum".
> > Dann mußt Du lernen und begreifen, daß es andere
> > Vektorräume gibt als den [mm]\IR^n[/mm] und Dich mit den
> > einschlägigen Beispielen, zu denen der Vektorraum der
> > Polynome zählt, vertraut machen.
> >
> >
> > > Und vor allem: was Hat der Grad des
> > > Polynoms da mitzureden und warum wirkt der sich auf die
> > > Dimension aus?
> >
> > Du kannst jedes Polynom vom Höchstgrad 4 aus den 4
> > Polynomen [mm]p_0:=1, p_1:=x, p_2:=x^2 p_3:=x^3 p_4:=x^4[/mm] als
> > Linearkombination schreiben.
> > Diese Polynome sind linear unabhängig und damit eine
> > Basis des Vektorraumes [mm]P_4[/mm] der Polynome vom Höchstgrad 4.
> >
> > Es sollte doch unmittelbar einsichtig sein, daß der VR der
> > aus den Polynomen vom Höchstgrad 3 besteht, der VR [mm]P_3,[/mm]
> > eine kleinere Dimension hat.
> >
>
> Das bedeutet also in anderen Worten dass die Dimension
> eines Polynoms n-ten Grades immer die Zahl der x ist oder?
nein!
Ein Polynom hat keine Dimension, ein Polynom hat einen Grad.
Dieser Grad ist der höchste auftretende Exponent.
So haben zum Beispiel die Polynome [mm] $ax^2 [/mm] + bx + c$ sowie [mm] $x^2 [/mm] + 1$ beide den Grad 2, [mm] $x^3$, $x^3 [/mm] - [mm] x^2$ [/mm] zum Beispiel den Grad 3.
Der Grad hat einiges zu tun mit der Dimension des Vektorraums der Polynome vom Grad höchstens n, aber es ist eben nicht das gleiche.
> Also ein vollständiges Polynom 4ten Grades in
> [mm]R^3[/mm]dargestellt wird oder?
nö.
Ein Polynom kann nicht im [mm] $\IR^3$ [/mm] dargestellt werden, egal welches, da [mm] $\IR^3 [/mm] = [mm] \{ \vektor{ a \\ b \\ c} | a,b,c \in \IR \}$ [/mm] und da keinerlei x drinn ist.
Wie Angela schon richtig gesagt hat gibt es nicht nur den [mm] $\IR^3$, [/mm] es gibt viele andere Vektorräume, und um das einzusehen musst du dir zuerst klar machen was ein Vektorraum überhaupt ist.
> > Es kann nicht sein daß Du den Begriff "Basis" verstanden
> > hast, wenn Du "Vektorraum" nicht verstanden hast.
> >
>
> Ich habe verstanden dass eine Basis sich aus mehreren
> Vektoren zusammensetzt, die bestimmten Anforderungen
> unterliegen müssen. So muss eben eine Basis des [mm]R^3[/mm] 3
> Vektoren beinhalten, die gewissen Mathematischen
> Grundregeln unterliegen, voneinander unterschiedlich sind
> und jede der 3 Achsen (x,y,z) Mindestens 1 mal in einer der
> Vektoren definiert ist. Lieg ich da richtig? Tut mir leid
> wenn das alles sehr Laiisch klingt, aber wie gesagt mir
> unterliegt nicht das fundierte Grundwissen, da ich in der
> Richtung schulisch noch Nichts gelernt habe.
Es darf nunmal leider nicht laiisch klingen...
Wenn du es etwas schlecht formulierst, ok, aber diese Formulierung ist so einfach nicht richtig/nicht vollständig und man merkt ganz genau, dass du nicht weißt wovon du redest.
> Aber was unterscheidet dann eine Basis vom Vektorraum? Oder
> gibt es überhaupt einen Unterschied? Im grunde müsste ja
> eine Basis ein VR sein oder?
Nein!
Jeder Vektorraum hat eine Basis, ähnlich wie jeder Vektorraum eine Dimension hat.
Eine Basis ist allerdings nur eine Menge von einigen Vektoren aus dem Vektorraum, es ist im allgemeinen nicht der Vektorraum selber.
> Was ist dann der grobe
> unterschied zwischen VR und Gruppe?
Genauso könntest du fragen was der Unterschied zwischen Deutsch und Englisch ist.
Gruppen und Vektorräume sind beide axiomatisch definiert und diese Axiome sind halt nicht die selben, somit sind Gruppen und Vektorräume nicht gleich.
Sie haben aber so wenig miteinander zu tun, dass man nicht einfach sagen kann "ein Vektorraum ist wie eine Gruppe, außer..."
Und nein, es ist absolut nicht das gleiche.
Also, wie gesagt, fang am besten nochmal ganz vorne an mit der Frage "Was ist ein Vektorraum? - Wie genau ist dies definiert?"
Wenn du jetzt weitermachst wirst du vielleicht das ein oder andere Beispiel nachvollziehen können, aber sobald ein etwas anderes Beispiel kommt (wie zum Beispiel hier der Vektorraum der Polynome) bist du raus, weil du die Grundlagen eben nicht verstanden hast.
MfG
Schadowmaster
edit: Und löse dich vom [mm] $\IR^3$!
[/mm]
Dies ist ein einziger Vektorraum und vielleicht ein Beispiel, aber es gibt wie gesagt viele andere, und viele sehen ganz, ganz anders aus...
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> Man muss dazu sagen, dass Ich Schüler der 13ten Klasse bin
> :) Dementsprechend war ich auf keiner Vorlesung nein.
> Dieses Thema ist teil meiner Seminararbeit =)
Hallo,
achso, dann erscheint die Angelegenheit natürlich in ganz anderem Licht.
Wie heißt denn das Thema Deiner Arbeit genau?
Welche Literatur verwendest Du?
Die Zutaten einer Gruppe sind zweierlei:
eine Menge und eine Verknüpfung, welche aus zwei Elementen der Menge ein neues macht.
Wenn dies in einer bestimmten Weise geschieht, nämlich die ![[]](/images/popup.gif) Gruppenaxiome erfüllt sind, sagt man, daß die Menge mit der Verknüpfung eine Gruppe bildet.
Ein Vektorraum unterscheidet sich von einer Gruppe wesentlich.
Allerdings ist eine der "Zutaten" eines Vektorraumes eine Gruppe.
(Im VR [mm] \IR^3 [/mm] besteht diese Gruppe aus Spaltenvektoren
mit 3 Komponenten und der wie folgt definierten Verknüpfung:
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3}:=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}.)
[/mm]
Im Vektorraum ist aber eine weitere Menge im Spiel und eine weitere Verknüpfung, eine Multiplikation von Elementen der zweiten Menge mit denen der ersten.
(Im [mm] \IR^3 [/mm] ist diese zweite Menge die Menge der reellen Zahlen,
und die Verknüpfung die Multiplikation von reellen Zahlen mit Spaltenvektoren.)
Wenn diese Verknüpfung nach bestimmten Regeln, den Vektorraumaximen abläuft, nennt man das Gebilde "Vektorraum".
Die Elemente der ersten Menge, der Gruppe, heißen Vektoren, die der zweiten Skalare.
Zum Basisbegriff:
eine Basis ist grob gesagt eine möglichst kleine Menge, aus welcher man durch Linearkombination jedes Element des Vektorraumes erezugen kann.
Beispiel: Es ist [mm] B=\{\vektor{1\\1},\vektor{1\\2}\} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2, [/mm] denn für jeden Vektor [mm] \vektor{x\\y} [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] findet man passende Zahlen a und b so, daß [mm] \vektor{x\\y}=a\vektor{1\\1} +b\vektor{1\\2}.
[/mm]
Natürlich hat der [mm] \IR^2 [/mm] noch ganz viele andere Basen. Allen gemeinsam ist, daß sie aus zwei Elementen bestehen.
Man sagt: die Dimension des [mm] \IR^2 [/mm] ist 2.
Also: Dimension= Anzahl der Elemente einer Basis.
Nun kurz zum Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad 2, für andere grade kannst Du Dir das selbst überlegen:
Die Menge der Polynme vom Höchstgrad 2 bildet zusammen mit der Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] mit
[mm] (a_2x^2+a_1x+a_0)\oplus(b_2x^2+b_1x+b_0):=(a_2+b_2)x^2+(a_1+b_1)x+(a_0+b_0) [/mm]
eine Gruppe. (Geh die Axiome durch, und überlege insbesondere, welches das neutrale Element ist, und wie zu einem vrgegebenen Element das Inverse aussieht.)
Diese Gruppe ist eine Zutat des Vektorraumes, welchen wir nun entstehen lassen.
Wir nehmen die reellen Zahlen (mit der wohlbekannten Addition und Multiplikation) hinzu und definieren:
Für jede reelle Zahl r sei des Produkt [mm] r\odot (ax^2+bx+c) [/mm] definiert durch
[mm] r\odot (ax^2+bx+c):=(ra)x^2+(rb)x+(rc).
[/mm]
Nun kann man die Vektorraumaxiome durchgehen und feststellen, daß die Polynome vom Höchstgrad 2 einen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] bilden.
Jeder Vektorraum hat eine Basis, so auch dieser:
mit den Polynomen [mm] x^2, [/mm] x, 1 kann man jedes Polynm des Vektorraumes [mm] P_2 [/mm] der Polynme vom Höchstgrad 2 erzeugen.
Die Dimension dieses Vektorraumes ist also 3.
Eine andere Basis wäre beispielsweise [mm] x^2+1, x^2+x,x+1, [/mm] was man aber nicht auf den ersten Blick sieht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 So 02.10.2011 | | Autor: | TFMaster |
Gut ok soweit habe ich alles verstanden =)
Für mich ergibt sich nur noch ein einziges nicht verständliches problem...
Ein teil der Aufgabenstellung ist ja:
Untersuchen Sie ob die Funktionen
f1 (x) = X³ , f2 (x) = (x+1)² , f3 (x) = (x-1)² , f4 (x) = x
eine Basis von V bilden.
also habe ich alle Funktionen ineinander gesetzt:
ax³+b(x+1)²+c(x-1)²+dx=0
ax³+bx²+cx²+2bx-2cx+dx+b+c=0
(a)*x³+(b+c)*x²+(2b-2c+d)*x+(b+c)*1=0
Aber wie erklär ich jetz ab diesem Ansatz, dass das ganze eine Basis bildet? Ich verstehe nicht ganz wie ich jetzt die Axiome oder die lineare unabhängigkeit nachweise :/ oder wie ich das ganze jetzt genau angehen muss...
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> Gut ok soweit habe ich alles verstanden =)
>
> Für mich ergibt sich nur noch ein einziges nicht
> verständliches problem...
>
> Ein teil der Aufgabenstellung ist ja:
>
>
> Untersuchen Sie ob die Funktionen
>
> f1 (x) = X³ , f2 (x) = (x+1)² , f3 (x) = (x-1)² , f4 (x)
> = x
>
> eine Basis von V bilden.
>
> also habe ich alle Funktionen ineinander gesetzt:
>
> ax³+b(x+1)²+c(x-1)²+dx=0
> ax³+bx²+cx²+2bx-2cx+dx+b+c=0
> (a)*x³+(b+c)*x²+(2b-2c+d)*x+(b+c)*1=0
>
> Aber wie erklär ich jetz ab diesem Ansatz, dass das ganze
> eine Basis bildet? Ich verstehe nicht ganz wie ich jetzt
> die Axiome oder die lineare unabhängigkeit nachweise :/
> oder wie ich das ganze jetzt genau angehen muss...
>
Nun, es ist eine Basis, wenn $a=b=c=d=0$ die einzige Lösung der Gleichung ist.
Das musst du zeigen oder widerlegen.
Als Tipp: Es handelt sich nicht um eine Basis.
MfG
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 So 02.10.2011 | | Autor: | TFMaster |
okay ich bin das jetzt so angegangen:
Ich habe mir die 3 vorkommenden faktoren genauer angesehen und sie =0 gesetzt
I) a=0
II) b+c=0 |-c
III) 2b-2c+d=0
II)in (III)
_______
2b+2b+d=4b+d=0
d=-4b=+4c
das heißt, die funktion ergibt dann 0 wenn ich zb einsetze:
a=0 ; b=1 ; c=-1 ; d=-4
dementsprechend existieren mehrere lösungen und sie sind dadurch linear abhängig und sie können keine Basis sein... hab ich das richtig verstanden bzw gemacht?
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> okay ich bin das jetzt so angegangen:
> Ich habe mir die 3 vorkommenden faktoren genauer angesehen
> und sie =0 gesetzt
> I) a=0
> II) b+c=0 |-c
> III) 2b-2c+d=0
> II)in (III)
> _______
> 2b+2b+d=4b+d=0
> d=-4b=+4c
> das heißt, die funktion ergibt dann 0 wenn ich zb
> einsetze:
> a=0 ; b=1 ; c=-1 ; d=-4
>
> dementsprechend existieren mehrere lösungen und sie sind
> dadurch linear abhängig und sie können keine Basis
> sein... hab ich das richtig verstanden bzw gemacht?
jo, sieht gut aus ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Mo 03.10.2011 | | Autor: | TFMaster |
sehr geil =)
dann Danke euch beiden! Ward mir ne seeeehr große Hilfe =)
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