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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mi 14.01.2009 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | a) Gib für den Operator T:T(x,yz) = (2x + y + 2z, x + 4y + 4z, -2x - 3y - 4z) alle Eigenwerte und eine Basis für jeden Eigenraum
b) Die drei erhaltenen l.u. EIgenvektoren bilden eine Basis [mm] \overline{B} [/mm] des [mm] \IR^3. [/mm] Ermittle die Matrixdarstellung von T bezüglich der Basis [mm] \overline{B} [/mm] |
Hallo!
Ich habe obige Aufgabe zu lösen.
Punkt a) ist kein Problem. Mein Ergebnis für die Basis ist:
[mm] \overline{B} \{ \vektor{0 \\ -2 \\ 1}, \vektor{-1 \\ -1 \\ 1}, \vektor{-3 \\ -5 \\ 7}\}
[/mm]
Ich habe hier Probleme bei der Durchführung - ich kenne den Algorithmus leider nicht und verstehe das ganze nicht komplett.
Also ich weiß, dass T = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 4 \\ -2 & -3 & -4 } [/mm] ist, laut angabe.
Ich gehe mal davon aus, dass diese Matrix für die Standardbasis gilt also (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Jetzt habe ich hier ein Diagramm gefunden, das einen Basiswechsel zeigt. Leider kann ich damit nicht viel anfangen - habe noch nichts in diese Richtung gemacht.
Bitte um Erklärung und vielen Dank für die Geduld!
mfg
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> a) Gib für den Operator T:T(x,yz) = (2x + y + 2z, x + 4y +
> 4z, -2x - 3y - 4z) alle Eigenwerte und eine Basis für jeden
> Eigenraum
>
> b) Die drei erhaltenen l.u. EIgenvektoren bilden eine Basis
> [mm]\overline{B}[/mm] des [mm]\IR^3.[/mm] Ermittle die Matrixdarstellung von
> T bezüglich der Basis [mm]\overline{B}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe obige Aufgabe zu lösen.
> Punkt a) ist kein Problem. Mein Ergebnis für die Basis
> ist:
>
> [mm]\overline{B} \{ \vektor{0 \\ -2 \\ 1}, \vektor{-1 \\ -1 \\ 1}, \vektor{-3 \\ -5 \\ 7}\}[/mm]
Hallo,
ich hab' das nicht nachgerechnet.
>
> Ich habe hier Probleme bei der Durchführung - ich kenne den
> Algorithmus leider nicht und verstehe das ganze nicht
> komplett.
>
> Also ich weiß, dass T = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 4 \\ -2 & -3 & -4 }[/mm]
> ist, laut angabe.
> Ich gehe mal davon aus, dass diese Matrix für die
> Standardbasis gilt also (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Ja. das ist die darstellende Matrix der Abbildung T bzgl. der Standardbasis E. In den Spalten stehen also die Bilder dieser Basisvektoren in Koordinaten bzgl der Standardbasis.
Du sollst nun die darstellende Matrix der Abbildung bzgl der Basis [mm] \overline{B} [/mm] angeben. Sie enthält in den Spalten die Bilder der Basisvektoren von [mm] \overline{B} [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] \overline{B}.
[/mm]
Damit hast Du schon eine Berechnungsmöglichkeit:
berechne die Funktionswerte der Basisvektoren, schreibe das Ergebnis als Linearkombination diese Vektoren, und stapele die jeweiligen Koeffizienten als Spalte in die Matrix.
Zweite Möglichkeit unter Verwendung von T:
Die Matrix [mm] _ET_{\overline{B}}, [/mm] die in den Spalten die Vektoren von [mm] \overline{B} [/mm] enthält, transformiert Vektoren, die in Koordinaten bzgl [mm] \overline{B} [/mm] gegeben sind in solche bzgl. E,
ihr Inverses tut das umgekehrte.
Die darstellende Matrix [mm] _\overline{B}T_\overline{B} [/mm] erhältst Du so:
[mm] _{\overline{B}}T_{\overline{B}} =(_ET_{\overline{B}})^{-1}*T*_ET_{\overline{B}},
[/mm]
Gruß v. Angela
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