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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 19.06.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bezüglich der kanonischen Basis des IR² ist gegeben:
[mm] b_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix}, b_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] sowie: [mm] a=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Betrachtung der neuen Basis B = [mm] (b_1, b_2):
[/mm]
a, Wie lauten die Koordinaten von a bezüglich B?
b, Wenn ein Vektor bezüglich B die Koordinaten (3, [mm] -1)^t [/mm] hat, wie lauten sie dann in der (alten Basis)? |
Hallo Zusammen,
ich habe es folgendermaßen gelöst, als erstes gilt ja:
a, Jeder Vektor der Basis B lässt sich als Linearkombination aus den Basisvektoren darstellen. Somit kann man folgendes Gleichungssystem aufstellen, bei dem die Lösung der Koeffizienten, die neuen Koordianten des Vektors a bezüglich der Basis B sind:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = x [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + y [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
->
8x - 5y = 1
-3x+2y = 2
Wenn ich diese LGS löse erhalte ich für x = 12 und y = 19
Also lauten die neuen Koordinaten bezüglich der Basis B [mm] \begin{pmatrix} 12 \\ 19 \end{pmatrix} [/mm]
Eine alternative Methode wäre noch: neue Koordinaten = [mm] B^{-1} \cdot{} [/mm] alte Koordianten
b, Nun genau anders herum von der Basis B = [mm] \begin{pmatrix}
8 & -5 \\
-3 & 2
\end{pmatrix} [/mm] zur Standardbasis = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Also würde doch folgender Ansatz funktionieren:
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] = 3 [mm] \cdot{} \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + (-1) [mm] \cdot{} \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Somit würden sich folgende Koordinaten ergeben: [mm] \begin{pmatrix} 29 \\ -11 \end{pmatrix} [/mm] bezüglich der Standardbasis.
Stimmt diese Lösung?
Was bedautet denn das t bei den Koordinaten (3, [mm] -1)^t? [/mm] Das Transponierte einer Matrix wird mit einem großen T normiert.
Gruß
itse
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> Bezüglich der kanonischen Basis des IR² ist gegeben:
>
> [mm]b_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix}, b_2[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] sowie:
> [mm]a=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Betrachtung der neuen Basis B = [mm](b_1, b_2):[/mm]
>
> a, Wie lauten die Koordinaten von a bezüglich B?
> b, Wenn ein Vektor bezüglich B die Koordinaten (3, [mm]-1)^t[/mm]
> hat, wie lauten sie dann in der (alten Basis)?
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe es folgendermaßen gelöst, als erstes gilt ja:
>
> a, Jeder Vektor der Basis B lässt sich als
> Linearkombination aus den Basisvektoren darstellen. Somit
> kann man folgendes Gleichungssystem aufstellen, bei dem die
> Lösung der Koeffizienten, die neuen Koordianten des Vektors
> a bezüglich der Basis B sind:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] = x [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
> + y [mm]\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ->
>
> 8x - 5y = 1
> -3x+2y = 2
>
> Wenn ich diese LGS löse erhalte ich für x = 12 und y = 19
>
> Also lauten die neuen Koordinaten bezüglich der Basis B
> [mm]\begin{pmatrix} 12 \\ 19 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Eine alternative Methode wäre noch: neue Koordinaten =
> [mm]B^{-1} \cdot{}[/mm] alte Koordianten
Hallo,
ja, alles richtig.
>
>
> b, Nun genau anders herum von der Basis B =
> [mm]\begin{pmatrix}
8 & -5 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}[/mm] zur Standardbasis =
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Also würde doch folgender Ansatz funktionieren:
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm] = 3 [mm]\cdot{} \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
> + (-1) [mm]\cdot{} \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Somit würden sich folgende Koordinaten ergeben:
> [mm]\begin{pmatrix} 29 \\ -11 \end{pmatrix}[/mm] bezüglich der
> Standardbasis.
>
> Stimmt diese Lösung?
Ja.
>
> Was bedautet denn das t bei den Koordinaten (3, [mm]-1)^t?[/mm] Das
> Transponierte einer Matrix wird mit einem großen T
> normiert.
... normiert? Nein, es wird so bezeichnet. Oder gekennzeichnet.
Und manchmal (eigentlich ziemlich oft) auch mit einem kleinen t. Mit den Bezeichnungen muß man etwas flexibel sein. (Die Alternative: man wird wahnsinnig.)
Das soll einfach ein Spaltenvektor sein, aus Bequemlichkeit und Platzspargründen schreiben sie das Transponierte auf.
Gruß v. Angela
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