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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | (a) Zeigen Sie, die Vektoren:
[mm] b_1=\vektor{-3\\2\\1} b_2=\vektor{-2\\1\\1} b_3= \vektor{6\\-3\\-2}
[/mm]
bilden eine Basis des [mm] \IR^3
[/mm]
b) Sei eine lineare Abbildung [mm] \varphi: \IR^3 \to \IR^4 [/mm] gegeben durch:
[mm] \varphi(x)=\pmat{11x_1+12x_2+6x_3\\-5x_1-5x_2-3x_3\\-3x_1-4x_2}
[/mm]
Bestimmen sie die darstellende Matrix [mm] [\varphi]^B [/mm] dieses Endomorphismus bezüglich der Basis [mm] B=(b_1,b_2,b_3) [/mm] |
Hallo,
die a ist kein Problem da muss ich ja nur die lineare unabhängigkeit der Vektoren zeigen.
Das wo ich mir unsicher bin ist die b)
Was ich gemacht habe ist:
Wir haben die Matrix
[mm] \pmat{11&12&6\\-5&-5&-3\\-3&-4&0}
[/mm]
Hieraus folgt:
[mm] \varphi(b_1)=\pmat{11&12&6\\-5&-5&-3\\-3&-4&0}\vektor{-3\\2\\1}=\vektor{-3\\2\\1}
[/mm]
[mm] \varphi(b_2)=\pmat{11&12&6\\-5&-5&-3\\-3&-4&0}\vektor{-2\\1\\1}=\vektor{-4\\2\\2}
[/mm]
[mm] \varphi(b_3)=\pmat{11&12&6\\-5&-5&-3\\-3&-4&0}\vektor{6\\-3\\-2}=\vektor{18\\-9\\-4}
[/mm]
Hieraus ergibt sich
[mm] [\varphi]^B=\pmat{-3&2&1\\-4&2&2\\18&-9&-4}
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo
> (a) Zeigen Sie, die Vektoren:
>
> [mm]b_1=\vektor{-3\\2\\1} b_2=\vektor{-2\\1\\1} b_3= \vektor{6\\-3\\-2}[/mm]
>
> bilden eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
>
> b) Sei eine lineare Abbildung [mm]\varphi: \IR^3 \to \IR^4[/mm]
> gegeben durch:
>
> [mm]\varphi(x)=\pmat{11x_1+12x_2+6x_3\\-5x_1-5x_2-3x_3\\-3x_1-4x_2}[/mm]
>
> Bestimmen sie die darstellende Matrix [mm][\varphi]^B[/mm] dieses
> Endomorphismus bezüglich der Basis [mm]B=(b_1,b_2,b_3)[/mm]
> Hallo,
>
> die a ist kein Problem da muss ich ja nur die lineare
> unabhängigkeit der Vektoren zeigen.
Nur die lineare Unabhängigkeit reicht nicht für eine Basis. Du musst noch begründen wieso diese 3 linear Unabhängigen Vektoren auch eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] bilden.
>
> Das wo ich mir unsicher bin ist die b)
>
> Was ich gemacht habe ist:
>
> Wir haben die Matrix
>
> [mm]\pmat{11&12&6\\-5&-5&-3\\-3&-4&0}[/mm]
>
> Hieraus folgt:
>
> [mm]\varphi(b_1)=\pmat{11&12&6\\-5&-5&-3\\-3&-4&0}\vektor{-3\\2\\1}=\vektor{-3\\2\\1}[/mm]
>
> [mm]\varphi(b_2)=\pmat{11&12&6\\-5&-5&-3\\-3&-4&0}\vektor{-2\\1\\1}=\vektor{-4\\2\\2}[/mm]
>
> [mm]\varphi(b_3)=\pmat{11&12&6\\-5&-5&-3\\-3&-4&0}\vektor{6\\-3\\-2}=\vektor{18\\-9\\-4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Hieraus ergibt sich
>
> [mm][\varphi]^B=\pmat{-3&2&1\\-4&2&2\\18&-9&-4}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du kannst jetzt nicht einfach die Bilder der Basisvektoren in die darstellende Matrix schreiben, sondern musst diese Bilder zunächst wieder durch die Basis B ausdrücken, z.B. für [mm] b_{1} [/mm] so:
[mm] \varphi(b_{1})=\vektor{-3\\2\\1}=1*b_{1}+0*b_{2}+0*b_{3}.
[/mm]
Die Koeffizienten 1,0,0 trägst du dann in die Darstellungsmatrix ein.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
erst einmal vielen vielen dank für deine Hilfe!
zu a)
meinst du vielleicht: weil sie linear unabhängig sind und einen Teilraum von [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen?
zu b)
Ich habe das jetzt mit den anderen beiden Bildern auch gemacht.
[mm] \varphi(b_2)=\vektor{-4\\2\\2}=0*b_1+2*b_2+0*b_3
[/mm]
[mm] \varphi(b_3)=\vektor{18\\-9\\-4}=0*b_1+0*b_2+2*b_3
[/mm]
Die Darstellende Matrix ist also
[mm] \pmat{1&0&0\\0&2&0\\0&0&2}
[/mm]
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Fr 18.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> erst einmal vielen vielen dank für deine Hilfe!
>
> zu a)
>
> meinst du vielleicht: weil sie linear unabhängig sind und
> einen Teilraum von [mm]\IR^3[/mm] aufspannen?
Sie spannen den ganzen [mm] \IR^3 [/mm] auf ! Warum ?
>
> zu b)
>
> Ich habe das jetzt mit den anderen beiden Bildern auch
> gemacht.
>
> [mm]\varphi(b_2)=\vektor{-4\\2\\2}=0*b_1+2*b_2+0*b_3[/mm]
>
> [mm]\varphi(b_3)=\vektor{18\\-9\\-4}=0*b_1+0*b_2+2*b_3[/mm]
Das stimmt nicht !
>
>
> Die Darstellende Matrix ist also
>
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&2&0\\0&0&2}[/mm]
Nein !
FRED
>
>
>
> Lg Melisa
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
> >
> > zu b)
> >
> > Ich habe das jetzt mit den anderen beiden Bildern auch
> > gemacht.
> >
> > [mm]\varphi(b_2)=\vektor{-4\\2\\2}=0*b_1+2*b_2+0*b_3[/mm]
> >
> > [mm]\varphi(b_3)=\vektor{18\\-9\\-4}=0*b_1+0*b_2+2*b_3[/mm]
>
> Das stimmt nicht !
Das erste stimmt aber oder?
Es ist doch
zum beispiel bei [mm] \varphi(b_2) 2*b_2 [/mm] ergibt doch das gleiche und [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] muss ich deshalb mit 0 multiplizieren.
Bei [mm] \varphi(b_3) [/mm] hab ich mein Fehler entdeckt
[mm] \varphi(b_3)=\vektor{18//-9//-4}=0*b_1+6*b_2+5*b_3
[/mm]
also folgt
[mm] [\varphi]_B=\pmat{-3&0&0\\2&2&6\\1&0&5}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Bei [mm]\varphi(b_3)[/mm] hab ich mein Fehler entdeckt
>
> [mm]\varphi(b_3)=\vektor{18\\-9\\-4}=0*b_1+6*b_2+5*b_3[/mm]
>
>
> also folgt
>
> [mm][\varphi]_B=\pmat{-3&0&0\\2&2&6\\1&0&5}[/mm]
Jetzt stimmts.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
super danke für die hilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
ich habe gerade gesehen, dass da nicht [mm] [\varphi]^B [/mm] gefragt ist, sondern [mm] [\varphi]_B
[/mm]
macht es ein unterschied? Also ist dann alles falsch was ich gemacht habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Nein, es ist wohl das gleiche gemeint. Wir haben auf jeden Fall die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis B bestimmt, wie ganz oben in der Aufgabenstellung verlangt.
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok dann bin ich ja erleichtert :-D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Igor1 |
Die erste Spalte ist natürlich 1 0 0 .
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Oh ja, hab ich gar nicht gesehen, weiter oben wars noch richtig.
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Nur mal zum Verständnis.
[mm]M^B_B(\gamma)[/mm]=[mm]\pmat{1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3}[/mm] Wäre doch auch eine darstellungsmatrix, oder?
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>
> Nur mal zum Verständnis.
>
> [mm]M^B_B(\gamma)[/mm]=[mm]\pmat{1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3}[/mm]
> Wäre doch auch eine darstellungsmatrix, oder?
Hallo,
ja, die darstellungsmatrix zgl der Basis [mm] B=(v_1, v_2, v_3).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Igor1 |
Die dritte Spalte kann nicht 0 0 3 sein, da
[mm] \vektor{18\\ -9\\-4} \not= 0*b_{1}+0*b_{2}+3*b_{3}
[/mm]
EDIT: Es stimmt doch. Die letzte gepostete Darstellungsmatrix ist korrekt. Der Fehler liegt beim Ausrechnen von [mm] \phi (b_{3}) [/mm] . Der Wert davon ist nicht
[mm] \vektor{18\\ -9\\-4}, [/mm] sondern [mm] \vektor{18\\ -9\\-6}
[/mm]
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> Die dritte Spalte kann nicht 0 0 3 sein, da
> [mm]\vektor{18\\
-9\\
-4} \not= 0*b_{1}+0*b_{2}+3*b_{3}[/mm]
Hallo,
die dritte Spalte ist [mm] \vektor{0\\0\\3},
[/mm]
[mm] da\phi(b_3)= $\vektor{18\\ -9\\-\red{6}} [/mm] = [mm] 0*b_{1}+0*b_{2}+3*b_{3}$
[/mm]
Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Igor1 |
>
> > Die dritte Spalte kann nicht 0 0 3 sein, da
> > [mm]\vektor{18\\
-9\\
-4} \not= 0*b_{1}+0*b_{2}+3*b_{3}[/mm]
>
> Hallo,
>
> die dritte Spalte ist [mm]\vektor{0\\0\\3},[/mm]
>
> da [mm]\vektor{18\\ -9\\-4} = 0*b_{1}+0*b_{2}+3*b_{3}[/mm]
Die letzte Gleichung stimmt nicht. (siehe bitte EDIT in meinem letzten posting).
> Gruß v. Angela
> >
> >
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