Basiswechsel, ein letztes Mal. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Mo 28.12.2009 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Gegeben seien diese Vektoren:
[mm] v_1=\vektor{1 \\1\\0}
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{0 \\ 0\\1}
[/mm]
[mm] v_3=\vektor{0 \\ 1\\1}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix A der Linearen Abbildung an, die [mm] v_1 [/mm] auf [mm] v_2, v_2 [/mm] auf [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] auf [mm] v_1 [/mm] abbildet
b) Bestimmen Sie A in der Basis [mm] {v_1,v_2,v_3} [/mm] |
Hi leute. Dachte eigentlich hätt ichs endlich mal gerafft, leider kommt was falsches raus. Ich rechne mal vor:
a)
[mm] A^E_E [/mm] <- kann man so schreiben, oder? Ist doch die Abbildungsmatrix in Standardbasis. ABER hier schon ne Frage: Das ist die Basis des Urbildraums und des Bildraums, oder? Kann ich auch getrennte Basen für beide Räume betrachten/berechnen?
Naja weiter gehts:
[mm] A^E_E*(v_1,v_2,v_3)=(v_2,v_3,v_1)
[/mm]
[mm] \gdw A^E_E=(v_2,v_3,v_1)*(v_1,v_2,v_3)^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw A^E_E=\pmat{-1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 }
[/mm]
b)
Ich suche jetzt A in Basis [mm] W={v_1,v_2,v_3}, [/mm] oder?
Also [mm] A^W_W=T^W_E*A^E_E*T^E_W?
[/mm]
[mm] T^W_E [/mm] ist einfach, da Linearkombination der Einheitsvektoren: [mm] T^W_E=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 }
[/mm]
[mm] T^E_W [/mm] ist [mm] (T^W_E)^{-1}=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\-1 & 1 & 0 }
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] A^W_W=T^W_E*A^E_E*T^E_W [/mm] berechne, bekomme ich [mm] \pmat{0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\-1 &3 & -1 } [/mm] raus.
Das entspricht leider nicht der Lösung [mm] \pmat{0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 }
[/mm]
Habe ich jetzt totalen Schwachsinn gerechnet, oder was ist falsch?
Danke & Schöne Grüße
EDIT:
also, es scheint, als wären [mm] T^W_E [/mm] und [mm] T^E_W [/mm] vertauscht worden ganz zum Schluss. Wenn ich anders rum multipliziere passts. Wo ist denn dann mein Fehler?
Von einem Kommilitonen hab' ich auch noch das als "komplette Lösung" bekommen:
[mm] A(v_1)=0*v_1+1*v_2+0*v_3 [/mm]
usw
[mm] \Rightarrow \pmat{0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 }
[/mm]
Da kann ich leider nicht viel mit anfangen, vllt könnte mir das auch noch jemand erklären?=)
Danke Leute
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mo 28.12.2009 | | Autor: | nooschi |
dein einziges Problem ist, dass du die Basiswechsel genau falsch rum geschrieben hast. d.h.
[mm] T_{W}^{E}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
[mm] T_{E}^{W}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 }
[/mm]
so bekommst du ja, wie du bereits gemerkt hast die richtige Lösung mit
[mm] A_{W}^{W}=T_{W}^{E}*A_{E}^{E}*T_{E}^{W}
[/mm]
noch zu den Basiswechsel folgendes:
wenn ein Vektor in der Basis W mit [mm] T_{W}^{E} [/mm] multipliziert wird, soll der Vektor bezüglich der Basis E herauskommen.
Wir haben ja die Vektoren [mm] v_{1},v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] in der Basis E! Wenn man diese Vektoren in der Basis W ausdrückt, sind das gerade die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Falls dich das noch verwirrt, empfehle ich dir wärmstans den Artikel von Angela: https://matheraum.de/read?i=619317 , der hat mir zumindest sehr weitergeholfen.
Zurück zum Basiswechsel: das bedeutet also, dass:
[mm] T_{W}^{E}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=v_{1}
[/mm]
[mm] T_{W}^{E}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=v_{2}
[/mm]
[mm] T_{W}^{E}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=v_{3}
[/mm]
und das stimmt gerade, wenn du die Matrix von oben benützt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 29.12.2009 | | Autor: | kappen |
Okay dankeschön.
Wieso sind die denn falsch herum? Hab's doch eigentlich so gemacht wie hier steht: http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/Transformationsmatrizen%20und%20Basiswechsel.pdf
ich dachte [mm] T^W_E [/mm] ist die Matrix in der die Linearkombinationen mit den Einheitsvektoren stehen?
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> Okay dankeschön.
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> Wieso sind die denn falsch herum? Hab's doch eigentlich so
> gemacht wie hier steht:
> http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/Transformationsmatrizen%20und%20Basiswechsel.pdf
>
> ich dachte [mm]T^W_E[/mm] ist die Matrix in der die
> Linearkombinationen mit den Einheitsvektoren stehen?
Hallo,
ja.
In Eurer Schreibweise ist [mm] T^W_E [/mm] die Matrix, die den Basiswechsel von W nach E vollzieht. Wenn E die Standardbasis ist, enthält [mm] T^W_E [/mm] also die Basisvektoren von W in Standardkoordinaten.
So weit hast Du recht.
Du schreibst nun dies:
> > > $ [mm] A^W_W=T^W_E\cdot{}A^E_E\cdot{}T^E_W [/mm] $ ,
und das ist falsch.
Es muß $ [mm] A^W_W=T^E_W \cdot{}A^E_E\cdot{}T^W_E$ [/mm] heißen, denn [mm] A^W_W [/mm] ist ja eine Matrix, die mit Vektoren bzgl W gefüttert wird und solche auch wieder von sich gibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mi 30.12.2009 | | Autor: | kappen |
Danke für die Antwort :)
Nun hab' ich leider ein Beispiel, bei dem das nicht hinkommt.
Btw, das ist nicht unsere Schreibweise, wir haben das Ganze überhaupt nicht mit Indzies gemacht.
Also hier das Beispiel:
Gegeben:
Lineare Abbildung V (wie schreibt man das korrekt hin, auf was wird V mit M abgebildet?!)
[mm] M^B_B=\pmat{ -1 & 0 &0 \\ 0&1&0\\0&0&2 }
[/mm]
Basis [mm] B=\pmat{1&0&0\\2&1&1\\3&2&1}
[/mm]
Standardbasis E
Nun sind die Transformationsmatrizen [mm] T^B_E [/mm] und [mm] T_B^E [/mm] gesucht.
Ich dachte, [mm] T^B_E [/mm] sei jetzt kein Problem mehr, da:
[mm] \vektor{1 \\ 2\\3}=a*e_1+b*e_2+c*e_3 [/mm] -> a=1, b=2, c=3 etc etc
also [mm] T^B_E=\pmat{1&0&0\\2&1&1\\3&2&1}
[/mm]
[mm] T_B^E [/mm] hingegen ist das Inverse von [mm] T^B_E, [/mm] also [mm] \pmat{1&0&0\\-1&-1&1\\-1&2&-1}
[/mm]
Jetzt ist [mm] M^E_E [/mm] gesucht, also Transformationsformel : [mm] M^E_E=T^B_E*M_B^B*T^E_B
[/mm]
Leider kommt wieder genau das andere raus, laut Lösung soll es so sein: [mm] \pmat{-1&0&0\\5&3&1\\-1&-2&0}
[/mm]
Und das kommt auch raus, wenn ich [mm] M^E_E [/mm] so berechne (das ist übrigens total geil, da die Transformationsmatrizen wegfallen; wieso geht das und gibt es noch mehr dieser "Abkürzungen"?):
1. Spalte von [mm] M^E_E: V*b_1= \pmat{ -1 & 0 &0 \\ 0&1&0\\0&0&2 }*\vektor{1\\2\\3}=\vektor{-1\\2\\6}=a*\vektor{1\\2\\3}+b*\vektor{0\\1\\2}+c*\vektor{0\\1\\1} [/mm] -> a=-1, b=5, v=-1, entspricht der 1. Spalte der Musterlösung.
Wieso geht das so einfach :D? Ist es, wenn ich M auf B anwende, dass ich eine Linearkombination der Basis B erstelle? Aber was hat das mit der Standardbasis zu tun, denn B und M sind in Basis B, da is doch garnix mit E?
Egal, jedenfalls sind entweder meine Transformationsmatrizen oder hinterher bei der berechnung wieder Dreher drin. Könntet ihr mir sagen, wo und warum? Irgendwann musses doch lüppen :(
Gruß und ein fettes Danke,
kappen
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> Danke für die Antwort :)
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> Nun hab' ich leider ein Beispiel, bei dem das nicht
> hinkommt.
>
> Btw, das ist nicht unsere Schreibweise, wir haben das Ganze
> überhaupt nicht mit Indzies gemacht.
>
> Also hier das Beispiel:
>
> Gegeben:
> Lineare Abbildung V (wie schreibt man das korrekt hin, auf
> was wird V mit M abgebildet?!)
> [mm]M^B_B=\pmat{ -1 & 0 &0 \\ 0&1&0\\0&0&2 }[/mm]
> Basis
> [mm]B=\pmat{1&0&0\\2&1&1\\3&2&1}[/mm]
Hallo,
was meinst Du hiermit?
Ich gehe davon aus, daß Du sagen willst [mm] B=\{b_1:=\vektor{1\\2\\3}, b_2:=\vektor{0\\1\\2}, b_3:=\vektor{0\\1\\1}\}.
[/mm]
> Standardbasis E
>
> Nun sind die Transformationsmatrizen [mm]T^B_E[/mm] und [mm]T_B^E[/mm]
> gesucht.
>
> Ich dachte, [mm]T^B_E[/mm] sei jetzt kein Problem mehr, da:
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\3}=a*e_1+b*e_2+c*e_3[/mm] -> a=1, b=2, c=3 etc
> etc
>
> also [mm]T^B_E=\pmat{1&0&0\\2&1&1\\3&2&1}[/mm]
>
> [mm]T_B^E[/mm] hingegen ist das Inverse von [mm]T^B_E,[/mm] also
> [mm]\pmat{1&0&0\\-1&-1&1\\-1&2&-1}[/mm]
>
> Jetzt ist [mm]M^E_E[/mm] gesucht, also Transformationsformel :
> [mm]M^E_E=T^B_E*M_B^B*T^E_B[/mm]
>
> Leider kommt wieder genau das andere raus, laut Lösung
> soll es so sein: [mm]\pmat{-1&0&0\\5&3&1\\-1&-2&0}[/mm]
Diese Lösung ist falsch.
Richtig ist [mm] \pmat{-1&0&0\\-5&3&-1\\-7&2&0}.
[/mm]
>
> Und das kommt auch raus, wenn ich [mm]M^E_E[/mm] so berechne (das
> ist übrigens total geil, da die Transformationsmatrizen
> wegfallen; wieso geht das und gibt es noch mehr dieser
> "Abkürzungen"?):
>
> 1. Spalte von [mm][mm] M^E_E: V*b_1= \pmat{ -1 & 0 &0 \\ 0&1&0\\0&0&2 }*\vektor{1\\2\\3}
[/mm]
Das ist Unfug - bzw. man kann das natürlich berechnen, aber das ist nicht die erste Spalte von [mm] M^E_E.
[/mm]
Für die erste Spalte von E würdest Du (ohne Transformationsmatrizen) erstmal den ersten Standardbasisvektor [mm] e_1 [/mm] als Linearkombination der [mm] b_i [/mm] schreiben:
[mm] e_1=1*b_1-1*b_2-1*b_3=\vektor{1\\-1\\-1}_{(B)}.
[/mm]
Nun ist
[mm] f(e_1)=M^B_B*\vektor{1\\-1\\-1}_{(B)}=\vektor{-1\\-1\\-2}_{(B)}=-b_1-b_2-2b_3=\vektor{-1\\-5\\-7}.
[/mm]
Die anderen Spalten entsprechend.
Du darfst [mm] M^B_B [/mm] nur mit Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, füttern, und Du bekommst auch Koordinatenvektoren bzgl B heraus - das darf man nicht vergessen.
Wenn Verwirrung droht, notiere ich an den Spalten immer die Basis, auf welche man sich gerade bezieht. Wenn nichts dasteht, ist's die Standardbasis E.
Du hast das Bild von [mm] \vektor{1\\2\\3}_{(B)} [/mm] ausgerechnet, also von [mm] b_1+2b_2+3b_3=\vektor{1\\7\\10},
[/mm]
und herausgefunden [mm] f(\vektor{1\\7\\10})=\vektor{-1\\2\\6}_{(B)}=\vektor{-1\\6\\7}.
[/mm]
Das bestätigt auch meine Matrix [mm] M^E_E, [/mm] welche Vektoren bzgl. E frißt und von sich gibt: [mm] \pmat{-1&0&0\\-5&3&-1\\-7&2&0}*\vektor{1\\7\\10}=\vektor{-1\\6\\7}.
[/mm]
> [mm]=\vektor{-1\\2\\6}=a*\vektor{1\\2\\3}+b*\vektor{0\\1\\2}+c*\vektor{0\\1\\1}[/mm]
> -> a=-1, b=5, v=-1, entspricht der 1. Spalte der
> Musterlösung.
.
...welche leider falsch ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mi 30.12.2009 | | Autor: | kappen |
Wow. Danke
Ja hmm, wenn du möchtest, guck dir mal unten in der PDF die Aufgabe an: ![[]](/images/popup.gif) PDF
Das heißt das ist falsch und das, was ich aufgeschrieben habe ist korrekt?
Oben mit der Basis meinte ich natürlich sowas [mm] B=\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{2\\1\\1},\vektor{3\\2\\1}\}
[/mm]
Viele Dank für deine Ausführungen unten, werde mir das gleich in Ruhe nochmal angucken. Also waren meine Zweifel auch berechtigt, weil E nie vorkam? Was hätte ich denn da ausgerechnet, wenn ich A auf einen Basisvektor anwende?
Schöne Grüße
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> Wow. Danke
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> Ja hmm, wenn du möchtest, guck dir mal unten in der PDF
> die Aufgabe an:
> PDF
Hallo,
dort sind die Transformationsmatrizen vertauscht.
Es ist die Matrix [mm] T^B_E [/mm] die Matrix, die so leicht aufzustellen ist und nicht, wie dort bei dem vorgerechneten Beispiel geschrieben, die Matrix [mm] T^B_E.
[/mm]
Da hat sich der Florian irgendwie verhauen, ganz oben im Dokument ist es noch richtig erklärt.
> Das heißt das ist falsch und das, was ich aufgeschrieben
> habe ist korrekt?
Dein Ergebnis hast Du ja nicht genannt - aber Du kannst es mit meinem vergleichen.
Ich kann (fast) die Hand dafür ins Feuer legen, daß es richtig ist.
Ich habe mich übrigens, nachdem ich das mal hier im Forum gesehen habe, von den Schreibweisen [mm] M^C_D [/mm] und [mm] T^D_E [/mm] verabschiedet zugunsten der Schreibweisen [mm] _DM_C, _ET_D, [/mm] welche mich nach etwas Gewöhnung entschieden weniger wahnsinnig machen als die andere.
Hierbei stehen rechts, also dort, wo die Vektoren heranmultipliziert werden, die Basen des Startraumes, links die des Zielraumes.
Das ganze funktioniert nun nämlich wie ein Dominospiel, z.B. ist
[mm] _EM_E=_ET_B*_BM_B*_BT_E,
[/mm]
(immer gleiche Basen stoßen aneinander)
und wenn man weiß, daß die Transformationsmatrizen, bei denen links die Standardbasis steht, die sind, die so einfach aufzustellen sind, kann man fast nichts mehr falsch machen.
Wenn man mal [mm] _AT_B [/mm] benötigt: [mm] _AT_B=_AT_E*_ET_B=(_ET_A)^{-1}*_ET_B.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Oben mit der Basis meinte ich natürlich sowas
> [mm]B=\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{2\\1\\1},\vektor{3\\2\\1}\}[/mm]
>
> Viele Dank für deine Ausführungen unten, werde mir das
> gleich in Ruhe nochmal angucken. Also waren meine Zweifel
> auch berechtigt, weil E nie vorkam? Was hätte ich denn da
> ausgerechnet, wenn ich A auf einen Basisvektor anwende?
>
> Schöne Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mi 30.12.2009 | | Autor: | kappen |
Hi angela :)
Die andere Schreibweise ist super. Ich werde ausprobieren, was mir eher liegt.
Ich weiß, dass das anders rum erklärt wurde oben, so hab' ichs ja auch berechnet, aber jetzt hatte ich Angst, dass es doch irgendwie nicht passt.
Ich weiß garnicht, wie ich dir für die schier unendlich vielen Antworten, die du mir gegeben hast, bedanken soll...
Fühle mich auf jeden Fall schon sicherer was Matrizen angeht :)
Danke! Schönen Abend noch
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 31.12.2009 | | Autor: | kappen |
Hey ich bins nochmal :)
Hab' mir die Geschichte mit dem Bestimmen der Darstellungsmatrix ohne Transformationsmatrizen angeguckt. Was du schreibst sieht logisch aus, aber ich hab jetzt nochmal im Skript nachgeguckt, es wird wirklich die Matrix A zur Basis E mit einem Vektor aus der neuen Basis V multipliziert, und nix anderes habe ich doch auch hier gemacht oder?
ich schreibs nochmal hin:
[mm] A^E_E=\pmat{ 11&-3 \\ 36 & -10 }
[/mm]
[mm] v_1=\vektor{1\\3}, v_2=\vektor{1\\4}, V=\pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Dann schreibt er:
[mm] A*v_1=\vektor{2\\6}=a*v_1+b*v_2 [/mm] und als kommentar: "wie kann ich den vektor als Linearkombination von v darstellen?"
Die koeffizienten sind 2 und 0, und die 1. Spalte der Darstellungsmatrix B?!
Vllt ist ja was anderes damit gemeint?
Schöne Grüße und rutscht gut rein später :)
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> Hey ich bins nochmal :)
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> Hab' mir die Geschichte mit dem Bestimmen der
> Darstellungsmatrix ohne Transformationsmatrizen angeguckt.
> Was du schreibst sieht logisch aus, aber ich hab jetzt
> nochmal im Skript nachgeguckt, es wird wirklich die Matrix
> A zur Basis E mit einem Vektor aus der neuen Basis V
> multipliziert, und nix anderes habe ich doch auch hier
> gemacht oder?
Hallo,
doch. Du hast gestern (oder so) eine Matrix, welche nur Koordinatenvektoren bzgl. B fressen kann, mit einem Vektor bzgl. der Standardbasis gefüttert. Davon kriegt die Matrix Verdauungsstörungen.
Dein Professor füttert die Matrix, die Vektoren bzgl E frißt und abgibt, mit den Basisvektoren von V in Koordinaten bzgl. E. Alles gut verträglich für den Matrixmagen...
Auch Dir einen guten Rutsch. Und fein nur Bekömmliches essen und trinken...
Gruß v. Angela
>
> ich schreibs nochmal hin:
>
> [mm]A^E_E=\pmat{ 11&-3 \\ 36 & -10 }[/mm]
> [mm]v_1=\vektor{1\\3}, v_2=\vektor{1\\4}, V=\pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 4 }[/mm]
>
> Dann schreibt er:
>
> [mm]A*v_1=\vektor{2\\6}=a*v_1+b*v_2[/mm] und als kommentar: "wie
> kann ich den vektor als Linearkombination von v
> darstellen?"
>
> Die koeffizienten sind 2 und 0, und die 1. Spalte der
> Darstellungsmatrix B?!
>
> Vllt ist ja was anderes damit gemeint?
>
> Schöne Grüße und rutscht gut rein später :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 02.01.2010 | | Autor: | kappen |
So, frohes neues ;)
Woher weiß ich, dass die Basisvektoren von V bezüglich der Basis E angegeben sind? Also, sie sind es ja wohl, denn ich kann die problemlos als Linearkombination der Einheitsvektoren angeben, ist es das was ich auch bei meiner Geschichte da hätte machen müssen?
Das bedeutet, ich muss meine Abbildungsmatrix bezgl. B mit den Basisvektoren E bezüglich B füttern, also Linearkombinationen daraus erstellen, oder wie habe ich mir das vorzustellen?
Danke =)
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> So, frohes neues ;)
>
> Woher weiß ich, dass die Basisvektoren von V bezüglich
> der Basis E angegeben sind?
Hallo,
wenn nichts anderes dasteht, sind solche Angeben bzgl der Standardbasis.
> Also, sie sind es ja wohl, denn
> ich kann die problemlos als Linearkombination der
> Einheitsvektoren angeben, ist es das was ich auch bei
> meiner Geschichte da hätte machen müssen?
Ich weiß nicht, was Du meinst.
Sag, was Du willst und mach vor, was Du meinst.
Nur so ist garantiert, daß wir wirklich über dasselbe reden.
>
> Das bedeutet, ich muss meine Abbildungsmatrix bezgl. B mit
> den Basisvektoren E bezüglich B füttern,
Achso.
Es geht darum, daß Du aus [mm] _BM_B [/mm] die Matrix [mm] _EM_E [/mm] erstellen willst?
Ja, dann stellt am die Basisvektoren von E als Linearkombination der von B dar, multipliziert [mm] _BM_B [/mm] mit dem entsprechenden Koordinatenvektor, erhält als Ergebnis einen Koordinatenvektor bzgl B, welchen man dann wieder in Standardkoordinaten umwandelt.
Gruß v. Angela
also
> Linearkombinationen daraus erstellen, oder wie habe ich mir
> das vorzustellen?
>
> Danke =)
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