Basiswechsel von Endom. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mi 28.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo. So eben Klausur in La 2 geschrieben...
Hätte da mal eben bzgl. einer Frage, da ich mir nicht sicher bin, das ich sie so richtig gemacht hab. Um ehrlich zu sein, bin ich mir richtig unsicher.
Also: Geg. K ein Körper. Auf dem k-Vektorraum [mm] k^{2} [/mm] sei der Endormorphismus f bezüglich eiern Basis [mm] v_1,v-2 [/mm] geg. durch die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1}. [/mm] Was heißt das? Zeige, das [mm] v_1+2v_2,v_2 [/mm] eien weitere Basis ist, und berechne die MAtrix von F bzgl. dieser neuen Aufgabe.
So, bei der ersten Frage hab ich mal behauptet, das die Spalten der Matrix, gerade die Basisvektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind, denn:jede Matrix ist ja über den kanonischen Basen def. .Bilde ich nun die Vektoren [mm] v_1=(1,1)^{t},v_2=(1,-1)^{t} [/mm] ab, würde ich ja auf die oben genannte Basis kommen,oder!?Hm ist das so richitg.Bin mir mal richtig unsicher...
Dann hab ich [mm] v_1+2v_2 [/mm] als lin.Kombination der alten Basisverktoren geschrieben, die Koeffezienten bestimmt, und so die Transformationsmatrix von der alten, zur neuen Basis herrausbekommen. Das selbe habich mit der Basis [mm] v_2 [/mm] gemacht. Die Koeffizienten habich als Spalten aufgefasst, dann invertiert und die Matrix [mm] D:=T^{-1}AT [/mm] herrausbekommen. ich hoffe das stimmt was ichd a gemacht hab......
Viele Grüße Benno
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Benno!
> Also: Geg. K ein Körper. Auf dem k-Vektorraum [mm]k^{2}[/mm] sei
> der Endormorphismus f bezüglich eiern Basis [mm]v_1,v-2[/mm] geg.
> durch die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1}.[/mm] Was heißt das?
Das heißt:
[mm] $f(v_1) [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2$,
[/mm]
[mm] $f(v_2) [/mm] = [mm] v_1 [/mm] - [mm] v_2$.
[/mm]
> Zeige, das [mm]v_1+2v_2,v_2[/mm] eien weitere Basis ist,
Dies folgt unmittelbar aus dem Austauschlemma.
> und
> berechne die MAtrix von F bzgl. dieser neuen Aufgabe.
Es gilt:
[mm] $f(v_1 [/mm] + [mm] 2v_2) [/mm] = [mm] f(v_1) [/mm] + [mm] 2f(v_2) [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] + [mm] 2(v_1 [/mm] - [mm] v_2) [/mm] = [mm] 3v_1 [/mm] - [mm] v_2 [/mm] = [mm] 3(v_1+2v_2) [/mm] - [mm] 7v_2$
[/mm]
und
[mm] $f(v_2) [/mm] = [mm] v_1 [/mm] - [mm] v_2 [/mm] = 1 [mm] \cdot (v_1 [/mm] + [mm] 2v_2) [/mm] - [mm] 3v_2$.
[/mm]
Daher lautet die Matrixdarstellung bezüglich der neuen Basis
[mm] $\pmat{ 3 & 1 \\ -7 & -3}$.
[/mm]
Man kann es aber auch mit der Transformationsmatrix machen, klar, so wie du es wohl vorhattest.
Es gilt für die Transformationsmatrix
$B = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 2 & 1}$
[/mm]
und daher für die Matrixdarstellung bezüglich der neuen Koordinaten:
[mm] $\pmat{1 & 0 \\ 2 & 1}^{-1} \cdot \pmat{1 & 1 \\ 1 & -1} \cdot \pmat{1 & 0 \\ 2 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ -2 & 1} \cdot \pmat{1 & 1 \\ 1 & -1} \cdot \pmat{1 & 0 \\ 2 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ -7 & -3}$,
[/mm]
also das gleiche Ergebnis. 
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mi 28.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Danke Julius.
Ich hab deinen Rechenweg jetzt nicht ganz durchgelesen, aber ich hab die selbe Matrix raus wie du.Das reicht mir schon.
Viele Grüße Benno
|
|
|
|
