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| Aufgabe | Es sei [mm] $\mathbb{B} [/mm] = ( [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] )$ mit [mm] $v_1=\vektor{0\\1\\0\\0\\} [/mm] , [mm] v_2=\vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] , [mm] v_3=\vektor{0\\0\\0\\1}$ [/mm] und [mm] $v_4=\vektor{1\\0\\0\\0}$.
[/mm]
Finden Sie die Matrix des Basiswechsels von der Standardbasis von [mm] $K^{4\times 1}$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{B}$. [/mm] |
Also ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
Die Standardbasis von [mm] $K^{4\times 1}$ [/mm] ist ja:
[mm] $\mathbb{B}'=(b_1,b_2,b_3,b_4)$ [/mm] mit [mm] $b_1=\vektor{1\\0\\0\\0}, b_2=\vektor{0\\1\\0\\0} [/mm] , [mm] b_3=\vektor{0\\0\\1\\0},$ [/mm] und [mm] $b_4=\vektor{0\\0\\0\\1}$
[/mm]
Also ist die Matrix des Basiswechsels von [mm] $\mathbb{B}'$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] gesucht.
Das heißt, ich muss die Basisvektoren von [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren von [mm] $\mathbb{B}'$ [/mm] darstellen. und das sähe dann wie folgt aus:
[mm] $v_1=0*b_1+1*b_2+0*b_3+0*b_4$
[/mm]
[mm] $v_2=0*b_1+0*b_2+1*b_3+0*b_4$
[/mm]
[mm] $v_3=0*b_1+0*b_2+0*b_3+1*b_4$
[/mm]
[mm] $v_4=1*b_1+0*b_2+0*b_3+0*b_4$
[/mm]
Somit ergeben sich die Koordinatenvektoren:
[mm] $u_1=\vektor{0\\1\\0\\0} [/mm] , [mm] u_2=\vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] , [mm] u_3=\vektor{0\\0\\0\\1} ,u_4=\vektor{1\\0\\0\\0}$
[/mm]
Diese sind die Spalten der Basiswechselmatrix und somit ergibt sich die Matrix:
$P= [mm] \pmat{0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0}$
[/mm]
Stimmt das??
Vielen Dank
LG Dudi
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> Es sei [mm]\mathbb{B} = ( v_1, v_2, v_3, v_4 )[/mm] mit
> [mm]v_1=\vektor{0\\
1\\
0\\
0\\
} , v_2=\vektor{0\\
0\\
1\\
0} , v_3=\vektor{0\\
0\\
0\\
1}[/mm]
> und [mm]v_4=\vektor{1\\
0\\
0\\
0}[/mm].
> Finden Sie die Matrix des Basiswechsels von der
> Standardbasis von [mm]K^{4\times 1}[/mm] nach [mm]\mathbb{B}[/mm].
>
>
> Also ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
>
> Die Standardbasis von [mm]K^{4\times 1}[/mm] ist ja:
>
> [mm]\mathbb{B}'=(b_1,b_2,b_3,b_4)[/mm] mit [mm]b_1=\vektor{1\\
0\\
0\\
0}, b_2=\vektor{0\\
1\\
0\\
0} , b_3=\vektor{0\\
0\\
1\\
0},[/mm]
> und [mm]b_4=\vektor{0\\
0\\
0\\
1}[/mm]
>
> Also ist die Matrix des Basiswechsels von [mm]\mathbb{B}'[/mm] nach
> [mm]\mathbb{B}[/mm] gesucht.
Hallo,
ja.
> Das heißt, ich muss die Basisvektoren von [mm]\mathbb{B}[/mm] als
> Linearkombination der Basisvektoren von [mm]\mathbb{B}'[/mm]
> darstellen. und das sähe dann wie folgt aus:
Nein, genau andersrum:
Du mußt die Vektoren von B', also die [mm] b_i, [/mm] als Linerkombination der [mm] v_i [/mm] schreiben.
LG Angela
>
> [mm]v_1=0*b_1+1*b_2+0*b_3+0*b_4[/mm]
> [mm]v_2=0*b_1+0*b_2+1*b_3+0*b_4[/mm]
> [mm]v_3=0*b_1+0*b_2+0*b_3+1*b_4[/mm]
> [mm]v_4=1*b_1+0*b_2+0*b_3+0*b_4[/mm]
>
> Somit ergeben sich die Koordinatenvektoren:
>
> [mm]u_1=\vektor{0\\
1\\
0\\
0} , u_2=\vektor{0\\
0\\
1\\
0} , u_3=\vektor{0\\
0\\
0\\
1} ,u_4=\vektor{1\\
0\\
0\\
0}[/mm]
>
> Diese sind die Spalten der Basiswechselmatrix und somit
> ergibt sich die Matrix:
>
>
> [mm]P= \pmat{0&0&0&1\\
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0}[/mm]
>
> Stimmt das??
>
> Vielen Dank
>
> LG Dudi
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