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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Sa 08.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Betrachte folgende Basen des [mm] R^2: \beta [/mm] := [mm] {e_1, e_2} [/mm] kanonische Basis, [mm] \gamma [/mm] := {(1,3),(2,5)}
1.) Wie lautet die Matrix Q zum Basiswechsel von [mm] \gamma [/mm] nach [mm] \beta?
[/mm]
2.) Wie lautet die Matrix P zum Basiswechsel von [mm] \beta [/mm] nach [mm] \gamma?
[/mm]
3.) Gilt P^-1 = Q?
4.) Wie lautet die Matrixdarstellung von T(x,y) := (2y, 3x-y) bezüglich [mm] \gamma? [/mm] |
1. Q = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 5 }
[/mm]
Also eigentlich die Basisvektoren von [mm] \gamma [/mm] selbst!
2. P = [mm] \pmat{ -5 & 2\\ 3 & -1 }
[/mm]
Die Spalten von Q bzw P bekommt man ja, wenn man die Vektoren der einen Basis als LK der Vektoren der anderen Basis darstellt, soweit ich das richtig verstanden habe!
3. P^-1 = Q gilt auch, da P*Q = [mm] I_n, [/mm] also ist P invers zu Q, bzw Q invers zu P
4. Hier muss ich ja die Bilder der Basisvektoren aus [mm] \gamma [/mm] als LK der Basisvektoren darstellen, um die Abbildungsmatrix zu erhalten!
Mit Gaus-Algorithmus komme ich auf folgende Lösung:
[mm] [T]_\gamma [/mm] = [mm] \pmat{ 30 & -48 \\ 18 & 29 }
[/mm]
Nun müsste ja die Matrix [mm] [T]_\beta [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -2\\ 3 & 1}, [/mm] da [mm] \beta [/mm] ja die kanonische Basis ist.
Würde ich nicht auf auf [mm] [T]_\gamma [/mm] kommen, wenn ich Q * [mm] [T]_\beta [/mm] * P rechnen würde??
Bin mir unsicher, ob ich die Aufgabe richtig angegangen bin! ^^
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Sa 08.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Betrachte folgende Basen des [mm]R^2: \beta[/mm] := [mm]{e_1, e_2}[/mm]
> kanonische Basis, [mm]\gamma[/mm] := {(1,3),(2,5)}
>
> 1.) Wie lautet die Matrix Q zum Basiswechsel von [mm]\gamma[/mm]
> nach [mm]\beta?[/mm]
> 2.) Wie lautet die Matrix P zum Basiswechsel von [mm]\beta[/mm]
> nach [mm]\gamma?[/mm]
> 3.) Gilt P^-1 = Q?
> 4.) Wie lautet die Matrixdarstellung von T(x,y) := (2y,
> 3x-y) bezüglich [mm]\gamma?[/mm]
> 1. Q = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 5 }[/mm]
> Also eigentlich die
> Basisvektoren von [mm]\gamma[/mm] selbst!
Richtig.
>
> 2. P = [mm]\pmat{ -5 & 2\\ 3 & -1 }[/mm]
Stimmt auch.
>
> Die Spalten von Q bzw P bekommt man ja, wenn man die
> Vektoren der einen Basis als LK der Vektoren der anderen
> Basis darstellt, soweit ich das richtig verstanden habe!
>
> 3. P^-1 = Q gilt auch, da P*Q = [mm]I_n,[/mm] also ist P invers zu
> Q, bzw Q invers zu P
Das ist in der Tat immer so.
>
> 4. Hier muss ich ja die Bilder der Basisvektoren aus [mm]\gamma[/mm]
> als LK der Basisvektoren darstellen, um die
> Abbildungsmatrix zu erhalten!
>
> Mit Gaus-Algorithmus komme ich auf folgende Lösung:
>
> [mm][T]_\gamma[/mm] = [mm]\pmat{ 30 & -48 \\ 18 & 29 }[/mm]
>
Vorzeichenfehler : Statt 30 muss es -30 heißen.
> Nun müsste ja die Matrix [mm][T]_\beta[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -2\\ 3 & 1},[/mm]
Vorzeichenfehler. Richtig ist : [mm][T]_\beta[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 2\\ 3 & -1},[/mm]
> da [mm]\beta[/mm] ja die kanonische Basis ist.
> Würde ich nicht auf auf [mm][T]_\gamma[/mm] kommen, wenn ich Q *
> [mm][T]_\beta[/mm] * P rechnen würde??
Du erhälst [mm][T]_\gamma[/mm] = [mm] P*[T]_\beta*Q
[/mm]
>
> Bin mir unsicher, ob ich die Aufgabe richtig angegangen
> bin! ^^
>
> lg
Gruß Sax.
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