Basiswechselmatrix einer Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe folgende Frage:
Gegeben sei V ein 3-dim [mm]\IR[/mm] Vektorraum und B eine Basis von V.
Ferner sei f eine Bilinearform auf V, die durch die Matrix A (Gram-Matrix) mit
A:= [mm] M_B(f) [/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 4
\end{pmatrix}[/mm]
Dazu gesucht ist eine Orthogonalmatrix C von V, die Strukurmatrix [mm] M_C [/mm] (f) und die Basiswechselmatrix [mm] M_B^C(id_V).
[/mm]
Da f eine symmetrische Bilinearform ist, existiert eine Orthogonalmatrix C, so dass [mm] M_C(f) [/mm] = diag(a,b,c).
Das heisst also, A ist kongfruent zu diag(a,b,c) = [mm] P^T*A*P [/mm] mit P invertierbar.
Dazu habe ich zunächstgekoppelte Spalte- und Zeilenumformungen angewandt.
Dadurch erhielt ich: A ist kongruent zu diag(1,1,-1).
Für die MAtrix P erhielt ich:
P:= [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
In der Vorlesung haben wir gesagt, dass dann die Spalten von P gerade die Orthogonalbasisvektoren sind.
Somit habe ich auch meine Orthogonalbasis C gefunden.
Nur wie finde ich jetzt die Basiswechselmatrix?
Für eine lineare Abbildung ist klar, wie man eine Basiswechselmatrix bestimmt.
Wie macht man das denn bei der Bilinearform, da ich ja keine konkrete Basis gegeben hab.
Diese wird ja durch die Gram-Matrix A ausgedrückt, aber ich kenne die Abbildungsvorschrift von f gar nicht.
Also, was ist zu tun?
Schon einmal Danke für die Mühen!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:54 Di 03.08.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo Wurzelpi!
Die Aufgabe habe ich auch schon gemacht.
Also, es gibt einen Transformationssatz/-formel, die wie folgt lautet:
[mm] M_C(\phi)=(M^C_B(id_V))^t*M_B(\phi)*M^C_B(id_V). [/mm] (mit dem skipt müsste man die auch zusammenbauen können, oder sie steht vllt. auch irgendwo dort).
Damit ist [mm]P=M^C_B(id_V)[/mm].
Worauf du aber achten musst (meines erachtens):
Hier in der Aufgabe hast du als Basis [mm]B[/mm] des Vektorraums [mm]V[/mm] nicht die Standardbasis gegeben, sondern eine beliebige Basis.
Also sagen wir mal [mm]B=(v_1,v_2,v_3), C=(w_1,w_2,w_3)[/mm].
dann "berechnest" du die Orthogonalbasis:
[mm] w_j=\summe_{i=1}^{3}p_{ij}v_i
[/mm]
Also erhälst du als Orthogonalbasis [mm] C=(v_2, v_1-v_2,-v_1-v_2+v_3).
[/mm]
Ich hoffe, dass das so richtig und auch verständlich ist.
Gruß,
hanna.
PS: und noch viel Spaß ;) beim lernen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 03.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Hanna!
Dann sitzen wir also im selben Boot!
>
> Also, es gibt einen Transformationssatz/-formel, die wie
> folgt lautet:
> [mm]M_C(\phi)=(M^C_B(id_V))^t*M_B(\phi)*M^C_B(id_V).[/mm] (mit dem
> skipt müsste man die auch zusammenbauen können, oder sie
> steht vllt. auch irgendwo dort).
>
> Damit ist [mm]P=M^C_B(id_V)[/mm].
Also verstehe ich das jetzt hier richtig, dass mein berechnetes P die Basiswechselmatrix ist?
> Worauf du aber achten musst (meines erachtens):
> Hier in der Aufgabe hast du als Basis [mm]B[/mm] des Vektorraums [mm]V[/mm]
> nicht die Standardbasis gegeben, sondern eine beliebige
> Basis.
Für die Standardbasis kann ich also sagen, dass gerade die Spalten von P die Orthogonalbasis ist?
> Also sagen wir mal [mm]B=(v_1,v_2,v_3), C=(w_1,w_2,w_3)[/mm].
>
> dann "berechnest" du die Orthogonalbasis:
> [mm]w_j=\summe_{i=1}^{3}p_{ij}v_i
[/mm]
Das kommt mir bekannt vor!
> Also erhälst du als Orthogonalbasis [mm]C=(v_1, v_1-v_2,-v_1-v_2+v_3).
[/mm]
Kannst Du mir erklären, wie du jetzt daruf kommst?
Dem kann ich nicht ganz folgen.
Zudem kennen wir die Basis B gar nicht.
Wie komme ich denn da weiter?
>PS: und noch viel Spaß ;) beim lernen
Gleichfalls, und viel Glück bei der Klausur!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Di 03.08.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo!
> Dann sitzen wir also im selben Boot!
Ja, schön wenns vorbei ist!
> Also verstehe ich das jetzt hier richtig, dass mein
> berechnetes P die Basiswechselmatrix ist?
Ja, so verstehe ich es. Und in meiner Übung wurde es auch nicht als falsch angestrichen (ok, mein Hiwi hat ja selber keine Ahnung von LAII)
> Für die Standardbasis kann ich also sagen, dass gerade die
> Spalten von P die Orthogonalbasis ist?
Ja, setz doch mal in der summe für die [mm] v_i's [/mm] die standardbasis ein, dann erhälst du genau die spalten von P.
> > dann "berechnest" du die Orthogonalbasis:
> > [mm]w_j=\summe_{i=1}^{3}p_{ij}v_i
[/mm]
>
> Das kommt mir bekannt vor!
Ja, war bei mir auch so, nachdem ich es noch mal nachgelesen hatte. wie viel man vergisst!
> > Also erhälst du als Orthogonalbasis [mm]C=(v_2, v_1-v_2,-v_1-v_2+v_3).
[/mm]
>
>
> Kannst Du mir erklären, wie du jetzt daruf kommst?
also, summe benutzen: [mm] w_1=\summe_{i=1}^{3} p_{i1}v_i=v_2 <---\mathbf{ACHTUNG}: [/mm] Hier hatte ich mich verschrieben!!!, [mm] w_2=v_1-v_2, w_3=-v_1-v_2+v_3, [/mm] die Basis [mm]C=(w_1,w_2,w_3)[/mm] dann wie oben.
> Zudem kennen wir die Basis B gar nicht.
Eben, wir kennen die Basis B nicht, wir wissen aber, dass V die Dimension 3 hat und die Basis also so geschrieben werden kann: [mm]B=(v_1,v_2,v_3)[/mm]. Halt ganz allgemein.
> Wie komme ich denn da weiter?
Hm, ich denke, hier ist man fertig. Also meine Angaben sind natürlich alle ohne Gewähr, aber wie soll man bitte eine orth. Basis angeben, wenn man nur die Basiswechselmatrix ohne eine konkrete Basis B gegeben hat?
> Gleichfalls, und viel Glück bei der Klausur!
ebenso, glück kann man immer gebrauchen!
hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Di 03.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Hanna!
Ich habe eben noch einmal Rücksprache mit meinem Tutor genommen und ihn nach unserem Problem befragt.
Er hingegen sagt wiederrum, dass die Spalten von P doch die Orthogonalbasis ist, da die Basis eindeutig durch die Gram-Matrix dargestellt wird.
Somit beziehen sich unsere Berechnung immer auf diese Basis, woraus man dann wieder schliessen könne, dass die Spalten von P doch die Orthogonalbasis ist.
Sehr verwirrend!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Hanna!
> Hallo Wurzelpi!
>
> Die Aufgabe habe ich auch schon gemacht.
>
> Also, es gibt einen Transformationssatz/-formel, die wie
> folgt lautet:
> [mm]M_C(\phi)=(M^C_B(id_V))^t*M_B(\phi)*M^C_B(id_V).[/mm] (mit dem
> skipt müsste man die auch zusammenbauen können, oder sie
> steht vllt. auch irgendwo dort).
>
> Damit ist [mm]P=M^C_B(id_V)[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Worauf du aber achten musst (meines erachtens):
> Hier in der Aufgabe hast du als Basis [mm]B[/mm] des Vektorraums [mm]V[/mm]
> nicht die Standardbasis gegeben, sondern eine beliebige
> Basis.
> Also sagen wir mal [mm]B=(v_1,v_2,v_3), C=(w_1,w_2,w_3)[/mm].
>
> dann "berechnest" du die Orthogonalbasis:
> [mm]w_j=\summe_{i=1}^{3}p_{ij}v_i
[/mm]
>
> Also erhälst du als Orthogonalbasis [mm]C=(v_2, v_1-v_2,-v_1-v_2+v_3).
[/mm]
Das ist nicht nötig, denn:
Die Spalten von P sind Orthogonalbasis, unabhängig davon, ob B die Standardbasis ist oder eine beliebige Basis.
Denn:
Die Spalten von P sind lu und bilden somit
eine Basis. Weiter gilt aber auch noch das [mm] P^t [/mm] * A * P eine
Diagonalmatrix ist und somit sind die Spalten von P auch Ortogonal
bezüglich phi. (nach Satz der Vorleung:...ex. orthogonale Basis, so dass [mm] M_C(phi) [/mm] = diag(...))
Jetzt sollten wir endlich alles richtig haben!
Gruss,
Wurzelpi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Mi 04.08.2004 | | Autor: | hanna |
JUCHU!
alle klarheiten soweit beseitigt. 
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