Basketball-Freiwurf < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 So 28.05.2006 | | Autor: | ProBus |
| Aufgabe | Armin und Beat versuchen sich im Basketball-Freiwurf. Armin trifft jeweils mit der Wahrscheinlichkeit pA = 1/5 und Beat mit pB = 2/7 in den Korb. Die Zwei werfen abwechselnd, Armin beginnt.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den ersten vier Würfen (also jeder zwei Mal) der Korb genau ein Mal getroffen wird?
b) Bei den ersten vier Würfen ist der Korb genau ein Mal getroffen worden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kam der Treffer von Beat?
c) Die beiden werfen abwechselnd so lange, bis der erste in den Korb trifft. Der Werfer dieses Treffers wird zum Sieger erklärt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Armin zum Sieger erklärt wird? |
Puh, leider habe ich keine Ahnung mehr, wie ich diese Aufgaben lösen soll. Könnte mir jemand einen Link geben oder vielleicht gerade vorlösen?
Wäre echt lieb
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 22:22 So 28.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin fabio,
ich würde mir zunächst einen entscheidungsbaum aufzeichnen:
1. Stufe
(Armin wirft)
^
Treffer Fehlwurf
(1/5) (4/5)
2. Stufe
(Beat wirft)
^ ^
T F T F
(2/7) (5/7) (2/7) (5/7)
3. Stufe
(Armin wirft)
^ ^ ^ ^
T F T F T F T F
(1/5) (4/5) ...
4. Stufe
(Beat wirft)
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
T F T F T F T F T F T F T F T F
(2/7) (5/7) ...
Ich erhalte folgende n-Tupel (mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten)
TTTT [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{2}{7} [/mm] * [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{2}{7} [/mm]
TTTF [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{2}{7} [/mm] * [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{5}{7} [/mm]
TTFT [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{2}{7} [/mm] * [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{2}{7} [/mm]
TTFF [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{2}{7} [/mm] * [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{5}{7}
[/mm]
TFTT [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{5}{7} [/mm] * [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{2}{7}
[/mm]
TFTF [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{5}{7} [/mm] * [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{5}{7}
[/mm]
TFFT [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{5}{7} [/mm] * [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{2}{7}
[/mm]
TFFF [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{5}{7} [/mm] * [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{5}{7}
[/mm]
FTTT [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{2}{7} [/mm] * [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{2}{7}
[/mm]
FTTF [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{2}{7} [/mm] * [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{5}{7}
[/mm]
FTFT [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{2}{7} [/mm] * [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{2}{7}
[/mm]
FTFF [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{2}{7} [/mm] * [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{5}{7}
[/mm]
FFTT [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{5}{7} [/mm] * [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{2}{7}
[/mm]
FFTF [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{5}{7} [/mm] * [mm] \bruch{1}{5}* \bruch{5}{7}
[/mm]
FFFT [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{5}{7} [/mm] * [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{2}{7}
[/mm]
FFFF [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{5}{7} [/mm] * [mm] \bruch{4}{5}* \bruch{5}{7}
[/mm]
jetzt muss ich für a) nur noch die Wahrscheinlichkeiten derjenigen Tupelk zusammenzählen, die genau einmal "T" [und logischerweise 3*"F"] enthalten.
TFFF
FTFF
FFTF
FFFT
soweit...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 So 28.05.2006 | | Autor: | ProBus |
vielen Dank für deine Mühe.
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Hi, ProBus,
nicht leicht die Aufgabe!
a) Dafür, dass Armin einmal trifft, einmal nicht und Beat beide Male daneben haut, gibt's 2 Möglichkeiten; jede davon hat die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{5}*\bruch{4}{5}*(\bruch{5}{7})^{2}.
[/mm]
Für Beat gilt das Analoge mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{2}{7}*\bruch{5}{7}*(\bruch{4}{5})^{2}.
[/mm]
Gesamtwahrscheinlichkeit daher:
P("genau 1 Treffer bei 4 Würfen") = [mm] 2*\bruch{1}{5}*\bruch{4}{5}*(\bruch{5}{7})^{2} [/mm] + [mm] 2*\bruch{2}{7}*\bruch{5}{7}*(\bruch{4}{5})^{2} [/mm] = ... (Ausrechnen kannst Du's selbst!)
b) bedingte Wahrscheinlichkeit!
... = [mm] \bruch{2*\bruch{2}{7}*\bruch{5}{7}*(\bruch{4}{5})^{2}}{2*\bruch{1}{5}*\bruch{4}{5}*(\bruch{5}{7})^{2} + 2*\bruch{2}{7}*\bruch{5}{7}*(\bruch{4}{5})^{2}} [/mm] = ...
c) Geht wohl nur mit geometrischer Reihe, denn:
A wirft und trifft: Wahrsch. [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
A trifft erst bei SEINEM 2. Wurf: [mm] (\bruch{4}{5}*\bruch{5}{7})*\bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \bruch{4}{7}*\bruch{1}{5}
[/mm]
A trifft erst bei seinem 3. Wurf: [mm] (\bruch{4}{7})^{2}*\bruch{1}{5}
[/mm]
usw.
Und die Wahrscheinlichkeiten musst Du nun alle addieren, wobei es ja nicht auszuschließen ist, dass A und B "bis zum St.Nimmerleins-Tag" werfen, also: unendlich oft.
P("A trifft als erster") = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{4}{7})^{i}*\bruch{1}{5} [/mm] = ...
(Denk-, Rechen- und Tippfehler NICHT AUSGESCHLOSSEN!!!)
mfG!
Zwerglein
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