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| Aufgabe | Guten Abend, liebe Leute!
Ich hänge bei einer Aufgabe!
Seien $Y$ und $X$ bivariat normalverteilt mit Erwartungsvektor und Kovarianzmatrix .
Zu zeigen ist, dass der bedingte Erwartungswert $E(Y|X=x)$ eine lineare Funktion in [mm] $x_1$ [/mm] ist. |
Naja, da gibt es ja diese Formeln:
[mm] $E(Y|X=x)=\int f_{Y|X)}(y|x)y\, [/mm] dy$ und [mm] $f_{Y|X}=\frac{f_{Y,X}}{f_X}$.
[/mm]
Also habe ich mich zuerst daran gemacht die gemeinsame Dichte von $Y$ und $X$ zu bestimmen und zwar nach der Formel
[mm] $f_{Y,X}(y,x)=\frac{1}{2\pi\lvert C\rvert^{\frac{1}{2}}}\exp[-\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}Y\\X\end{pmatrix}-\mu)^TC^{-1}(\begin{pmatrix}Y\\X\end{pmatrix}-\mu)]$.
[/mm]
Als Resultat habe ich
[mm] $f_{Y,X}(y,x)=\frac{1}{2\pi\sqrt{\lvert C\rvert}}\exp(-\frac{1}{2\lvert C\rvert} (\sigma_X^2(y-\mu_Y)^2-2 [/mm] cov(X,Y) [mm] (x-\mu_X)(y-\mu_Y)+\sigma_Y^2 (x-\mu_X))$
[/mm]
erhalten, wobei [mm] $\lvert C\rvert=det(C)=\sigma_Y^2\sigma_X^2-cov(X,Y)^2$.
[/mm]
Nun habe ich dies dividiert durch [mm] $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_X}\exp(-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2})$.
[/mm]
Damit habe ich dann [mm] $f_{Y|X}$ [/mm] erhalten und zwar als
[mm] $f_{Y|X}(y|x)=\frac{\sigma_X}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\lvert C\rvert}}\exp(-\frac{1}{2\lvert C\rvert}(\sigma_X^2(y-\mu_Y)^2-2cov(X,Y) (x-\mu_X)(y-\mu_Y)+\sigma_Y^2 (x-\mu_X)^2) [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2})$
[/mm]
Meine Idee ist es, nun diese Dichte (es ist ja die Dichte von $Y|X=x$) in die Form einer Normalverteilung zu bringen, denn dann wüsste man, dass $Y|X=x$ normalverteilt ist und könnte $E(Y|X=x)$ einfach "ablesen"; im Idealfall ist dann der Erwartungswert eine lineare Funktion in $x$ und die Aufgabe wäre gelöst.
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Ich möchte also versuchen, mein obiges [mm] $f_{Y|X}$ [/mm] in die Form
[mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}b}\exp(-\frac{1}{2}\frac{(y-a)^2}{b^2})$
[/mm]
zu bringen.
Was das $b$ anlangt, so liegt es, denke ich, auf der Hand, es einfach durch umformen des ersten Faktors, also
[mm] $\frac{\sigma_X}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\lvert C\rvert}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sqrt{\lvert C\rvert}}{\sigma_X}}$,
[/mm]
als [mm] $b=\frac{\sqrt{\lvert C\rvert}}{\sigma_X}$ [/mm] zu erhalten; demnach (wenn die weitere Umformung hinhaut) hätte $Y|X=x$ die Varianz [mm] $\frac{\lvert C\rvert}{\sigma_X^2}$.
[/mm]
Ich bin leider zu blöd, nun $a$ zu bestimmen.
Sieht jemand, wie man auf das $a$ kommt und könnte es mir erklären?
Mit vielen Grüßen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Do 01.05.2014 | | Autor: | dennis2 |
Hallo,
bringe die bedingte Dichte auf die Form einer Dichte einer Normalverteilung (z.B. durch quadratische Ergänzung nach $y), dann kommt auch bei dir hoffentlich heraus, dass der Erwartungswert eine lin. Funktion in $x$ ist.
MfG
Dennis
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