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Forum "Uni-Analysis" - Bedarfsmatrix
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Bedarfsmatrix: Gauß-Algorithmus
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Sa 23.07.2005
Autor: Susanne1979

Hallo Leute habe folgende Aufgabe,  bei der Ich Probleme habe, bitte um einfache Erklärung und würde mich auch sehr über eine Lösung freuen.

Die Bedarfsmatrix:  [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1- & 1 \\ 1 & \alpha & 2 } [/mm] enthält  [mm] \alpha \in [/mm] R als Parameter.
Für welchen Parameterwert(e) ist die Frage nach dem Erzeugnisvektor  [mm] \overrightarrow{E} [/mm] in der Gleichung [mm] P*\overrightarrow{E} [/mm] =  [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 0} [/mm] eindeutig lösbar ?

Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus und geben Sie die Lösung explizit an !


Also Ich wende den Gauß-Algorithmus an und bekomme dann

1   -1   2     0

0   -1   3     -3

0   [mm] \alpha+1 [/mm]  0    0  

als Ergebnis  eindeutig lösbar ist es doch nun wenn   [mm] \alpha [/mm] = 1   ist oder???

Was Ich gar nicht verstehe geben Sie die Lösung explizit an was muss Ich da rechnen köönte das jemand Bitte ausführlich erläutern.

Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
        
Bezug
Bedarfsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Sa 23.07.2005
Autor: Stefan

Hallo Susanne!

> Die Bedarfsmatrix:  [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1- & 1 \\ 1 & \alpha & 2 }[/mm]

Ich nehme mal an, dass es

[mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1& 1 \\ 1 & \alpha & 2 }[/mm]

heißen muss...

> enthält  [mm]\alpha \in[/mm] R als Parameter.
>  Für welchen Parameterwert(e) ist die Frage nach dem
> Erzeugnisvektor  [mm]\overrightarrow{E}[/mm] in der Gleichung
> [mm]P*\overrightarrow{E}[/mm] =  [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 0}[/mm] eindeutig
> lösbar ?
>  
> Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus und geben Sie die Lösung
> explizit an !
>  
>
> Also Ich wende den Gauß-Algorithmus an und bekomme dann
>  
> 1   -1   2     0
>  
> 0   -1   3     -3
>  
> 0   [mm]\alpha+1[/mm]  0    0  

[ok]

> als Ergebnis  eindeutig lösbar ist es doch nun wenn  
> [mm]\alpha[/mm] = 1   ist oder???

Nein. Das Ergebnis ist genau dann eindeutig, wenn der Rang der erweiterten Matrix maximal und zugleich dem Rang der Ausgangsmatrix ist. Der Rang der Ausgangsmatrix ist aber genau dann maximal, wenn die letzte Zeile keine Nullzeile ist. Daher ist das Ergebnis genau dann eindeutig, wenn [mm] $\alpha \ne [/mm] -1$ gilt.
  
> Was Ich gar nicht verstehe geben Sie die Lösung explizit an
> was muss Ich da rechnen köönte das jemand Bitte ausführlich
> erläutern.

Du musst jetzt nur noch auflösen. Aus der letzten Zeile der Matrix erhältst du ja:

$0 [mm] \cdot x_1 [/mm] + (a+1) [mm] \cdot x_2 [/mm] + 0 [mm] \cdot x_3 [/mm] = 0$,

also:

$(a+1) [mm] \cdot x_2 [/mm] = 0$.

Wegen $a [mm] \ne [/mm] -1$ folgt daraus: [mm] $x_2=0$. [/mm]

Aus der zweiten Zeile der Matrix erhalten wir:

[mm] $0\cdot x_1 [/mm]   +(-1) [mm] \cdot x_2 +3x_3 [/mm] = -3$,

also (wir setzen [mm] $x_2=0$ [/mm] ein):

[mm] $3x_3=-3$ [/mm]

und somit

[mm] $x_3=-1$. [/mm]

Aus der ersten Zeile der Matrix folgt:

$1 [mm] \cdot x_1 [/mm] + (-1) [mm] \cdot x_2 [/mm] + 2 [mm] \cdot x_3 [/mm] = 0$,

also nach Einsetzen von [mm] $x_2=0$ [/mm] und [mm] $x_3=-1$: [/mm]

[mm] $x_1 [/mm] - 2=0$

und somit: [mm] $x_1=2$. [/mm]

Wir erhalten also als eindeutige Lösung:

$x = [mm] \pmat{2 \\ 0 \\ -1}$. [/mm]


Probe:

[mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1& 1 \\ 1 & \alpha & 2 } \cdot \pmat{2 \\ 0 \\ -1} = \pmat{0 \\ 3 \\ 0}[/mm]. [ok]

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Bedarfsmatrix: Rang der Matrix
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 23:06 Sa 23.07.2005
Autor: Susanne1979

Danke Stefan für deine schnelle Antwort, könntest du mir das mit der rang der Matrix erklären habe das nämlich nicht verstanden.

Habe noch eine weitere Aufgabe soll ich die auch hier reinstellen oder eine neue Aufgabe stellen.

Danke
Bezug
                        
Bezug
Bedarfsmatrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:35 Di 26.07.2005
Autor: matux

Hallo Susanne!


Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .


Für eine neue Aufgabe kannst Du ruhig auch einen neuen Fragestrang eröffnen.


Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

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