Bedeutung von "closure" < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:59 Mo 06.08.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo!
Folgendes Problem:
Seien X,Y Banachräume und [mm]G:X\to{Y}[/mm] eine Abbildung.
Weiter sei [mm]Z=\textrm{cl}(\textrm{Im} \ G'(z))[/mm] "the closure of the Image of G' (1. Ableitung) evaluated in z" - also: Der Abschluss (?) des Bildes der 1. Ableitung G' ausgewertet in z.
Angenommen es ist [mm]G:\IR^2\to\IR[/mm] mit [mm]G(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2[/mm] und [mm]z=(z_1,z_2)=(0,0)[/mm].
Dann ist [mm]G'(z)=\vektor{0 \\
0}[/mm] und [mm]\textrm{Im} \ G'(z)=\left \{ \vektor{0\\
0} \right \}[/mm]. Was ist denn dann [mm]\textrm{cl}(\textrm{Im} \ G'(z))[/mm]?
Ich verstehe das "closure" in diesem Zusammenhang nicht. Im vorliegenden Text heißt es dann weiter
[mm]W=\textrm{cl}(\textrm{span} \ \textrm{Im} (...))[/mm]. (...) dient nur als Platzhalter - dort steht eine andere Abbildung als G.
In der englischen wikipedia steht dazu:
"In linear algebra, the linear span of a set X of vectors is the closure of that set; it is the smallest subset of the vector space that includes X and is closed under the operation of linear combination. This subset is a subspace."
Das verwirrt mich noch mehr - wenn der linear span doch dem closure entspricht, dann ist cl(span Im ...) doch doppelt gemoppelt?!
Ich hoffe, es ist ersichtlich, was ich meine und es kann jemand Licht ins Dunkel bringen (vielleicht mit einem Beispiel - das wäre perfekt). ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") DANKE.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Mo 06.08.2012 | | Autor: | hippias |
$G'(z)$ ist eine lineare Abbildung und es wird vermutlich der topologische Abschluss ihres Bildraumes gemeint sein. In deinem Beispiel ist der Bildraum einelementig (enthaelt nur die Nullabbildung), sodass die Menge gleich ihrem Abschluss ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo!
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> Folgendes Problem:
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> Seien X,Y Banachräume und [mm]G:X\to{Y}[/mm] eine Abbildung.
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> Weiter sei [mm]Z=\textrm{cl}(\textrm{Im} \ G'(z))[/mm] "the closure
> of the Image of G' (1. Ableitung) evaluated in z" - also:
> Der Abschluss (?) des Bildes der 1. Ableitung G'
> ausgewertet in z.
Ich kann nur bestätigen, was Hippias geschrieben hat. Ist z [mm] \in [/mm] X und G in z differenzierbar, so ist G'(z) eine stetige lineare Abbildung G'(z):X [mm] \to [/mm] Y.
Im G'(z) Ist also der Bildraum G'(z)(X) = [mm] \{G'(z)(x): x \in X \}.
[/mm]
Damit ist obiges Z die abgeschlossene Hülle von G'(z)(X). Z ist damit ein abgeschlossener Unterraum von Y.
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> Angenommen es ist [mm]G:\IR^2\to\IR[/mm] mit [mm]G(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2[/mm]
> und [mm]z=(z_1,z_2)=(0,0)[/mm].
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> Dann ist [mm]G'(z)=\vektor{0 \\
0}[/mm] und [mm]\textrm{Im} \ G'(z)=\left \{ \vektor{0\\
0} \right \}[/mm].
> Was ist denn dann [mm]\textrm{cl}(\textrm{Im} \ G'(z))[/mm]?
In deinem Beispiel ist G'(z) die Nullabbildung [mm] (\IR^2 \to \IR)
[/mm]
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> Ich verstehe das "closure" in diesem Zusammenhang nicht. Im
> vorliegenden Text heißt es dann weiter
>
> [mm]W=\textrm{cl}(\textrm{span} \ \textrm{Im} (...))[/mm]. (...)
> dient nur als Platzhalter - dort steht eine andere
> Abbildung als G.
Scheib das mal ganz genau auf.
>
> In der englischen wikipedia steht dazu:
>
> "In linear algebra, the linear span of a set X of vectors
> is the closure of that set; it is the smallest subset of
> the vector space that includes X and is closed under the
> operation of linear combination. This subset is a
> subspace."
Oh Gott ! Wiki ist nicht die Bibel ! Da oben ist von der linearen Hülle von X die Rede. Ich halte es für ein Verbrechen, diese mit "closure" zu bezeichnen. Zu rechtfertigen ist das eigentlich nur, wenn man an "algebraischen Abschluß" denkt. Üblich ist das aber nicht.
"closure" ist reserviert für die (topologisch) abgeschlossene Hülle einer Teilmenge eines top. Raumes.
FRED
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> Das verwirrt mich noch mehr - wenn der linear span doch dem
> closure entspricht, dann ist cl(span Im ...) doch doppelt
> gemoppelt?!
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> Ich hoffe, es ist ersichtlich, was ich meine und es kann
> jemand Licht ins Dunkel bringen (vielleicht mit einem
> Beispiel - das wäre perfekt). DANKE.
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> Gruß
> barsch
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