Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 So 18.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Hallo,
ich hab mal ne Frage:
Das Blut eines Patienten soll auf Antikörper des Typs [mm] \alpha [/mm] untersucht werden. Zu diesem Zweck entnimmt der Arzt eine Blutprobe und teilt sie in drei gleichgroße Teile und schickt diese an drei Labors. Die Testqualität der Labors ist gleich gut. Jedes Labor erhält bei Vorliegen von Antikörpern des Typs [mm] \alpha [/mm] den Befund "positiv" mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%. Sind keine Antikörper vorhanden, so ergibt sich in jedem Labor das Ergebnis "negativ" mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%.
Nach einer Woche liegen die Analysen beim Arzt vor. Das Ergebnis lautet: Zwei Befunde positiv und ein Befund negativ. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Blut des Patienten Antikörper des Typs [mm] \alpha [/mm] enthalten sind, wenn man davon ausgeht, dass allgemein 20% aller Personen solche Antikörper besitzen.
Die Labors arbeiten unabhängig voneinander.
Bevor ich jetzt mein Weg erkläre und alles aufdrösele, mein Ergebnis:
Knappe 6%.
Wenn das stimmt ist es ja gut.
Wenn nicht, ja dann, suchen wir meinen Fehler.
Viele Grüße
Salomon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 So 18.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Also ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, dass niemand sonst diese Aufgabe lösen kann...oder habe ich die insoluble Aufgabe of Darkness gestellt?
Bitte, so redet doch mit mir.
=)
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Hi, Salomon,
rein logisch gesehen ist Deine Wahrscheinlichkeit von 6% doch sicher zu wenig! Immerhin haben 2 der 3 Labors,die doch insgesamt recht zuverlässig arbeiten, den Antikörper gefunden!
Und: Wenn nur 1 Labor auf diesen Antikörper postiv getestet hätte, würde man mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0,529 schließen, dass er wirklich vorhanden ist!
Sooo viel schlechter kann das Ergebnis doch hier auch nicht sein!
(Nach meinen Überlegungen müsste sowas um 36% rauskommen!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 So 18.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Hi...klar, 6% ist Schrott!
Also, auf geht's zur Fehlersuche:
Ich bezeichne im Folgenden
A := " Person hat Antikörper Typ [mm] \alpha [/mm] "
B := " positiv getestet"
Für die beiden Labors, die die Analyse für postitiv befunden haben gilt:
P(A|B) = P(A)*P(B|A)/(P(A)*P(B|A) + [mm] P(A^{c})*P(B|A^{c})
[/mm]
= 0,2*0,9/(0,2*0,9 + 0,8*0,2)
= 0,5294117.....
[mm] \approx [/mm] 0,53 := [mm] P(L_{1,2})
[/mm]
So, der Fehler muss also beim Auswerten des dritten Labors liegen .
Wenn ich genauso wie oben mit der Bayes-Formel vorgehe, komme ich aber auf kein vernünftiges Ergebnis?
Und: Am Ende (aufgrund der Unabhängigkeit) kann ich ja rechnen
P(Gesamt) = [mm] P(L_{1,2} \cap L_{3}) [/mm] = [mm] P(L_{1,2}) [/mm] * [mm] P(L_{3})
[/mm]
Oder?
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Hi, Salomon,
> A := " Person hat Antikörper Typ [mm]\alpha[/mm] "
> B := " positiv getestet"
>
> Für die beiden Labors, die die Analyse für postitiv
> befunden haben gilt:
> P(A|B) = P(A)*P(B|A)/(P(A)*P(B|A) + [mm]P(A^{c})*P(B|A^{c})[/mm]
> = 0,2*0,9/(0,2*0,9 + 0,8*0,2)
> = 0,5294117.....
> [mm]\approx[/mm] 0,53 := [mm]P(L_{1,2})[/mm]
Das hab' ich auch raus!
> So, der Fehler muss also beim Auswerten des dritten Labors liegen .
> Wenn ich genauso wie oben mit der Bayes-Formel vorgehe,
> komme ich aber auf kein vernünftiges Ergebnis?
Also: Ich hab's mit Baumdiagramm gemacht und bin bei Labor 3 auf
[mm] P(\overline{B}|A)= [/mm] 0,03 gekommen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 18.11.2007 | | Autor: | Salomon |
So. Auf 0,03 komm ich auch. Hab' immer ne falsche Zahl in den Taschenrechner eingeben!
ABER: Wie kommst du auf die Gesamtwahrscheinlichkeit?
Du sagtest ungefähr 36%!
Gruß Salomon
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Hi, Salomon,
> So. Auf 0,03 komm ich auch. Hab' immer ne falsche Zahl in
> den Taschenrechner eingeben!
>
> ABER: Wie kommst du auf die Gesamtwahrscheinlichkeit?
>
> Du sagtest ungefähr 36%!
Tja: Da liegt jetzt der Hase im Pfeffer!
Vielleicht ist das zu naiv, aber ich hab' einfach gerechnet:
P(A) = (2*0,53 + 0,03) : 3 = 0,36(3)
Bin mir aber wirklich nicht sicher!
mfG!
Zwerglein
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