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Hallo,
leider kann ich für meine Frage gar kein richtiges Beispiel nennen, da ich bisher selbst zu wenig darüber weiß.
Im Abitur heißt es in den Vorgaben "bedingte Wahrscheinlichkeiten". Darunter hab ich bisher eigentlich nur verstanden, für eine Aufgabe zu berechnen ob Ereignisse abhängig oder unabhängig sind. Das hab ich so gemacht:
1) P(A [mm] \cap [/mm] B) (im Kopf berechnet) ist unabhängig, wenn = P(A)*P(B) gilt. Andernfalls sind die Ergeinisse abhängig. Ginge natürlich auch mit Ablesen der 4-Felder-Tabelle.
Aber jetzt habe ich noch etwas von "und" und "oder"-Ereignissen gehört, wovon ich noch NIE gehört habe und gar nicht weiß, was mir das sagen soll.
Das erste Mal, wovon ich davon bei der Wiederholung etwas gelesen hab war hier:
Bei der Produktion der Überraschungseier treten nur die folgenden beiden Fehler auf:
F1: falsches Gewicht der Schokoladenhülle
F2: fehlerhafte Verpackung
F1 und F2 treten unabhängig voneinander auf. Ein Ei ist einwandfrei, wenn es keinen der beiden Fehler aufweist, was erfahrungsgemäß bei 90% der Eeier der Fall ist. Erfahrungsgemäß haben 7,5% der Schokoladenhüllen ein falsches Gewicht.
Veranschaulichen Sie die Zusammenhänge mit einem Baumdiagramm und bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit mit der Fehler F2 auftritt.
Das hab ich dann so berechnet:
P (Gegenereignis F1 [mm] \cap [/mm] Gegenereignis F2) = 0,9
P (Gegenereignis F1 [mm] \cap [/mm] Gegenereignis F2) = P(Gegenereignis F1) *P(Gegenereignis F2)
0,9 = 0,925 * P(Gegenereignis F2)
P(Gegenereignis F2) = 2,7 %
Das scheint mir ein und- Ergeignis zu sein, aber weshalb? Ist das evtl einfach die "normale" bedingte Wahrscheinlichtkeit und das "oder"- Ereignis ist nur eine fiese Erweiterung?
Evtl. hab ich hier ein Bsp. für ein oder-Ereignis (wobei ich da nur an [mm] \cup [/mm] und [mm] \cap [/mm] ablese, ob dem so ist, wegen dem lateinischen vel und aut).
Die Autofirma Baas plant für den Autotyp Arrive eine neue Modellreihe anzufertigen. Baas bietet neben dem Basismodell B die Ausstattungspakete Elegance E, Sport SP und Nutz Winter NW an.
E und Sp können nicht gleichzeitig bestellt werden.
Um die Produktions- und Preisgestaltung zu optimieren, beauftragt Baas das Meinungsforschungsinstitut T., potentielle Kunden zu befragen.
Die Wahl der Ausstattungsprodukte ist voneinander unabhängig. Kein Kunde wählt E, nur B mit 45%, NW mit 15%. Berechnen Sie den Anteil, der SP bestellt.
Da hab ich als Ansatz:
P(B)= P(Gegenereignis NW [mm] \cap [/mm] Gegenereignis SP) = P (Gegenereignis NW)* P(Gegenereignis SP).
Aber ich verstehe einfach nicht warum es sich hier um ein oder- Ereignis handeln sollte und bei dem anderen um ein und-Ereignis (die Zeichen sagen mir das). Und was ist bei der Rechnung anders?
Hilfe :(
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> Bei der Produktion der Überraschungseier treten nur die
> folgenden beiden Fehler auf:
> F1: falsches Gewicht der Schokoladenhülle
> F2: fehlerhafte Verpackung
>
> F1 und F2 treten unabhängig voneinander auf. Ein Ei ist
> einwandfrei, wenn es keinen der beiden Fehler aufweist, was
> erfahrungsgemäß bei 90% der Eeier der Fall ist.
> Erfahrungsgemäß haben 7,5% der Schokoladenhüllen ein
> falsches Gewicht.
> Veranschaulichen Sie die Zusammenhänge mit einem
> Baumdiagramm und bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit mit
> der Fehler F2 auftritt.
Also, unabhängig bedeutet gleichzeitig, dass du grünes Licht für den Multiplikationssatz hast (Multiplikationssatz ist also ausschließlich bei unabhängigen Ereignissen zu verwenden ).
Ich kenne hier zwar nicht die Baumdiagrammfunktion im Forum, falls es sie überhaupt gibt, aber das ist bei bedingter Wahrscheinlichkeit generell das, was du immer machen solltest, um dir eine Übersicht zu verschaffen.
So weit so gut!
Dein Baumdiagramm besteht aus zwei Ästen:
- Falsches Gewicht
- Falsche Verpackung
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht falsch ist, ist 0,075!
Die Wahrscheinlichkeit, dass es eine falsche Verpackung hat, wissen wir nicht...
Erfahrungsgemäß sind ja 0,9 Eier einwandfrei, d.h. 0,1 enthalten die oben genannten Fehler!
So jetzt die Werte in die Formel für den Multiplikationssatz einsetzen:
[mm] P(A\capB)=P(A)*P(B)
[/mm]
eingesetzt bekommst du:
0,1=0,075*x
x= [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
und das ist auch die Wahrscheinlichkeit für den Fehler F2!
Verständlich?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Sa 12.04.2008 | | Autor: | hotsauce |
kann die "Edit-Funktion" hier nicht finden, deshalb die kleine Mitteilung... ist nur ein formaler Fehler
beim Multiplikationssatz:
P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)*P(B)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
ja, schon ein bisschen besser!
Aber was sind jetzt diese 2. "Erweiterungen" mit den "und" und "oder" Ereignissen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Blech |
[mm] $\cap$ [/mm] entspricht einem logischen "und" für Mengen, [mm] $\cup$ [/mm] einem "oder".
Ein Element a ist in [mm] $A\cap [/mm] B$, wenn a in A *und* B ist.
a ist in [mm] $A\cup [/mm] B$, wenn a in A *oder* B ist (logisches oder, d.h. "und/oder" nicht "entweder...oder").
[mm] $F_1$ [/mm] ist die Menge aller Überraschungseier, die ein falsches Gewicht haben, [mm] $F_2$ [/mm] die Menge aller Überraschungseier, die eine fehlerhafte Verpackung haben.
Damit ist [mm] $F_1^c \cap F_2^c$ [/mm] die Menge aller Überraschungseier, die weder den einen noch den anderen Fehler aufweisen ("nicht falsches Gewicht" *und* "nicht fehlerhafte Verpackung) und [mm] $P(F_1^c \cap F_2^c)$ [/mm] die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufälliges Ei aus dieser Menge ist.
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Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist eigentlich:
[mm] $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ [/mm] (sofern das Sinn ergibt, d.h. wenn $P(B)>0$)
$P(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, daß A Eintritt unter der Bedingung, daß wir wissen, daß B eingetreten ist.
Umgeformt:
[mm] $P(A|B)P(B)=P(A\cap [/mm] B)=P(B|A)P(A)$
D.h. die Wahrscheinlichkeit, daß A und B eintreten [mm] ($P(A\cap [/mm] B)$), ist die Wahrscheinlichkeit, daß B eintritt ($P(B)$), mal der Wahrscheinlichkeit, daß A eintritt unter der Bedingung, daß B eingetreten ist ($P(A|B)$).
Sind die beiden Ereignisse unabhängig, dann ändert die Tatsache, daß B eingetreten ist, nichts an der Wahrscheinlichkeit, daß A eintritt, d.h.
$P(A|B)=P(A)\ [mm] \Leftrightarrow\ P(A\cap [/mm] B)=P(A)P(B)$.
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Was ein und- oder ein oder-Ereignis sein soll, weiß ich auch nicht. Da war jemand im KuMist wahrscheinlich wieder kreativ in der Benennung von Zeugs im Namen der progressiven Pädagogik. Wieso können sie nicht die Bezeichnungen wählen, die der Rest der Welt auch verwendet?
ciao
Stefan
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Das mit dem und und oder steht sogar in einem Klett Buch von mir, das ich zur Vorbereitung nutze und das eigentlich sehr gut ist. Aber ich werde das oder- Ereignis einfach ignorieren, ich glaube, das geht wirklich zu weit.
Hier wird dazu nämlich etwas gesagt von wegen dass man einen speziellen Additionssatz oder den allgemeinen Additionssatz benutzen müsste bei solchen Wahrscheinlichkeiten. Aber ich denke, dass das doch sehr weit geht und ich mich dann getrost mit dem begnügen kann, was mir gerade erklärt wurde, oder?
Im letzten Abi kam dazu nichts dran, es war nur eine Aufgabe aus einem Übungsbuch zum Abitur und wie ich sehe, handelt es sich hier um diese "und" - Ereignisse, weil ja beide Ereignisse zusammengenommen und gemeinsam betrachtet werden müssen?
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Da bleibt eigentlich nur noch die Frage, welche Formel ich mir da am besten merken sollte, damit ich in der Klausur damit arbeiten kann (hier wurden ja gerade - viel Dank an der Stelle nochmal - viele Formeln genannt).
In meiner Formelsammlung steht (A [mm] \cap [/mm] B)= P(A)*P(B). Aber es gibt ja noch diese Schreibweise mit P und das A in der Fußnote und das B dann in Klammern, also dass P von B unter der Bedingung dass A eingetreten ist berechnet wird, richtig? Ist das auch die Schreibweise die hier gerade benutzt worden ist mit A | B?
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naja, die Formel die du genannt hast, nennt sich Multiplikationssatz, da du da ja die unabhängigen Wahrscheinlichkeiten A und B multiplizierst.
Die Formel mit der Fußnote, die du ja meinst, ist die eigentliche Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
[mm] P_{A}(B)=\bruch{(A \cap B) }{P (A)}
[/mm]
Falls du nochmal ein anderes Beispiel zum Multiplikations-Additionssatz oder der bedingten Wahrscheinlichkeit brauchst, sag bescheid!
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Also was ich meine ist halt ob ich dir ganzen versch. Formeln brauche. In den Vorgaben steht "bedingte Wahrscheinlichkeiten", mehr nicht. Diese "und"Ereignisse scheinen mir die ganz üblichen bedingten Wahrscheinlichkeiten zu sein wie "zeige, dass dieses ereignis UND das andere ereignis zusammen eintritt". Dann würd ich mir spontan einen Baum malen und dann über den Weg gehen, wo ich die Wahrscheinlichkeiten für hab und nachher die Formel P(A und B)= P(A)*P(B) rechnen oder eben die Gegenereignisse, je nachdem, was ich habe.
Ich bin da grad ein wenig verwirrt, weil esda eben so vieles anderes geben mag, aber a) bin ich unsicher, ob ich das brauche und ob ich b) eine Formel da eben mehr brauche als die anderen 10 *grins*
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naja doch!
du hast zwar recht mit dem baumdiagramm, dass du den pfaden entlang gehen kannst usw... aber angenommen ich frage dich mal:
wie groß ist die wahrscheinlichkeit in beiden Lotterien gleichzeitig zu gewinnen, wenn für Lotterie A gilt: P=0,45 und für Lotterie B: [mm] P=\bruch{19}{30}.... [/mm] dann kannst du den multiplikationssatz anwenden, bzw. die den ästen auf dem baumdiagramm folgen...
wenn ich nun frage wie groß die wahrscheinlichkeit ist, überhaupt was zu gewinnen, brauchst du schon den Additionssatz... dementsprechend ist es schon sinnvoll die formeln zu kennen 
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Huch, und wie würde ich das machen? Ich kenn diesen Additionssatz nicht.
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du addierst erst einmal die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, das Ergebniss subtrahierst du dann von dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Ereignisse A und B)...
also P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B)
... ich könnte mir unter anderem vorstellen, vor allem, da du mathe-gk bist, dass solch ähnliche aufgaben auf dich zukommen werden im abi ;)
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