Bedingte Wkeiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | Es sei [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) ein Wkeitsraum und A,B,C [mm] \in \mathcal{A} [/mm] Ereignisse mit B [mm] \subset [/mm] A [mm] \cup [/mm] C und P(B [mm] \cap [/mm] C) > 0. Zeigen Sie, dass dann gilt:
P(A|B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \le [/mm] P(A|B). |
Hello,
bei dieser Aufgabe weiss ich net genau, wie ich das zeigen soll. Es handelt sich ja um bedingte Wkeiten, also:
P(A|B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \le [/mm] P(A|B) [mm] \gdw \bruch{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)} \le \bruch{P(A\cap B)}{P(B)} \gdw P(A\cap B\cap C)\cdot [/mm] P(B) [mm] \le P(B\cap C)\cdotP(A\cap [/mm] B)
Nun weiss ich nicht mehr weiter, weil ich auch nicht genau weiss, wie ich die Info B $ [mm] \subset [/mm] $ A $ [mm] \cup [/mm] $ C in der Aufgabe verwursten soll :/
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
zeichne es Dir auf. An einem Venn Diagramm siehst Du, wieso die Ungleichung gilt, und das macht den Beweis viel einfacher.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Hanz |
Ich habe das jetzt gemacht.
Den Ausdruck $ [mm] P(A\cap B\cap C)\cdot [/mm] $ P(B) $ [mm] \le P(B\cap C)\cdotP(A\cap [/mm] $ B) kann ich doch quasi schreiben als $ [mm] P(A\cap B\cap C)\cap [/mm] $ P(B) $ [mm] \le P(B\cap [/mm] C) [mm] \cap P(A\cap [/mm] B)$
Wenn ich dann im Diagramm betrachten, sind beide Seiten doch gerade der Schnitt zwischen A,B und C, oder ?
Dennoch ist mir noch nicht klar, wie ich es dann mathematisch angehen muss :<
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Den Ausdruck [mm]P(A\cap B\cap C)\cdot[/mm] P(B) [mm]\le P(B\cap C)\cdotP(A\cap[/mm]
> B) kann ich doch quasi schreiben als [mm]P(A\cap B\cap C)\cap[/mm]
> P(B) [mm]\le P(B\cap C) \cap P(A\cap B)[/mm]
was soll [mm] $\frac12 \cap \frac34$ [/mm] sein? Denn genau das machst Du da. Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen, die kann man nicht schneiden.
[mm] $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A\cap B\cap C)+P(A\cap B\cap C^c)}{P(B\cap C)+P(B\cap C^c)}\geq \frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)}=P(A|B\cap [/mm] C)$
das [mm] $\geq$ [/mm] gilt, weil [mm] $P(A\cap B\cap C^c)=P(B\cap C^c)$ [/mm] (wieso gelten die beiden?)
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Di 25.05.2010 | | Autor: | Hanz |
Irgendwie werde ich daraus immernoch net ganz schlau, wie man auch auf diese Beziehungen kommt...
> das [mm]\geq[/mm] gilt, weil [mm]P(A\cap B\cap C^c)=P(B\cap C^c)[/mm] (wieso
> gelten die beiden?)
Dazu habe ich mal Diagramme erstellt und irgendwie ist mir die Gleichheit schleierhaft :d
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Di 25.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
>
> > das [mm]\geq[/mm] gilt, weil [mm]P(A\cap B\cap C^c)=P(B\cap C^c)[/mm] (wieso
> > gelten die beiden?)
>
> Dazu habe ich mal Diagramme erstellt und irgendwie ist mir
> die Gleichheit schleierhaft :d
dann ist Dein Diagramm falsch. [mm] $B\subseteq A\cup [/mm] C$. Alles von B, das in nicht-C liegt, muß auch in A sein.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Di 25.05.2010 | | Autor: | Hanz |
Könntest du mir dann sagen, was ich da falsch gemacht habe?
(Ich habe es ja im Post oben auch mit hochgeladen)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Di 25.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
nochmal:
$ [mm] B\subseteq A\cup [/mm] C $
Dein B liegt offensichtlich nicht in der Vereinigung von A und C.
Ich weiß nicht, wie ich es deutlicher sagen soll.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Hanz |
Ok, danke habe es endlich verstanden.
Hatten einfach einen saudummen Denkfehler :<
|
|
|
|
