Bedingter Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Sei X eine diskret verteilte Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P}) [/mm] mit existierendem Erwartungswert. Zeigen Sie:
b) Ist C [mm] \subset \Omega [/mm] mit P(C)>0 und sind X und [mm] I_{c} [/mm] unabhängig, so gilt:
E(X|C) = E(X). |
Hierzu habe ich mir folgendes überlegt:
E(X|C) = [mm] \bruch{1}{P(C)} E(XI_{c}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{P(C)} P({X=x_{i}} \cap [/mm] C) = [mm] \bruch{1}{P(C)}P({X=x_{i}})P(C) [/mm] (das geht aber nur wenn X und C unabhängig sind, und das ist ja nicht unbedingt gegeben oder?)
= [mm] P({X=x_{i}}) [/mm] = E(X)
Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass das flasch ist, hat jemand einen anderen Lösungsansatz?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Sa 14.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
du warst doch schon fast fertig:
> E(X|C) = [mm]\bruch{1}{P(C)} E(XI_{c})[/mm] = [mm]\bruch{1}{P(C)}E(X)E(I_{C})=E(X)[/mm]
da X und [mm] I_C [/mm] unabhänigi
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Peon |
Hi,
kannst du mir evtl. den letzten Schritt begründen? Danach müsste ja [mm] E(I_{c})=P(C) [/mm] sein, oder und wenn ja warum ist das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Sa 14.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
aber natürlich gilt dass:
[mm]E(I_C)=\integral_{\Omega} I_C dP = \integral_C 1 dP = P(C)[/mm]
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Peon |
Hi nochmal eine Frage dazu:
Also die Berechnung zum Erwartungswert sieht ja erstmal so aus:
E(X) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{xf(x) dx} [/mm]
Bei dir steht ja erstmal ganz [mm] \Omega [/mm] und das wird zu C, weil [mm] I_{c} [/mm] halt 1 wird, wenn x aus C ist, oder so...
Aber warum schreibst du dP und nicht dx und wo ist das x vor [mm] I_{c} [/mm] im Integral.
Also mir leuchtet die Gleichung ein und sie geht ja auch auf, aber könntest du mir die vielleicht ein wenig erklären, oder ist das per Definition/Satz so?
DANKE!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Sa 14.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hi,
wäre super wenn du deinen "Wissenstatus" .-) angeben könntest denn
[mm]E(X)=\integral_{-\infty}^\infty x f(x) dx [/mm]
ist nur ein spezialfall wenn eine Dichte zum lebesgue maß vorliegt.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Peon |
Ich weiß noch, wie sich der bedingte EW berechnet:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{xf_{x|c}(x) dx}, [/mm] aber ich sehe da keinen Zusammenhang zu der Berechnung des EW von [mm] I_{c}, [/mm] oder? :)
Ansonsten haben ich nicht mehr viel zur Berechnung des EW gemacht, was damit zu tun haben könnte.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 So 15.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]E(I_C)=\integral_{-\infty}^{\infty} 1_C f(x)dx = \integral_C f(x) dx=P(C)[/mm]
meine obige schreibweise war die allgemeine ohne dass eine w-dichte zum lebesgue maß benötitgt wird.
gruß
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