Bedingung für Extremstellen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Warum sprechen Mathematiker davon, dass f`(xe)=0 eine sog. notwendige Bedingung und f``(xe) [mm] \not= [/mm] 0 die sog. hinreichende Bedingung für eine Extremstelle der Ausgangsfunktion f(x) in xe sind? |
Hallo,
das mit der notwendigen Bedingung ist ja so da die erste Ableitung die Steigung des normalen Graphen angibt und wenn die 0 ist dann hat der Graph keine Steigung und ist demzufolge ein Hoch/Tiefpunkt
aber jetzt weiß ich nicht wieso man bei dem Anderen von heiner hinreichenden Bedingung spricht, da wenn f``(x) ungleich null ist dies ja zeigt ob der graph fallend oder steigend ist (in der 1 Abl)
Mfg
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 So 05.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Patrick,
> Warum sprechen Mathematiker davon, dass f'(xe)=0 eine sog.
> notwendige Bedingung und f''(xe) [mm]\not=[/mm] 0 die sog.
> hinreichende Bedingung für eine Extremstelle der
> Ausgangsfunktion f(x) in xe sind?
Wenn [mm] $x_{e}$ [/mm] eine Extremstelle von $f$ ist, dann ist [mm] $f'(x_{e})=0$.
[/mm]
Dies ist eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes, das heißt, wenn [mm] $f'(x_{p})\not=0$ [/mm] ist, dann ist [mm] $x_{p}$ [/mm] keine Extremstelle, denn dazu wäre notwendig, dass [mm] $f'(x_{p})=0$ [/mm] ist.
Umgekehrt gilt das nicht: Wenn [mm] $f'(x_{p})=0$ [/mm] für irgendeine Stelle [mm] $x_{p}$ [/mm] gilt, heißt das noch lange nicht, dass [mm] x_{p} [/mm] eine Extremstelle ist.
Beispiel: Betrachte die Funktion [mm] $f(x)=x^{3}$.
[/mm]
An der Stelle [mm] $x_{p}=0$ [/mm] liegt KEIN Extrempunkt vor, obwohl $f'(0)=0$ ist.
> das mit der notwendigen Bedingung ist ja so da die erste
> Ableitung die Steigung des normalen Graphen angibt und wenn
> die 0 ist dann hat der Graph keine Steigung und ist
> demzufolge ein Hoch/Tiefpunkt
Nein, das kann man nicht sagen, siehe obiges Beispiel [mm] $f(x)=x^{3}$.
[/mm]
Mit der notwendigen Bedingung (also dem Suchen von Nullstellen der ersten Ableitung) verschafft man sich sozusagen die möglichen Extremstellen. Um zu zeigen, dass sie wirklich Extremstellen sind, setzt man sie in die zweite Ableitung ein und prüft, ob das Ergebnis ungleich Null ist. Ist das der Fall, so handelt es sich tatsächlich um eine Extremstelle.
Man spricht deshalb von beiden Bedingungen zusammen als notwendig und hinreichend für das Vorliegen eines Extrempunktes, denn man kann sagen: Wenn beide Bedingungen erfüllt sind, dann liegt ein Extrempunkt vor.
Letzte Bemerkung: Trotzdem kann ein Extrempunkt auch dann vorliegen, wenn die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist:
Betrachte mal [mm] $f(x)=x^{10}$. [/mm] An der Stelle [mm] $x_{e}=0$ [/mm] liegt ein Tiefpunkt vor, obwohl $f''(0)=0$. Kannst du dir jetzt selbst erklären, was der Begriff hinreichend bedeutet?
MFG,
Yuma
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