Bedingung v. Picard < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:52 Fr 18.01.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, ich schreib erstmal die Picard-Bedingung hin:
Seien $X,Y$ Hilberträume. Weiter sei [mm] $T\colon X\to [/mm] Y$ ein kompakter Operator mit singulärem System [mm] $\left\{(\sigma_j,u_j,v_j)\right\}$. [/mm] Ein Element [mm] $x\in\overline{\mbox{rg}(T)}$ [/mm] ist genau dann in [mm] $\mbox{rg}(T)$, [/mm] wenn die Reihe
$$
[mm] \sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{\lvert\langle x,v_j\rangle_Y\rvert^2}{\sigma_j^2}
[/mm]
$$
konvergiert.
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So, und zeigen muss ich jetzt, dass aus der Picard-Bedingung folgt, dass
[mm] $\mbox{rg}(T)\neq\overline{\mbox{rg}(T)}$. [/mm] |
Nun ist es ja so, dass erstens [mm] $\sigma_j\to [/mm] 0$ gilt und zweitens ist ja [mm] $\left\{v_j\right\}$ [/mm] eine Orthonormalbasis von [mm] $\overline{\mbox{rg}(T)}$.
[/mm]
Ist es nicht so, daß man dann ein Element $x$ in [mm] $\overline{\mbox{rg}(T)}$ [/mm] durch
[mm] $x=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\sigma_j v_j$
[/mm]
gegeben hat? (Ich erinnere leider nicht mehr genau, wieso das so ist.)
Und da für dieses spezielle Element $x$ gilt, dass
[mm] $\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{\lvert\langle x,v_j\rangle\rvert^2}{\sigma_j^2}=\sum\limits_{j\geq 1}\frac{\sigma_j^2}{\sigma_j^2}=\infty$, [/mm] d.h. dass die Picard-Bedingung nicht erfüllt ist, gilt
[mm] $x\notin \mbox{rg}(T)$.
[/mm]
Dann hätte man also ein Element gefunden, das in [mm] $\overline{\mbox{rg}(T)}$, [/mm] nicht aber in [mm] $\mbox{rg}(T)$ [/mm] enthalten ist und deswegen gilt die Ungleichheit der beiden Mengen, die man zeigen sollte.
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Könnte mir wohl jemand sagen, ob das so stimmt und mir vllt. nochmal den Grund dafür nennen, wieso man dieses spezielle x bilden kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 20.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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