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Ich habe mal wieder ein paar schöne Aufgaben zum thema Funktionsgleichungen aufstellen... Ich muss die Bedingungen rausfinden allerdings komme ich nicht so recht Weiter..
1 Aufgabe
Eine ganzrationale Funktion 4ten grades hat bei x=2 einen Wendepunkt mit der Wendetangente y=- [mm] \bruch{16}{5} [/mm] x + [mm] \bruch{32}{5}. [/mm] weiterehin besitzt sie in H(1;2) einen Hochpunkt.
Formel:f(x)= [mm] ax^{4}+ bx^{3}+cx^{2}+dx+e
[/mm]
1Abl. f(x)= [mm] 4ax^{3}+ 3bx^{2}+ [/mm] 2cx+d
2Abl. [mm] f(x)=12ax^{2}+ [/mm] 6bx+2c
1Bedingung: 2Abl f(2)=0 ?? (bei x=2 Wendepunkt)
Aber wie sind die anderen Bedingungen???
2Aufgabe.
Eine ganzrationale Funktion 3ten grades hat bei H(6;45) einen Hochpunkt.Fernerschneidet die Funktion den Ursprung mit derSteigung m=9.Bestimmen sie die Funktionsgleichung!
Weiterhin bestimmen sie den Wendepunkt und die Wendetangente!
Formel: [mm] f(x)=ax^{3}+ bx^{2} [/mm] +cx+d
1Abl. f(x)= [mm] 3ax^{2} [/mm] + 2bx+c
2Abl. f(x)=6ax+2b
1Bedingung: f(0)=0??? (schneidet die Funktion im Ursprung)
Wie sind die anderen Bedingungen und vor allem wie rechne ich den Wendepunkt und die wendetangente aus?
3Aufgabe
Eine Funktion 4zer ordnung hat im Ursprung eine waagerechte tangente und im Punkt P1(-2;2) einen wendepunkt mit waagerechtertangente.Bestimmen sie die Funktionsgleichung der funktion.
Formel:f(x)= [mm] ax^{4}+ bx^{3}+cx^{2}+dx+e
[/mm]
1Abl. f(x)= [mm] 4ax^{3}+ 3bx^{2}+ [/mm] 2cx+d
2Abl. [mm] f(x)=12ax^{2}+ [/mm] 6bx+2c
1Bedingung: f(0)=0
2Bedingung: 1Abl. f(0)=0 ( im ursprung waagerechte tangente)
3Bedingung: ???? weiß ich nicht weiter....
4Aufgabe
Eine Funktion 4ter ordnung ist achsensymetrisch und schneidet die xachse an der stelle x0=-2. Im Punkt [mm] P(\wurzel{2};4) [/mm] hat sie einen relativen Extremwert. Bestimmen sie die Funktionsgleichung der Funktion!
Formel:f(x)= [mm] ax^{4}+ bx^{3}+cx^{2}+dx+e
[/mm]
1Abl. f(x)= [mm] 4ax^{3}+ 3bx^{2}+ [/mm] 2cx+d
2Abl. [mm] f(x)=12ax^{2}+ [/mm] 6bx+2c
Achsensymetrisch dann kann ich doch die ungeraden exponenten streichen oder?
1Bedingung: f(-2)=0 ?? (schneidet die xAchse im Punkt x0=-2)
Wieviele weitere bedingungen muss ich denn noch finden??
Schon mal ganz ganz lieben dank im voraus
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Also bei der ersten Aufgabe kann ich dir helfen du musst von der funktion noch die 3.Ableitung machen und die Bedungung ist dann f(2) ungleich 0
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Das Verstehe ich nicht warum......... Aberdanke für die Hilfe... :_)
Kann mir jemand bei den anderen Aufgaben behilflich sein?? *anfleh* 
Lieben Gruß
Michelle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Do 21.09.2006 | | Autor: | MichelleC |
HHHiillfffeeeeeee bitte hilf mir jemand :-(
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Hi, Michelle,
Nicht so viele Aufgaben in eine Frage stecken!
Da dauern die Antworten nämlich umso länger!
Also:
> 1. Aufgabe
> Eine ganzrationale Funktion 4ten grades hat bei x=2 einen
> Wendepunkt mit der Wendetangente y=- [mm]\bruch{16}{5}[/mm] x + [mm]\bruch{32}{5}.[/mm]
> weiterehin besitzt sie in H(1;2) einen Hochpunkt.
> Formel:f(x)= [mm]ax^{4}+ bx^{3}+cx^{2}+dx+e[/mm]
> 1Abl. f(x)= [mm]4ax^{3}+ 3bx^{2}+[/mm] 2cx+d
Dafür schreibt man doch f'(x)!
> 2Abl. [mm]f(x)=12ax^{2}+[/mm] 6bx+2c
Und hierfür schreibe bitte f''(x)!
> 1. Bedingung: 2Abl f(2)=0 ?? (bei x=2 Wendepunkt)
Also: f''(2) = 0 (hast Du ja, wenn auch ulkig geschrieben!)
Nun der Trick: Der Wendepunkt liegt ja nicht nur auf dem gesuchten Graphen, sondern auch auf seiner Wendetangente! Daher kannst Du aus der Wendetangente die y-Koordinate des WP ausrechnen:
[mm] y_{W} [/mm] = [mm] -\bruch{16}{5}*2 [/mm] + [mm] \bruch{32}{5} [/mm] = 0
Damit ist die 2. Bedingung: f(2) = 0
3. Bedingung: Die Steigung der Wendetangente, also [mm] -\bruch{16}{5}, [/mm] ist gleichzeitig die Steigung von f im Wendepunkt; daher:
f'(2) = [mm] -\bruch{16}{5}
[/mm]
Nun zum Hochpunkt H(1/2):
Er liegt natürlich auf dem Graphen von f, also erfüllen seine Koordinaten die Funktionsgleichung; demnach 4. Bedingung: f(1) = 2.
Ein Hochpunkt ist ein Extrempunkt; daher ist dort die Tangentensteigung =0. Letzte Bedingung: f'(1) = 0.
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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Tut mir leid das ich so viele fragen reingestellt habe aber ich bin an diesen aufgaben wirklich am vberzweifeln.. ich finde es super schwer alle bedingungen zu finden....
Vielen liben dank das du mir bei der ertsen Aufgabe geholfen hast.. ich werde auch an meiner Schreibweise arbeiten
Wie kann ich bei den Aufgaben weiter rechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Do 21.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Michell
Schreib erst mal alles in Gleichungsform auf, was dir Zwerglein geschrieben hat. dann solltest du 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten haben.
Aus der Wendetangente kannst du nicht nur die Steigung bei x=2 rauskriegen und f''(2)=0 sondern auch den Wert von f an der Stelle 2, indem du x=2 in die Tangentengleichung einsetzest.
Dann schreib mal für die nächste Aufgabe die Bedingungen nach derselben Anleitung hin. Du suchst immer soviel Gleichungen wie du Unbekannte hast, also 1 mehr als der Grad des Polynoms.
Wenn wir dir zu viel vormachen lernst du nämlich nix. Wir helfen dir , wenn du auch elbst viel Energie reinhängst!
Gruss leduart
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ich glaube ich habe mich falsch ausgedrückt tut mir leid mein Problem ist das Rausbekommen der weiteren bedingungen von beispielsweise derAufgabe 2.. eine bedingung bekomme ich meistens raus aber irgendwie komm ich nicht weiter, das rechnen ist später nicht das Problem...
Wie ziehe ich aus der Aufgabe 2 weitere Bedimgungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Do 21.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Michelle
1. f(0)=0 ist richtig.
Ausserdem ist ein hochPUNKT gegeben, wie in Aufgabe 1, was machst du damit.
und was weisst du über die Steigung im Hochpunkt und über die Steigung bei (0,0)?
Wendepunkt:f''=0 ergibt den Wendepkt, (wenn f''' /ne 0)
dann in dem Punkt die Steigung f' ausrechnen, dann die Gerade durch den Punkt mit der errechneten Steigung.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Do 21.09.2006 | | Autor: | MichelleC |
Also irgendwie kann ich dem wasdu schreibst nicht so ganz Folgen bzw kann es nicht wirklich nachvollziehen.. Aber ich danke dir vielmals das du dich bemüht hast mir zu helfen 
Lieben gruß
Michelle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Fr 22.09.2006 | | Autor: | hase-hh |
hallo,
zu aufgabe 2:
f schneidet den ursprung, d.h. f(0)=0 => d=0
mit der steigung 9, d.h. f'(0)=9
Hochpunkt H(6/45), d.h. [mm] f(6)=45=a*6^3 [/mm] + [mm] b*6^2 [/mm] + c*6
ferner f'(6)=0
daraus erhältst du deine gleichungen.
zu aufgabe 3:
Funktion 4. Ordnung f(x)= [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^3 [/mm] + [mm] cx^2 [/mm] + dx + e
waagerechte tangente im ursprung, d.h. f(0)=0 => e=0
und f'(0)=0 [mm] 0=4a*0^3 [/mm] + [mm] 3b*0^2 [/mm] + 2c*0 + d => d=0
wendepunkt p(-2 / 2), d.h. f''(-2) = 0 [mm] 0=12a*(-2)^2 [/mm] + 6b*(-2) + 2
waagerechte tangente f'(-2)=0 [mm] 0=4a*(-2)^3 [/mm] + [mm] 3b*(-2)^2 [/mm] + 2c*(-2)
[mm] f(-2)=2=a*(-2)^4 [/mm] + [mm] b*(-2)^3 [/mm] + [mm] c*(-2)^2 [/mm] [d=0; e=0]
zu aufgabe 4:
[mm] f(x)=ax^4 [/mm] + [mm] bx^3 [/mm] + [mm] cx^2 [/mm] + dx +e
achsensymmetrische funktion, bedeutet nur gerade x-Potenzen
[f(x)=f(-x)], d.h. b=0 d=0
an der stelle x0=-2 schneidet f die x-achse, d.h. f(-2)=0 = [mm] a*(-2)^4 [/mm] + [mm] c*(-2)^2 [/mm] + e
f'(x)= [mm] 4ax^3 [/mm] + 2cx
relativer extrempunkt bei [mm] (\wurzel{2} [/mm] ; 4), d.h. [mm] f'(\wurzel{2})=0 [/mm] = [mm] 4a*{\wurzel{2}}^3 [/mm] + [mm] 2c*\wurzel{2} [/mm] hier könnte man x bzw. [mm] \wurzel{2} [/mm] ausklammern und dann weiterrechnen...
letztens: [mm] f(\wurzel{2})=4 [/mm] = [mm] a*(\wurzel{2})^4 [/mm] + [mm] c*\wurzel{2}^2 [/mm] +e
hoffe, das hilft!
gruss
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Fr 22.09.2006 | | Autor: | MichelleC |
Vielen lieben dank ich bin durch deine informationen sehr gutweitergekommen also vielen lieben dank.. bei dernummer 4 kann ich es zwar immernoch nicht ganz nachvollziehen aber ich hab wenigstens den rest einigermaßen auff die reihe bekommen
Dankeschön
Michelle
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