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Ich bereit mich gerade auf eine Analysis Klausur vor - also kommen die nächsten Tage noch eine Menge fragen ;)
Ich habe hier einige Definitionen in denen von Umgebungen und offenen Umgebungen die Rede ist. Wo liegt der unterschied zwischen diesen beiden? Was macht die offene Umgebung aus? Versteht man unter Umgebung in der Analysis immer eine Epsilon-Umgebung oder wäre auch die Menge {1,2,7} eine Umgebung von 2?
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> Ich habe hier einige Definitionen in denen von Umgebungen
> und offenen Umgebungen die Rede ist. Wo liegt der
> unterschied zwischen diesen beiden? Was macht die offene
> Umgebung aus? Versteht man unter Umgebung in der Analysis
> immer eine Epsilon-Umgebung oder wäre auch die Menge
> {1,2,7} eine Umgebung von 2?
Für die Analysis in [mm] \IR [/mm] sind die offenen Epsilon-Umgebungen
am wichtigsten:
[mm] U_{\varepsilon}(x_0)=\{x\in \IR \big{|}\ |x-x_0|<\varepsilon\} [/mm] = [mm] (x-\varepsilon;x+\varepsilon)\qquad (\varepsilon>0)
[/mm]
[mm] U_{\varepsilon}(x_0) [/mm] ist eine offene Menge (offenes Intervall)
Eine (beliebige) Umgebung einer Zahl [mm] x_0 \in \IR [/mm] ist eine Menge, welche
eine eine offene Umgebung von [mm] x_0 [/mm] als Teilmenge enthält.
So ist natürlich ganz [mm] \IR [/mm] eine Umgebung jeder Zahl [mm] x_0 \in \IR.
[/mm]
{1,2,7} ist in der Grundmenge [mm] \IR [/mm] keine Umgebung von 2.
Eine Teilmenge M von [mm] \IR [/mm] ist offen, falls jedes ihrer Elemente eine Epsilon-Umgebung
besitzt, die Teilmenge von M ist. So wäre die Umgebung
[mm] \{x\in \IR \big{|}\ |x-x_0|\le\varepsilon\} [/mm] = [mm] [x-\varepsilon;x+\varepsilon]\qquad (\varepsilon>0) [/mm]
zwar eine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] , aber keine offene Umgebung, denn
die Randpunkte [mm] x_0-\varepsilon [/mm] und [mm] x_0+\varepsilon [/mm] besitzen keine
Umgebungen, welche ganz in [mm] [x-\varepsilon;x+\varepsilon] [/mm] liegen
LG
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