Begründung für Nullfolge? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Azariel |
| Aufgabe | Geben Sie mit Begründung an, ob die angegebenen Folgen Nullfolgen sind:
a) [mm] ((-1)^n)/(n²+10)) [/mm] für [mm] n\ge0
[/mm]
b) 1/10000 + [mm] 1/n^4 [/mm] für n [mm] \ge10
[/mm]
c) (n²-100000) für [mm] n\ge5
[/mm]
d) 1/ (1000+n³) für [mm] n\ge-6 [/mm] |
Wie begründe ich,. dass es sich bei den aufgaben um Nullfolgen handelt? Ich weiß zwar, welche davon nullfolgen sind, aber kann man das auch mathematisch ausdrücken ohne diesen ganzen wirrwarr mit epsilon>0 und so? ich versteh das nämlich nicht wirklich :( und "nenner wird größer, zähler bleibt konstant" will der prof sicher nicht hören.. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie mit Begründung an, ob die angegebenen Folgen
> Nullfolgen sind:
>
> a) [mm]((-1)^n)/(n²+10))[/mm] für [mm]n\ge0[/mm]
>
> b) 1/10000 + [mm]1/n^4[/mm] für n [mm]\ge10[/mm]
>
> c) (n²-100000) für [mm]n\ge5[/mm]
>
> d) 1/ (1000+n³) für [mm]n\ge-6[/mm]
> Wie begründe ich,. dass es sich bei den aufgaben um
> Nullfolgen handelt? Ich weiß zwar, welche davon nullfolgen
> sind, aber kann man das auch mathematisch ausdrücken ohne
> diesen ganzen wirrwarr mit epsilon>0 und so? ich versteh
> das nämlich nicht wirklich :( und "nenner wird größer,
> zähler bleibt konstant" will der prof sicher nicht
> hören.. :(
nein, das denke ich auch. Aber arbeite doch mit dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] und (geeigneten) Abschätzungen. Evtl. kannst Du auch schon Sätze über konvergente Folgen benutzen. Z.B. könnte man die a) so aufschreiben:
Die Folge konvergiert gegen [mm] $0\,.$ [/mm] Ist nämlich [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so gilt für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n > [mm] 1/\varepsilon$ [/mm] dann
[mm] $$\frac{1}{n}< \varepsilon\,.$$
[/mm]
Daher folgt für alle natürlichen $n > [mm] \varepsilon$ [/mm]
[mm] $$|(-1^n)/(n+10)|=1/(n+10) [/mm] < 1/n < [mm] \varepsilon\,,$$
[/mm]
also konvergiert die Folge gegen [mm] $0\,.$
[/mm]
Alternativ (mit dem Sandwichkriterium):
Wegen $0 < [mm] |(-1)^n/(n+10)|=1/(n+10) [/mm] < 1/n$ handelt es sich um eine Nullfolge, da $1/n [mm] \to 0\,.$
[/mm]
zu b):
Hier gilt doch: Ist speziell [mm] $\varepsilon_0:=1/20000$ [/mm] (generell: wähle ein festes $0 < [mm] \varepsilon_0 [/mm] < 1/10000$), so gilt für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
$$0 < [mm] \varepsilon_0=1/20000 [/mm] < 1/10000 < 1/10000 [mm] +1/n^4\,.$$
[/mm]
Also existiert ein [mm] $\varepsilon_0>0$ [/mm] so, dass man für jedes [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] hier ein $n > [mm] n_0$ [/mm] findet mit [mm] $|a_n| [/mm] > [mm] \varepsilon_0\,.$ [/mm] (Ist Dir das klar?)
Was heißt das nun?
(P.S.: Bei b) [mm] $a_n:=1/10000 +1/n^4$ [/mm] für $n [mm] \ge 10\,.$)
[/mm]
zu c)
[mm] $n^2-100000 \ge [/mm] n$ für $n [mm] \ge [/mm] 1000$ zeigt, dass [mm] $n^2-100000 \to \infty\,.$
[/mm]
zu d)
Das ist hier abhängig von dem [mm] $s\,.$
[/mm]
Mache Fallunterscheidungen: $s > [mm] 0\,$...
[/mm]
Und dann versuche mal selbst, Deine Überlegungen aufzuschreiben und zu präsentieren.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Azariel |
Ja, danke für die Erklärung, hab mich heute nochmal mit ner Freudin zusammen gesetzt und mithilfe deiner erklärung haben wir das acuh verstanden :)
Danke =)
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