Beispiel zum Satz von Leibnitz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 So 11.12.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....wir haben da ein Beispiel zum Satz von Leibnitz gemacht wo ich die
Abschätzung nicht ganz kapiere bzw. was die überhaupt bringt.
"Satz von Leibnitz:
Vor.: Sei [mm] a_{n} [/mm] eine monoton fallende Folge in [mm] \IR_{0}^{+} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0.
Beh.:Dann gilt:
a.) Die alternierende Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}(-1)^{n} a_{n} [/mm] konvergiert.
b.) Sei [mm] s_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^{k} a_{k} [/mm] und
s = [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}(-1)^{n} a_{n}. [/mm] Dann gilt:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] s_{2n+1}<=s<=s_{2n} \wedge [/mm] |s - [mm] s_{n}| <=a_{n+1}"
[/mm]
So...und jetzt haben wir ein Beispiel betrachtet:
Also ist [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}((-1)^{n+1}/n) [/mm] bedingt konvergent aber
nicht absolut konvergent (klar).
Mit Leibnitz b.) erhalten wir etwa die Abschätzung:
| [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}((-1)^{n+1}/n) [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{ 99}((-1)^{n+1}/n)| [/mm] <= 1/100.
Was bringt mir die Abschätzung zumahl ja s wieder nur theoretisch dasteht
und irgendeine Folge eingesetzt wurde...nach oben durch 1/100 eingesetzt wird weiß ich auch nicht denn [mm] a_{99+1} [/mm] = [mm] a_{100} [/mm] eingesetzt ergibt
-1/100 .....
Was sagt überhaupt Teil b.) des Leibnitz Kriteriums aus?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 So 11.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Reaper
Der Teil b) sagt genau, dass du die unendliche Summe auf eine von dir vorgegebene, durch an bestimmte Genauigkeit ausrechnen kannst, indem du nur eine endliche Summe ausrechnest. Im Beispiel also musst du die ersten 99 Stammbrüchealternierend addieren und hast dann das Ergebnis auf 2 Stellen genau.
Es ist immer schön, wenn man etwas "unendliches! durch etwas endliches ausdrücken kann, und die maximale Abweichung kennt. Wegen der 2 Ungleichungen hast du für s sogar eine Abschätzung nach unten und oben.
Und mit Computer ist es doch wichtig, wann du bei vorgegebener Genauigkeit aufhören kannst zu summieren. z. Bsp. spätestens wenn du die Stellenzahl erreicht hast, mit der du ohnehin rechnest.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 11.12.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...danke für eine Anwendung.....warum da 1/100 steht und nicht -1/100 ist aber noch offen....
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 11.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da steht ein Betrag!
Gruss leduart
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