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Forum "Zahlentheorie" - Beispiele für euklidisch
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Beispiele für euklidisch: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:21 Do 24.11.2011
Autor: Schmetterfee

Hallöchen,

ich bin immer noch am Vorlesung nacharbeiten und merke, dass unsere Vorlesungsstruktur nicht gerade vorteilhaft ist. So weiß ich mit einem Beispiel einfach nix anzufangen und hoffe, dass mich jemand hier erleuchten kann.

R heißt euklidisch [mm] \gdw \exists [/mm] v: [mm] R\{0\} \to \IN_{0} [/mm] mit: zu a,b [mm] \in [/mm] R und b [mm] \not= [/mm] 0 existiert q [mm] \in [/mm] R mit a=qb oder es gibt r [mm] \in [/mm] R, so dass a=qb+r, v(r)<v(b)

Im Anschluss an die Definition lieferte der Professor ein Beispiel was ich nicht ganz verstehe und zwar:
R: [mm] \IZ[i]: [/mm] Setze [mm] v(x+iy)=x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)= [/mm] N(x+iy)
N(z*z')=N(z)N(z'), [mm] N(z)=||z||^2 [/mm]

Bis hier hat er doch eigentlich nur die Normfunktion eingeführt oder? aber was nun kommt verstehe ich nicht ganz wie das inhaltlich dazu passt bzw. was mir das sagen soll

Schreibe [mm] \bruch{a}{b}=a_{1}+a_{2}i [/mm] mit [mm] a_{i} \in \IQ [/mm] und finde [mm] q_{1}, q_{2} \in \IZ [/mm] so dass [mm] |a_{i}-q_{i}< \le \bruch{1}{2} [/mm] für i=1,2
Setze [mm] q=q_{1}+iq_{2} [/mm] und r=a-qb.
Haben [mm] \bruch{v(r)}{v(s)}=v(\bruch{r}{s})=v(\bruch{a}{s}-q)=(a_{1}-q_{1})^2+(a_{2}-q^{2})^2 \le \bruch{1}{2} [/mm] <1, v(r)<v(s)

Was rechnen wir denn hier hin und her um was überhaupt zu zeigen, kann damit irgendjemand was anfangen und mir das erklären? Ich sehe da wirklich gar nicht durch. :-(

LG Schmetterfee

        
Bezug
Beispiele für euklidisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Do 24.11.2011
Autor: hippias


> Hallöchen,
>  
> ich bin immer noch am Vorlesung nacharbeiten und merke,
> dass unsere Vorlesungsstruktur nicht gerade vorteilhaft
> ist. So weiß ich mit einem Beispiel einfach nix anzufangen
> und hoffe, dass mich jemand hier erleuchten kann.
>  
> R heißt euklidisch [mm]\gdw \exists[/mm] v: [mm]R\{0\} \to \IN_{0}[/mm] mit:
> zu a,b [mm]\in[/mm] R und b [mm]\not=[/mm] 0 existiert q [mm]\in[/mm] R mit a=qb oder
> es gibt r [mm]\in[/mm] R, so dass a=qb+r, v(r)<v(b)
>  
> Im Anschluss an die Definition lieferte der Professor ein
> Beispiel was ich nicht ganz verstehe und zwar:
>  R: [mm]\IZ[i]:[/mm] Setze [mm]v(x+iy)=x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)=[/mm] N(x+iy)[/i][/mm]
> [mm][i] N(z*z')=N(z)N(z'), [mm]N(z)=||z||^2[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][blue]Bis hier hat er doch eigentlich nur die Normfunktion [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]eingeführt oder? aber was nun kommt verstehe ich nicht [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]ganz wie das inhaltlich dazu passt bzw. was mir das sagen [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]soll[/blue][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Schreibe [mm]\bruch{a}{b}=a_{1}+a_{2}i[/mm] mit [mm]a_{i} \in \IQ[/mm] und [/i][/mm]
> [mm][i]finde [mm]q_{1}, q_{2} \in \IZ[/mm] so dass [mm]|a_{i}-q_{i}< \le \bruch{1}{2}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]für i=1,2[/i][/mm]
> [mm][i] Setze [mm]q=q_{1}+iq_{2}[/mm] und r=a-qb.[/i][/mm]
> [mm][i] Haben [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\bruch{v(r)}{v(s)}=v(\bruch{r}{s})=v(\bruch{a}{s}-q)=(a_{1}-q_{1})^2+(a_{2}-q^{2})^2 \le \bruch{1}{2}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]<1, v(r)
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][blue]Was rechnen wir denn hier hin und her um was überhaupt zu [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]zeigen, kann damit irgendjemand was anfangen und mir das [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]erklären? Ich sehe da wirklich gar nicht durch. :-([/blue][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]LG Schmetterfee [/i][/mm]

Er weist die Existenz des $q$ und $r$ mit den entsprechenden Eigenschaften nach: es soll ja nicht irgendeine Normfunktion,sondern eine mit besonderen Eigenschaften sein.

Bezug
                
Bezug
Beispiele für euklidisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Do 24.11.2011
Autor: Schmetterfee

Hallöchen,

okay so macht das denn auch alles mehr Sinn. Aber inweit weist er denn die existenz nach? er sagt doch nur wir finden [mm] q_{i}, [/mm] so dass das gilt. Das ist mir irgendwie noch nicht ganz klar?! Aber die Rechnung ergibt zumindestens schon mal Sinn^^

LG Schmetterfee

Bezug
                        
Bezug
Beispiele für euklidisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:24 Fr 25.11.2011
Autor: hippias


> Hallöchen,
>  
> okay so macht das denn auch alles mehr Sinn. Aber inweit
> weist er denn die existenz nach? er sagt doch nur wir
> finden [mm]q_{i},[/mm] so dass das gilt. Das ist mir irgendwie noch
> nicht ganz klar?! Aber die Rechnung ergibt zumindestens
> schon mal Sinn^^
>  
> LG Schmetterfee  

Moin Schmetterfee,
das $q$ wurde aus dem Element [mm] $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}[i]$ [/mm] konstruiert; das $r$ ergab sich dann automatisch als $r= a-qb$. In dem Deinem Text hat sich zum Ende hin ein SChreibefhler eingeschlichen: Es wird dort immer mit $s$ gerechnet, aber es muesste $b$ heissen.
Uebrigens sind nicht alle Ringe der Form [mm] $\IZ[\sqrt{d}]$ [/mm] euklidisch.

Schoenen Tag noch!

Bezug
                                
Bezug
Beispiele für euklidisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Fr 25.11.2011
Autor: Schmetterfee

Hallöchen

>  das [mm]q[/mm] wurde aus dem Element [mm]\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}[i][/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]konstruiert; das [mm]r[/mm] ergab sich dann automatisch als [mm]r= a-qb[/mm]. [/i][/mm]
> [mm][i]In dem Deinem Text hat sich zum Ende hin ein SChreibefhler [/i][/mm]
> [mm][i]eingeschlichen: Es wird dort immer mit [mm]s[/mm] gerechnet, aber es [/i][/mm]
> [mm][i]muesste [mm]b[/mm] heissen.[/i][/mm]

Okay danke schön, dass war mir nicht klar. Dann habe ich das an der Tafel wohl leider falsch entziffert:-(

> [mm][i] Uebrigens sind nicht alle Ringe der Form [mm]\IZ[\sqrt{d}][/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]euklidisch.[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]

Wir hatten das erwähnt, aber woran erkenne ich genau ob es euklidisch ist oder nicht? wie muss das d dafür gewählt sein?

LG Schmetterfee

Bezug
                                        
Bezug
Beispiele für euklidisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Fr 25.11.2011
Autor: DerSpunk

Hallo Schmetterfee,

im Prinzip musst du dir einen Euklidischen Ring vorstellen als eine Menge, in der man irgendwie teilen mit Rest definieren kann, so wie bei den ganzen Zahlen. In den ganzen Zahlen hat man zu [mm]x,y\in \mathbb{Z},\ y>0[/mm] eine eindeutige Darstellung der Form

                                  [mm]x=qy+r,[/mm]

wobei [mm]0\leq r < y[/mm]. Um das zu verallgemeinern, benötigt man also eine Funktion [mm]\beta:R\to \mathbb{N}[/mm], die den Rest [mm]r[/mm] bewertet. Wenn ich dir einen Ring vor die Füße schmeiße (die Puristen des Forums mögen mir diese Ausdrucksweiße verzeihen) ist es schwierig zu verifizieren, ob dieser euklidisch ist. Um das nachzuweißen muss man eine entsprechende "Normfunktion" [mm]\beta:R\to \mathbb{N}[/mm] angeben.

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