Beispiele für limsup Relation < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Di 17.11.2009 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | an und bn seine beschränkte Folgen reeler Zahlen. Gezeigt werden soll:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup(an+bn) <= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup(an) [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup(bn)
[/mm]
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Hallo,
Bisher finde ich leider immer nur Besipiele für =, aber nie für < !
Gibt es da überhaupt irgendwelche Besipiele? Und wenn, wie würden die aussehen? Von welcher Form wären sie?
Ich denke wenn ich erstmal ein Bsp. hätte, dass auch für < gilt, dann würde es mir auch leichter fallen, den Satz zu zeigen...
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Hallo LariC,
> an und bn seine beschränkte Folgen reeler Zahlen. Gezeigt
> werden soll:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup(an+bn) [mm] \le[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup(an)[/mm] + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup(bn)[/mm]
>
> Hallo,
> Bisher finde ich leider immer nur Besipiele für =, aber
> nie für < !
> Gibt es da überhaupt irgendwelche Besipiele? Und wenn,
> wie würden die aussehen? Von welcher Form wären sie?
>
> Ich denke wenn ich erstmal ein Bsp. hätte, dass auch für
> < gilt, dann würde es mir auch leichter fallen, den Satz
> zu zeigen...
Hier ist ein einfaches:
Nimm mal [mm] $a_n=(-1)^n$ [/mm] und [mm] $b_n=(-1)^{n+1}$
[/mm]
Dann ist [mm] $(a_n+b_n)=0$, [/mm] also [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=0$ [/mm] und [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}a_n=\limsup\limits_{n\to\infty}b_n=1$
[/mm]
Und $0<1+1=2$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Di 17.11.2009 | | Autor: | LariC |
Stimmt - das ist echt gut - ich hatte nie darauf geachtet, dass sich an + bn vielleicht untereinander ,,so zu sagen" zu 0 eliminieren könnte.
Gut...danke. Jetzt also an den Beweis...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Mi 18.11.2009 | | Autor: | LariC |
Also, ich habe mir jetzt schonmal folgendes überlegt:
Da an und bn beschränkt sind, existiert auf jeden Fall schoneinmal der jeweilige limsup der beiden Folgen, somit weiß ich, dass ein x<= a gilt. a ist dann eben der wert des limsup. Wie kannn ich jetzt aber sinnnvoll weitermachen?
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Hiho,
überlege dir erstmal, wieso gilt:
[mm] $\sup(a_n [/mm] + [mm] b_n) \le \sup(a_n) [/mm] + [mm] \sup(b_n)$ [/mm] bzw das hattet ihr bestimmt schon.
Dann auf beiden Seiten den Limes drauf => fertig 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mi 18.11.2009 | | Autor: | LariC |
Gut, dann würde ich jetzt in etwa so argumentieren.
da an und bn beschränkt sind existieren:
sup(an)=a und auch sup(bn)=b und da sup(an + bn)=max(a,b) ist, gilt sup(an+ bn)<= sup(an) + sup(bn)
hatten wir aber leider noch nicht -also kanns auch falsch sein...
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> Gut, dann würde ich jetzt in etwa so argumentieren.
> da an und bn beschränkt sind existieren:
> sup(an)=a und auch sup(bn)=b
ok soweit
> und da sup(an + bn)=max(a,b)
öhm nein..... überlege dir das mal an einem beispiel
Es geht viel trivialer:
Erstmal überlegen wir uns:
1.) Sei [mm] $c_n \le d_n$, [/mm] dann gilt auch $sup [mm] (c_n) \le [/mm] sup [mm] (d_n)$
[/mm]
2.) Sei x eine feste Zahl, dann gilt $sup(x) = x$
Daraus folgt nun direkt:
[mm] $sup(a_n [/mm] + [mm] b_n) \le sup(sup(a_n) [/mm] + [mm] sup(b_n)) [/mm] = [mm] sup(a_n) [/mm] + [mm] sup(b_n)$
[/mm]
Nun begründe mal die beiden schritte, einmal das [mm] \le [/mm] und das = hinten. 
mFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Mi 18.11.2009 | | Autor: | LariC |
Naja - das <= gilt ja, da sup(an+bn) ja nur ein wert der beiden ist, das heißt er entspricht nur einem der beiden kann also 0 sein oder aber, falls das andere Supremum sup(an )+sup(bn) etwas größer macht, insgesamt kleiner! Das Gleichheitszeichen gilt, da ich die beiden Suprtema ja addiere, das heißt das größte ist auch hier wieder die Summe der beiden und die wäre hier ja gleich!
Ich hoffe das versteht man - ich muss nämlich gleich leider weg :(
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