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| Aufgabe | | Jede Beklammerung des Ausdrucks x1 x2 ... xn von Elementen einer Gruppe gibt dasselbe Element. |
Wie könnte man des beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Jede Beklammerung des Ausdrucks x1 x2 ... xn von Elementen
> einer Gruppe gibt dasselbe Element.
> Wie könnte man des beweisen?
Das ist eindeutig eine der Aussagen, bei denen so gut wie jeder ein 'klar' akzeptiert, da ein formaler Beweis hierfuer einfach nur unnoetig kompliziert ist.
Aber nun gut, du hast es ja so gewollt 
Also. Zuerst machst du eine Induktion nach $n$. Fuer $n = 1, 2, 3$ ist die Behauptung klar ($n = 3$ ist das klassische Assoziativgesetz). Sei also $n > 3$.
Wenn der Klammerausdruck von der Form $( [mm] \dots [/mm] ) [mm] \cdot x_n$ [/mm] ist kannst du per Induktion abschliessen (Details spare ich mir). Andernfalls musst du den Ausdruck in diese Form bringen.
Schreib den Ausdruck am besten als ![[]](/images/popup.gif) Baum auf: Ein Blatt ist eins der [mm] $x_i$, [/mm] und Verzweigungen entsprechen einer Multiplikation. Wenn der rechte Nachfolger der Wurzel nicht [mm] $x_n$ [/mm] ist, so kannst du den Baum wie folgt transformieren:
| 1: |
| | 2: | W W
| | 3: | / \ / \
| | 4: | A . ==> . C
| | 5: | / \ / \
| | 6: | B C A B
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(Diese Umformung entspricht dem gewoehnlichen Assoziativgesetz.)
Wenn du diese Umformung endlich oft durchfuehrst, kommst du schliesslich zum Fall, dass $C$ gleich [mm] $x_n$ [/mm] ist, du also die Induktion anwenden kannst.
LG Felix
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