Berechnen einer Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Determinante:
[mm] \vmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5}
[/mm]
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Hallo,
bin gerade an der oben genannten Aufgabe.
Um Determinanten zu bestimmen, habe ich gelernt, dass man diese auf Zeilenstufenform bringt. Danach multipliziert man die Diagonale und erhält
A'. Danach muss ich auf A' alle Umformungen Anwenden die ich beim Weg in die Zeilenstufenform gemacht habe.
Die Vorgehensweise vom "Meister" verwirrt mich aber ;)
Ich schreibe Sie Euch mal auf:
[mm] \vmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5} [/mm] (-) (Weil drei Vertauschungen. Eine Vertauschung = -1. D.h. -1*-1*-1 = -1)
[mm] \sim \vmat{ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0} [/mm] (-2) - Erste und zweite Zeile
[mm] \sim \vmat{ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] (-3) - Zweite und dritte Zeile
[mm] \sim \vmat{ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] (-4) - Dritte und vierte Zeile
[mm] \sim \vmat{ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 }
[/mm]
==============
Nuuuuun zur großen Verwirrung ;)
Wenn ich etwas in Zeilenstufenform gebracht habe, habe ich es immer so gemacht:
Bsp.:
[mm] \vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Ich habe [mm] \*-3 [/mm] die erste Zeile gerechnet im Kopf und dies dann zur zweiten addiert.
Somit erhielt ich:
[mm] \vmat{ 1 & 2 \\ 0 & -2 }
[/mm]
Doch er scheint es hier irgendwie genau andersrum zu machen oder so..
Könnt ihr mir bitte helfen?
Besten Dank und liebe Grüße
steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 So 23.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du solltest wissen, dass sich Determinanten von Matrizen nicht verändern, wenn man ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Addiert. Wenn du aber einfach nur eine Konstante zu einer Zeile multiplizierst, dann gilt: det(c*A)=c*det(A)
Wenn man Zeilen vertauscht, dann musst du eine -1 vor die Determinante "packen".
> Bestimmen Sie die Determinante:
> [mm]\vmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5}[/mm]
>
> Hallo,
> bin gerade an der oben genannten Aufgabe.
>
> Um Determinanten zu bestimmen, habe ich gelernt, dass man
> diese auf Zeilenstufenform bringt. Danach multipliziert man
> die Diagonale und erhält
> A'. Danach muss ich auf A' alle Umformungen Anwenden die
> ich beim Weg in die Zeilenstufenform gemacht habe.
Genau, d.h. du musst die Änderungen der Determinante, die ich oben beschrieben habe, wieder "rückgängig" machen.
>
>
> Die Vorgehensweise vom "Meister" verwirrt mich aber ;)
>
> Ich schreibe Sie Euch mal auf:
>
>
> [mm]\vmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5}[/mm]
> (-) (Weil drei Vertauschungen. Eine Vertauschung = -1.
> D.h. -1*-1*-1 = -1)
>
>
> [mm]\sim \vmat{ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
> (-2) - Erste und zweite Zeile
>
> [mm]\sim \vmat{ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
> (-3) - Zweite und dritte Zeile
>
> [mm]\sim \vmat{ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
> (-4) - Dritte und vierte Zeile
>
> [mm]\sim \vmat{ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
>
>
> ==============
>
> Nuuuuun zur großen Verwirrung ;)
>
> Wenn ich etwas in Zeilenstufenform gebracht habe, habe ich
> es immer so gemacht:
>
> Bsp.:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
>
> Ich habe [mm]\*-3[/mm] die erste Zeile gerechnet im Kopf und dies
> dann zur zweiten addiert.
>
> Somit erhielt ich:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 2 \\ 0 & -2 }[/mm]
Genau, hier hast du also ein Vielfaches einer Zeile zur anderen Zeile addiert. Das bedeutet aber, dass sich die Determinante nicht geändert hat, d.h. die Determinanten von oben und unten sind die selben.
>
>
> Doch er scheint es hier irgendwie genau andersrum zu machen
> oder so..
Nein, das passt schon so.
>
> Könnt ihr mir bitte helfen?
Ja. Der Unterschied hier ist, dass du erst einmal als ersten Schritt eine Konstante zu einer Zeile addierst. D.h. es gilt det(c*A)=c*det(A). Da du aber hinterher det(A) haben willst, musst du durch alle Werte c teilen, mit denen du A multipliziert hast, um die ZSF zu bekommen. D.h. du kannst die Determinante von deiner Matrix oben berechnen. Das ergibt 72. Dann die (*-4) rückgängig machen, indem du durch -4 teilst. Dann weiter durch -3 teilen usw. Ganz zum Schluss dann noch die -1 durch die 3 Vertauschungen ausgleichen, dann bekommst du die 3.
Hier ist es aber m.E. schöner, nach der ersten Zeile zu entwickeln. Das gibt ein paar schöne Nullen, die man dann einfach weglassen kann. Die Untermatrix hat dann auch noch schön viele Nullen, so dass das deutlich einfach wäre.
LG
Kroni
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> Besten Dank und liebe Grüße
>
> steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Vielen Dank.
Der Abend / die Nacht ist gerettet =)
Habe alles verstanden :)
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Hallo :)
Wollte nicht einen extra neuen Beitrag aufmachen...
Wie ich Determinanten berechne weiß ich nun.
Ich bringe meine Matrix in Zeilenstufenform und multipliziere dann die Diagonale.
Somit habe ich mein A' erhalten.
Um nun an mein A zu kommen muss ich die Änderungen Rückgängig machen.
Doch wie schreibe ich dies Formal (in der Klausur) auf?
Kann ich dann einfach schreiben:
det(A) = [mm] \bruch{det(A')}{aenderung1*aenderung2...}
[/mm]
Also:
det(A) = [mm] \bruch{72}{(-1)*(-2)*(-3)*(-4)}
[/mm]
det(A) = [mm] \bruch{72}{24}
[/mm]
det(A) = 3
Würdet ihr es auch so schreiben oder anders?
Will keinen Punktabzug :)
Liebe Grüße
steffi
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Ich mach mal an einem kleinen Beispiel vor, wie ich es machen würde. Kurz und bündig kann ich aber sagen: Um Fehler zu vermeiden, immer "aktuell" alles hinschreiben:
Aufgabe: Berechne die Determinante von [mm]\pmat{3 & 4 \\ 10 & 10 }[/mm]
Antwort:
Es ist
[mm]\vmat{3 & 4 \\ 10 & 10 }[/mm]
[mm]= 10*\vmat{3 & 4 \\ 1 & 1 }[/mm]
(Evtl: Aufgrund ... muss man nun die Determinante mit 10 multiplizieren)
[mm]= 10*\vmat{0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
(Evtl: Aufgrund ... bleibt die Determinante gleich)
[mm]= 10*(-1)*\vmat{1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
(Evtl: Aufgrund ... wird die Determinante negativ)
[mm]= 10\cdot{}(-1)\cdot{}1 = -10[/mm].
Anstelle von den Punkten sollten aber höchstens die Sätze aus der Vorlesung, keine Erklärungen. Als ich die Prüfung geschrieben habe, ging es auch ohne Nebenbemerkungen 
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