Berechnung Eigenwerte Eigevekt < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:31 Do 27.12.2012 | | Autor: | mathez2 |
| Aufgabe | Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
[mm] \pmat{ 12 & -15 \\ 5 & -8 } [/mm] |
Kann mir jemand helfen wie Eigenvektoren berechnet werden.
Zunächst habe ich erstmal diese Matrix in der Hauptdiagonale mit [mm] \lambda [/mm] versehen.Das ergibt nun folgendes Gebilde in der Matrix.
[mm] \pmat{ 12-\lambda & -15 \\ 5 & -8-\lambda }
[/mm]
Danach nach der Rechenregel von Sarrus angewendet. Damit erhielt ich das Ergebnis mi [mm] \lambda^2... [/mm] also wie eine quatratische Funktion.Danach habe ich nach [mm] \lambda [/mm] 1 und [mm] \lambda [/mm] 2 aufgelöst.
Mein Problem ist nun wie berechnet man die Eigenvektoren.
Kann man mir an dieser Stelle mal kurz erläutern, was Eigenvektoren und Eigenwerte sind. Ich vermute, dass es mit den Eigenschaften von Vektoren (lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, dies wiederrum mit Lösung, triviale Lösung oder nicht triviale Lösung, zusammenhängt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo mathez2 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
>
> [mm]\pmat{ 12 & -15 \\
5 & -8 }[/mm]
> Kann mir jemand helfen wie
> Eigenvektoren berechnet werden.
>
> Zunächst habe ich erstmal diese Matrix in der
> Hauptdiagonale mit [mm]\lambda[/mm] versehen.Das ergibt nun
> folgendes Gebilde in der Matrix.
>
> [mm]\pmat{ 12-\lambda & -15 \\
5 & -8-\lambda }[/mm]
>
> Danach nach der Rechenregel von Sarrus angewendet.
Die gilt doch ausschließlich für [mm]3\times 3[/mm]-Matrizen ...
> Damit erhielt ich das Ergebnis mi [mm]\lambda^2...[/mm] also wie eine
> quatratische Funktion.Danach habe ich nach [mm]\lambda[/mm] 1 und
> [mm]\lambda[/mm] 2 aufgelöst.
Das ist so!
>
>
> Mein Problem ist nun wie berechnet man die Eigenvektoren.
> Kann man mir an dieser Stelle mal kurz erläutern, was
> Eigenvektoren und Eigenwerte sind.
Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms [mm]\chi_A(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda\cdot{}\mathbb E_2)[/mm], also dein [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm]
Hierbei soll [mm]A[/mm] die Ausgangsmatrix bezeichnen und [mm]\mathbb E_2[/mm] die [mm]2\times 2[/mm]-Einheitsmatrix.
Die Eigenvektoren berechnest du, indem du den [mm]\operatorname{Kern}(A-\lambda_i\cdot{}\mathbb E_2)[/mm] berechnest; jeder Vektor aus dem Kern (außer dem Nullvektor) tut es als Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_i[/mm]
Anders gesagt, sind ist ein Eigenvektor [mm]v_i[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda_i[/mm] Lösung der Gleichung [mm]A\cdot{}v_i \ = \ \lambda\cdot{}v_i[/mm] [mm] ($v_i\neq [/mm] 0$)
> Ich vermute, dass es mit
> den Eigenschaften von Vektoren (lineare Abhängigkeit und
> Unabhängigkeit, dies wiederrum mit Lösung, triviale
> Lösung oder nicht triviale Lösung, zusammenhängt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Fr 28.12.2012 | | Autor: | mathez2 |
Ich habe das jetzt mal ausgerechnet. Folgenden Lösungsweg habe ich gemacht.
gegeben:
A= [mm] \pmat{ 12 & -15 \\ 5 & -8 }
[/mm]
Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen
1. Eigenwerte berechnen
Formel: [mm] det(A-\lambda [/mm] I)
A = [mm] \pmat{ 12- \lambda & -15 \\ 5 & -8-\lambda }
[/mm]
det { 12- [mm] \lambda [/mm] } * { -8 - [mm] \lambda [/mm] }
= [mm] -96-12\lambda +8\lambda +\lambda [/mm] ^2+75
[mm] \lambda [/mm] ^2 [mm] -4\lambda [/mm] - 21=0
[mm] \lambda [/mm] 1 = 7
[mm] \lambda [/mm] 2 = -3
Das sind die beiden Eigenwerte
Jetzt habe ich das Problem bei der Berechnung der Eigenvektoren.
Ausgangsformel ist folgende:
[mm] (A-\lambda [/mm] I) x = 0
x wird berechnet weil das die Eigenvektoren sind
jetzt setze ich [mm] \lambda [/mm] 1 = 7 in die matrix oben ein
A = [mm] \pmat{ 12- \lambda & -15 \\ 5 & -8-\lambda }
[/mm]
Es entsteht nun folgendes:
[mm] \pmat{ 5 & -15 \\ 5 & -15} [/mm] (x) =0
Und jetzt kommt komm ich nicht mehr weiter. Wie geht das jetzt weiter mit der Rechnung. Habe ich bis hierhin korrekt gerechnet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich habe das jetzt mal ausgerechnet. Folgenden Lösungsweg
> habe ich gemacht.
>
> gegeben:
> A= [mm]\pmat{12&-15\\5&-8}[/mm]
>
> Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen
>
> 1. Eigenwerte berechnen
> Formel: [mm]det(A-\lambda[/mm]I)
>
> A = [mm]\pmat{12-\lambda&-15\\5&-8-\lambda}[/mm]
>
Das ist aber schon die Matrix [mm] $B:=A-\lambda\cdot E_{2}$
[/mm]
> [mm] $det{12-\lambda}*{-8-\lambda}$
[/mm]
Für [mm] 2$\times$2-Matrizen $C:=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ [/mm] gilt doch:
[mm] $\det(C)=a\cdot d-b\cdot [/mm] c$
Hier also:
[mm] (12-\lambda)\cdot(-8-\lambda)-5\cdot(-15)
[/mm]
[mm] =-96-12\lambda+8\lambda+\lambda^{2}+75
[/mm]
[mm] =\lambda^{2}-4\lambda-21
[/mm]
>
> = [mm]-96-12\lambda +8\lambda +\lambda[/mm] ^2+75
Deine Determinante ist also ok, auch wenn die Formel falsch scheint.
>
> [mm]\lambda[/mm] ^2 [mm]-4\lambda[/mm] - 21=0
>
> [mm]\lambda[/mm] 1 = 7
> [mm]\lambda[/mm] 2 = -3
>
> Das sind die beiden Eigenwerte
Auch das ist ok.
>
>
> Jetzt habe ich das Problem bei der Berechnung der
> Eigenvektoren.
> Ausgangsformel ist folgende:
> [mm](A-\lambda[/mm] I) x = 0
>
> x wird berechnet weil das die Eigenvektoren sind
>
> jetzt setze ich [mm]\lambda[/mm] 1 = 7 in die matrix oben ein
>
> A = [mm]\pmat{ 12- \lambda & -15 \\
5 & -8-\lambda }[/mm]
>
> Es entsteht nun folgendes:
>
> [mm]\pmat{ 5 & -15 \\
5 & -15}[/mm] (x) =0
Das passt leider nicht ganz.
Nutze die Definition [mm] $A\cdot\vec{x}=\lambda\cdot\vec{x}$ [/mm]
Bedenke, dass [mm] $\vec{x}={x_{1}\choose x_{2}}$
[/mm]
Das führt zu:
[mm] $\pmat{ 12 & -15 \\ 5 & -8}\cdot{x_{1}\choose x_{2}}=7\cdot{x_{1}\choose x_{2}}$
[/mm]
bzw.
[mm] $\pmat{ 12 & -15 \\ 5 & -8}\cdot{x_{1}\choose x_{2}}=-3\cdot{x_{1}\choose x_{2}}$
[/mm]
Bestimme aus diesen beiden linearen Gleichungssysteme die Eigenvektoren [mm] \vec{x}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 28.12.2012 | | Autor: | mathez2 |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Könnte man deine Antwort so zusammenfassen:
Zur Berechnung Eigenwerte gilt:
det (C) = ad - cb (auch bei mehr als 2 ?)
Zur Berechnung Eigenvektoren gilt:
Ax = [mm] \lambda [/mm] x
Berechnung Eigenvektoren für [mm] \lambda1 [/mm] = 7
I [mm] 12x_{1} [/mm] - [mm] 15x_{2}= 7x_{1}
[/mm]
II [mm] 5x_{1}-8x_{2}= 7x_{2}
[/mm]
II [mm] 5x_{1}-8x_{2}= 7x_{2}
[/mm]
[mm] 5x_{1} [/mm] = 15
[mm] x_{1}= [/mm] 3
[mm] x_{1} [/mm] einsetzen in Gleichung I
[mm] 12x_{1} [/mm] - [mm] 15x_{2}= 7x_{1}
[/mm]
12 * 3 - [mm] 15x_{2}= [/mm] 21
[mm] x_{2}= [/mm] 1
Eigenvektoren sind:
[mm] x_{1}= [/mm] 3
[mm] x_{2}= [/mm] 1
analog für [mm] \lambda2 [/mm] = -3
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Könnte man deine Antwort
> so zusammenfassen:
>
> Zur Berechnung Eigenwerte gilt:
>
> det (C) = ad - cb (auch bei mehr als 2 ?)
Nein, diese Formel gilt fur für [mm] 2$\times$2-Matrizen.
[/mm]
>
> Zur Berechnung Eigenvektoren gilt:
>
> Ax = [mm]\lambda[/mm] x
>
>
> Berechnung Eigenvektoren für [mm]\lambda1[/mm] = 7
> I [mm]12x_{1}[/mm] - [mm]15x_{2}= 7x_{1}[/mm]
> II [mm]5x_{1}-8x_{2}= 7x_{2}[/mm]
>
>
> II [mm]5x_{1}-8x_{2}= 7x_{2}[/mm]
> [mm]5x_{1}[/mm] = 15
> [mm]x_{1}=[/mm] 3
>
> [mm]x_{1}[/mm] einsetzen in Gleichung I
>
> [mm]12x_{1}[/mm] - [mm]15x_{2}= 7x_{1}[/mm]
> 12 * 3 - [mm]15x_{2}=[/mm] 21
> [mm]x_{2}=[/mm] 1
>
> Eigenvektoren sind:
>
> [mm]x_{1}=[/mm] 3
> [mm]x_{2}=[/mm] 1
Nein, der Eigenvektor wäre hier [mm] $\vec{x}={3\choose1}$, [/mm] wenn deine Rechnung stimmen würde, die [mm] x_i [/mm] sind die Komponenten des Eigenvektors.
Außerdem hast du das Gleichungssystem leider falsch berechnet, deine Lösung kann ich nicht einmal nachvollziehen, aber [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] passen nicht, wenn man die Probe macht.
>
>
> analog für [mm]\lambda2[/mm] = -3
Eben.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Fr 28.12.2012 | | Autor: | mathez2 |
oh ich den Eigenwerten und Eigenvektoren sehe ich leider nicht mehr durch.Ich verstehe den Rechenweg nicht wie Eigenvektoren berechnet werden
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> oh ich den Eigenwerten und Eigenvektoren sehe ich leider
> nicht mehr durch.Ich verstehe den Rechenweg nicht wie
> Eigenvektoren berechnet werden #
Für Eigenvektoren [mm] \vec{x} [/mm] zu einem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] gilt:
[mm] $A\cdot\vec{x}=\lambda\cdot\vec{x}$
[/mm]
Daraus kannst du mit der gegebenen Matrix A und dem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] den Eigenvektor [mm] \vec{x} [/mm] berechnen, das funktioniert mit der Lösung eines linearen Gleichungssystemes.
Marius
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