Berechnung Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:58 Di 29.12.2009 | | Autor: | Blue-Eyes |
Hallo!
Ich habe eine Frage zur Berechnung von Konvergenzen und Konvergenzradien. Ich sehe da absolut nicht durch, wie man sowas berechnen soll.
Zwar sagen mir was die drei Konvergenzkriterien (Qoutientenkriterium, Wurzelkriterium und Majorantenkriterium) etwas, aber ich weiß nicht, wie und wann ich diese anwenden soll.
Zur besseren Erklärung habe ich hier mal eine Beispielaufgabe:
Aufgabe: Bestimmen Sie den Kovergenzradius der Potenzreihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^4z^n
[/mm]
Hier bin ich nun mit den Quotientenkriterium ran gegangen. Dieser besagt ja, dass eine Reihe absolut konvergenz ist, wenn gilt:
[mm] |\bruch{a_n+1}{a_n}| [/mm] < 1
Also müsste es nun auf die Aufgabe angewendet heißen:
[mm] |\bruch{(n+1)^4z^{n+1}}{n^4z^n}| [/mm] < 1 ?
Doch danach scheitert es schon bei mir... Fehlt da noch irgendetwas? Habe ich direkt von Anfang an falsch gedacht? Ich wäre euch echt dankbar, wenn man mir das erklären könnte, denn wenn ich das erstmal verstanden habe, dürfte ich ja auch die restlichen Aufgaben schaffen.
MFG
Blue-Eyes
P.S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Blue-Eyes,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo!
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> Ich habe eine Frage zur Berechnung von Konvergenzen und
> Konvergenzradien. Ich sehe da absolut nicht durch, wie man
> sowas berechnen soll.
> Zwar sagen mir was die drei Konvergenzkriterien
> (Qoutientenkriterium, Wurzelkriterium und
> Majorantenkriterium) etwas, aber ich weiß nicht, wie und
> wann ich diese anwenden soll.
>
> Zur besseren Erklärung habe ich hier mal eine
> Beispielaufgabe:
> Aufgabe: Bestimmen Sie den Kovergenzradius der
> Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n^4z^n[/mm]
>
> Hier bin ich nun mit den Quotientenkriterium ran gegangen.
> Dieser besagt ja, dass eine Reihe absolut konvergenz ist,
> wenn gilt:
> [mm]|\bruch{a_n+1}{a_n}|[/mm] < 1
>
> Also müsste es nun auf die Aufgabe angewendet heißen:
>
> [mm]|\bruch{(n+1)^4z^{n+1}}{n^4z^n}|[/mm] < 1 ?
>
> Doch danach scheitert es schon bei mir... Fehlt da noch
> irgendetwas? Habe ich direkt von Anfang an falsch gedacht?
> Ich wäre euch echt dankbar, wenn man mir das erklären
> könnte, denn wenn ich das erstmal verstanden habe, dürfte
> ich ja auch die restlichen Aufgaben schaffen.
Es muß ja gelten:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n+1}{a_n}|<1[/mm]
Hier also:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)^4z^{n+1}}{n^4z^n}|<1[/mm]
Berechne daher
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)^4z^{n+1}}{n^4z^n}|[/mm]
> MFG
> Blue-Eyes
>
> P.S.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower!
Erstmal danke, dass du mir geantwortet hast.
Wie ich also sehe, war mein Grundgedanke gar nicht mal so schlecht, denn auf das [mm] |\bruch{(n+1)^4z^{n+1}}{n^4z^n}| [/mm] war ich ja soweit schon gekommen, ich hatte nur den Limes n gegen Unendlich vergessen. ;)
Aber wie rechne ich da weiter? In der Schule wurde mir dann einfach gesagt: Setze einfach mal Zahlen ein und schaue, was raus kommt! Ich denke aber nicht, dass das Sinn der Sache ist...
Man muss ja irgendeine Zahl raus bekommen, wo man dann sagen kann, ob es <1, =1 oder >1 ist.
Und ist diese errechnete Zahl dann auch gleich der Konvergenzradius? Geht ja eigentlich nicht, da diese Rechnung dann doch nur sagt, ob es eine absolut konvergente Reihe ist, oder?
MFG
Blue-Eyes
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Hallo BlueEyes,
> Hallo MathePower!
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> Erstmal danke, dass du mir geantwortet hast.
> Wie ich also sehe, war mein Grundgedanke gar nicht mal so
> schlecht, denn auf das [mm]|\bruch{(n+1)^4z^{n+1}}{n^4z^n}|[/mm] war
> ich ja soweit schon gekommen, ich hatte nur den Limes n
> gegen Unendlich vergessen. ;)
> Aber wie rechne ich da weiter? In der Schule wurde mir
> dann einfach gesagt: Setze einfach mal Zahlen ein und
> schaue, was raus kommt! Ich denke aber nicht, dass das Sinn
> der Sache ist...
Nein, ist es sicher nicht 
> Man muss ja irgendeine Zahl raus bekommen, wo man dann
> sagen kann, ob es <1, =1 oder >1 ist.
> Und ist diese errechnete Zahl dann auch gleich der
> Konvergenzradius?
Jein.
Der Konvergenzradius ist [mm] $\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4}{(n+1)^4}=...=1$
[/mm]
> Geht ja eigentlich nicht, da diese
> Rechnung dann doch nur sagt, ob es eine absolut konvergente
> Reihe ist, oder?
Hmm?
Nun, rechne doch weiter:
Es ist [mm] $\left|\frac{(n+1)^4\cdot{}z^{n+1}}{n^4\cdot{}z^n}\right|=|z|\cdot{}\frac{n^4}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}=|z|\cdot{}\frac{n^4}{n^4\cdot{}\left(1+\frac{4}{n}+\frac{6}{n^2}+\frac{4}{n^3}+\frac{1}{n^4}\right)}$
[/mm]
Nun kürze [mm] $n^4$ [/mm] weg und mache den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Es ergibt sich [mm] $|z|\cdot{}1=|z|$
[/mm]
Gem. QK also (absolute) Konvergenz für $|z|<1$
>
> MFG
> Blue-Eyes
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus!
Auch dir erstmal danke...
Aber ich versteh das alles immer noch nicht... Ich hab da echt ein Brett vor den Kopf was da alles getan wurde.
Wieso ist der Konvergenzradius 1? Was wurde da denn gerechnet? Und warum fällt da einfach das z weg? Das kann doch nicht einfach wegfallen...
Und auch bei der absoluten Konvergenz verstehe ich die Rechnung absolut nicht. Könntest du mir bitte noch mal Idiotensicher erklären, warum du den Schritt getan hast und was du da genau getan hast? Wobei mir da ja der allerletze Schritt mit den wegkürzen und den Nullfolgen klar ist, weshalb du da dann auf |z| * 1 kommst... Es geht wirklich nur um den Weg dorthin. Ich seh einfach nicht, was da alles getan wurde.
MFG
Blue-Eyes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mi 30.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast offensichtlich nicht richtig gesehen, was der Konvergenzradius ist.
Der Radius gibt an fuer welche z die entsprechende Reihe konvergiert. hier fuer allse |z|<1 also ist der Radius, in dem sich alle z befinden, fuer die die reihe konvergiert 1.
Den Beweis, warum man das durch [mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n/a_{n+1} [/mm] rauskriegt oder durch [mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}1/\wurzel[n]{a_n} [/mm] habt ihr sicher gemacht, oder du liest ihn im skript oder Buch nach.
dabie sind die [mm] a_n [/mm] die Faktoren vor [mm] z^n, [/mm] also ohne die z.
Gruss leduart
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Hey leduart!
Also das eine ist ja das Quotientenkriterium und das andere das Wurzelkriterium. Aber irgendwie hatte ich mir dazu nur aufgeschrieben, dass das jeweils immer <1 sein muss. Aber der Konvergenzradius kann ja nicht immer 1 sein. Es würde ja auch 3, 300 oder sogar unendlich gehen.
Aber wenn ich diese Kriterien ansetze, dann verschwinden solche Zahlen mit z einfach, ja?
MFG
Blue-Eyes
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Hallo Blue-Eyes,
> Also das eine ist ja das Quotientenkriterium und das andere
> das Wurzelkriterium. Aber irgendwie hatte ich mir dazu nur
> aufgeschrieben, dass das jeweils immer <1 sein muss.
Achtung, hier nichts verwechseln!
Du redest gerade von den Konvergenzkriterien, d.h. von den Kriterien, dass eine Reihe (beliebiger Form) konvergiert!
In deiner Aufgabe geht es aber um den "Konvergenzradius" von sog. Potenzreihen der Form [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}.
[/mm]
Diesen kann man mit den beiden oben von leduart angegebenen Formeln berechnen.
Natürlich bauen diese Formeln gerade auf den beiden Konvergenzkriterien auf, aber sie geben etwas völlig anderes "zurück", nämlich den Konvergenzradius.
Um zu verstehen, warum die ![[]](/images/popup.gif) Formeln für die Konvergenzradien so ähnlich aussehen (sie sind "ungefähr" die Reziproken der Formel von den Konvergenzkriterien), solltest du dir nochmal die Beweise der Konvergenzradius-Formeln ansehen.
Grüße,
Stefan
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