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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie im [mm] \IR^{3} [/mm] die lineare Hülle der Familie M:= [mm] (\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3} [/mm] | x=y oder x=1). |
Okay, also ich weiß was eine lineare Hülle ist! Jedoch weiß ich nicht, wie ich an solch eine Aufgabe rangehe! Könnt ihr mir helfen?
LG.
Thomas
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> Berechnen Sie im [mm]\IR^{3}[/mm] die lineare Hülle der Familie M:=
> [mm](\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}[/mm] | x=y oder x=1).
> Okay, also ich weiß was eine lineare Hülle ist! Jedoch
> weiß ich nicht, wie ich an solch eine Aufgabe rangehe!
> Könnt ihr mir helfen?
Hallo,
am besten stllst Du zuerst mal fest, welche Vektoren in M enthalten sind. Wie sehen die aus?
Anschließend kannst du über die Menge ihrer Linearkombinationen nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Okay, in der Menge M sind doch alle Verktoren enthalten, für gilt x=y oder x=1. Aber was sagt mir das jetzt? Mir fehlt jeglicher Ansatz!
LG.
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> Okay, in der Menge M sind doch alle Verktoren enthalten,
> für gilt x=y oder x=1. Aber was sagt mir das jetzt? Mir
> fehlt jeglicher Ansatz!
> LG.
Hallo,
was meinst Du damit, daß Dir jeglicher Ansatz fehlt?
Schreib doch mal auf, welche Vektoren da drin sind. Die haben soch ein bestimmtes Aussehen. Wie sehen sie aus?
Und wenn Du das weißt, dann kannst Du über die lineare Hülle nachdenken. Wie groß ist überigens die lineare Hülle höchstens?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Also ich denke, dass die lineare Hülle maximal der [mm] \IR^{3} [/mm] sein kann, oder?
Naja, entweder sie haben die Gestalt [mm] \vektor{x \\ x \\ z} [/mm] oder [mm] \vektor{1 \\ y \\ z} [/mm] ? Richtig?
LG.
Thomas
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> Also ich denke, dass die lineare Hülle maximal der [mm]\IR^{3}[/mm]
> sein kann, oder?
Hallo,
genau.
Deshalb lohnt es sich, darüber nachzudenken, ob in M vielleicht eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] enthalten ist, denn dann muß die Hülle ja [mm] =\IR^3 [/mm] sein.
> Naja, entweder sie haben die Gestalt [mm]\vektor{x \\ x \\ z}[/mm]
> oder [mm]\vektor{1 \\ y \\ z}[/mm] ? Richtig?
Ja. Jetzt such Dir hieraus eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] zusammen , und damit bist Du dann nahezu fertig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Okay, habe ich verstanden! Nur das "oder" bringt mich dann total durcheinander! Also wenn ich die Standardbasis des [mm] \IR^{3} [/mm] nehme [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}), [/mm] was bedeutet das jetzt? Bringe ich die drei Vektoren jetzt einfach auf die Form [mm] \vektor{x \\ x \\ z} [/mm] oder wie?
LG.
Thomas
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> Okay, habe ich verstanden! Nur das "oder" bringt mich dann
> total durcheinander! Also wenn ich die Standardbasis des
> [mm]\IR^{3}[/mm] nehme [mm](\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}),[/mm]
> was bedeutet das jetzt?
Hallo,
die Standardbasis ist eine schlechte Wahl, denn [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] sind ja nicht in M enthalten, denn sie haben weder eine 1 als erste Komponente, noch sind die beiden ersten Komponenten gleich.
Den ersten Einheitsvektor kannst du aber gebrauchen, der ist drin. Nun such noch zwei der Form [mm] \vektor{a\\a\\b}, [/mm] die den ersten ergänzen zu einer Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Also zum Beispiel: [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] ?
Aber das ist doch jetzt noch nicht die lineare Hülle?
LG
Thomas
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> Also zum Beispiel: [mm](\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
> ?
Genau. Die sind in M und sie sind eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
> Aber das ist doch jetzt noch nicht die lineare Hülle?
Das nicht.
Aber sie sind eine Teilmenge von M. Folglich ist ihre lineare Hülle eine Teilmenge der linearen Hülle von M. Und was ist ihre lineare Hülle? Also?
gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Naja, also ich denke doch mal der [mm] \IR^{3} [/mm] selber? Oder?
LG.
Thomas
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> Naja, also ich denke doch mal der [mm]\IR^{3}[/mm] selber? Oder?
Hallo,
ja, so ist es. Weil die besagten drei Vektoren in M sind, enthält M also ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3, [/mm] und daher kann die lineare Hülle nichts anderes sein als der [mm] \IR^3 [/mm] selber.
Gruß v. Angela
>
> LG.
> Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Wunderbar. Danke.
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