Berechnung Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 12.10.2004 | | Autor: | betthase |
Hallo ihr lieben!!!
Ja, ja, schon wieder ich mit immernoch dem gleichen Thema!!!
Wie kann man einfach den Rang einer Matrix berechnen, gibt es da ein Schema?
ich blick nämlich nicht durch, wie die diese Zeilen oder Spalten ändern und wann man die ändert und wie und überhaupt,...
achja, und wenn man dann alles rausgekürzt hat, woran erkennt man dann welcher rang nun dasteht???
Wann nimmt man zeilentransformation, wann spaltentransformation (was ist das überhaupt?)?
Bitte helft mir dieser "Rang " macht mich fertig!!!
liebe Grüsse Bettina
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Nochmal Hallo Bettina!
Ganz ruhig, keine Panik... das kriegen wir schon hin. 
Zunächst zu der Frage "Zeilen oder Spalten": ich werde Dir das Ganze für die Zeilen erklären (sog. "Zeilenrang"), aber es gibt einen nicht-trivialen Satz, der besagt, dass exakt das gleiche herauskommt, wenn man es für die Spalten macht.
Zunächst mal die erlaubten Operationen:
Typ I: Man darf eine Zeile mit einem Faktor [mm] $\lambda \not= [/mm] 0$ multiplizieren.
Typ II: Man darf eine Zeile zu einer anderen addieren.
Typ III: Man darf ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren.
Typ IV: Man darf zwei Zeilen tauschen.
Wie ich in dem anderen Post schon versucht habe zu motivieren, sind diese Operationen deshalb erlaubt, weil sie die Lösungsmenge nicht ändern, wenn man die Matrix als zu einem linearen Gleichungssystem gehörig auffaßt.
Also ans Werk! Wenn ich eine Matrix gegeben habe, die nicht die 0-Matrix ist (andernfalls ist der Rang gleich 0) gehe ich in die erste Spalte, die ein Element ungleich 0 enthält.
Falls ganz oben in der Spalte eine 0 steht, tausche ich ggf. zwei Zeilen, damit ganz oben etwas von 0 verschiedenes steht (Typ IV).
Unsere Matrix sieht nun so aus:
[mm] $\pmat{0&\cdots&0&a&x&\cdots&x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & x & x& \cdots & x}$
[/mm]
Dabei ist das $a [mm] \not=0$ [/mm] und die $x$ stehen für irgendwelche Einträge.
Jetzt fange ich an, die Einträge unter dem $a$ zu "löschen". Mein Ziel ist es, in dieser Spalte oben das $a$ stehenzulassen und sonst nur 0en darunter zu haben. Und das geht mit meinen Operationen!
Wenn nämlich in einer Zeile unter dem $a$ eine Zahl $c [mm] \not= [/mm] 0$ steht, dann bilde ich das [mm] $\frac{c}{a}$-fache [/mm] der ersten Zeile und ziehe das von dieser Zeile ab (Typ III). Durch Multiplikation von $a$ mit [mm] $\frac{c}{a}$ [/mm] erhalte ich ein $c$ und wenn das von dem $c$ abgezogen wird, was da schon steht, erscheint eine 0.
Die Matrix sieht also jetzt so aus:
[mm] $\pmat{0&\cdots&0&a&x&\cdots&x \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & x& \cdots & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & x& \cdots & x}$
[/mm]
Jetzt gehe ich weiter die Matrix durch und ignoriere dabei die erste Zeile. Ich gehe also in die erste Spalte rechts von der $a$-Spalte, in der es ein Element ungleich 0 außerhalb der ersten Zeile gibt. Und dann beginne ich im Grunde von vorne: durch Tauschen von Zeilen (Typ IV) kann ich erreichen, dass dieses Element in der zweiten Zeile steht (die erste ist quasi "fertig" und wird nicht mehr berührt). Dann lösche ich wie eben alle darunter und mache weiter.
Das mache ich so lange, wie ich noch Spalten habe, in denen Elemente ungleich 0 stehen. Am Ende erhalte ich die sogenannte "Zeilenstufenform" (weil von links betrachtet eine Art Treppe aus Elementen ungleich 0 entsteht) und die Anzahl der noch übriggebliebenen Zeilen mit Elementen ungleich 0 darin (die Anzahl der Stufen) heißt "Rang" der Matrix.
Hier ein Beispiel für eine Matrix in Zeilenstufenform:
[mm] $\pmat{0&3&4&0&-5 \\ 0&0&0&7&0 \\ 0&0&0&0&-3 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0}$
[/mm]
Diese Matrix hat den Rang 3, weil noch 3 Zeilen übrig sind, es also 3 Stufen gibt. Die jeweils ersten Elemente einer Zeile, die von 0 verschieden sind, heißen auch "Pivot"-Elemente (Pivot = Dreh- bzw. Angelpunkt). Bei einem linearen Gleichungssystem entsprechen die Zeilen mit Pivotelement gerade den gebundenen Variablen, wie im anderen Post erläutert.
Puh... alles klar? Keine Angst, Du verstehst das schon: ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Schöne Grüße,
Lars
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