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| Aufgabe | Welche Singularität (Polstelle oder wesentliche Singularität) hat die Funktion
a) [mm]w=e^{-\bruch{1}{z}}[/mm] in [mm]z=\infty[/mm]
b) [mm]w=\bruch{z^{3}+1}{e^{z}}[/mm] in [mm]z=\infty[/mm]
und wie lautet ihr Residuum dort? |
Hallo!
Diese Aufgabe hat noch mehr Unteraufgaben, die ich alle bis auf diese beiden lösen konnte.
Für die beiden Fälle in a) und b) ist der Residuensatz offenbar nicht "stur" anwendbar, da ich die Pole nicht einfach kürzen kann.
Um überhaupt an das Residuum heranzukommen, habe ich den Hinweis aus Jänich bzw. Greuel verfolgt und folgendes festgelegt:
[mm]f(z)=w[/mm]
[mm]g(z)=f(\bruch{1}{z})[/mm]
Damit gilt:
[mm]Res(f,z)|_{z \to \infty}=Res(g,z)|_{z \to 0}[/mm]
Die Überlegung hierbei ist, dass die Funktion [mm]g(z)[/mm] im Punkt [mm]z=0[/mm] die gleiche Singularität besitzt, wie [mm]f(z)[/mm] im Punkt [mm]z=\infty[/mm].
Konkret an der Aufgabe:
a) [mm]f(z)=w=e^{-\bruch{1}{z}}[/mm] in [mm]z=\infty[/mm]
[mm]g(z)=f(\bruch{1}{z})=e^{-z}=\bruch{1}{e^{z}}[/mm] in [mm]z=0[/mm]
An dieser Stelle weiß ich nun nicht, ob ich einfach den Grenzwert mit [mm]z \to 0[/mm] berechnen darf oder ich die e-Fkt. erstmal als Potenzreihe darstellen muss.
b) [mm]f(z)=w=\bruch{z^{3}+1}{e^{z}}[/mm] in [mm]z=\infty[/mm]
[mm]g(z)=f(\bruch{1}{z})=\bruch{\bruch{1}{z^{3}}+1}{e^{\bruch{1}{z}}}=\bruch{z^{3}+1}{z^{3}*e^{\bruch{1}{z}}}[/mm] in [mm]z=0[/mm]
Hier wollte ich nun eine Entwicklung in eine Laurent-Reihe durchführen, um das [mm]c_{-1}[/mm]-Glied zu erhalten, bekomme da aber leider beim Koeffizientenvergleich keine endlich beschriebenen Koeffizienten raus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schonmal.
Viele Grüße,
Mario
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 06.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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