Berechnung des Taylor-Polynoms < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Fr 13.07.2012 | | Autor: | deb01 |
| Aufgabe | Stellen Sie das Taylor-Polynom vierter Ordnung für
f(x) = [mm] x\* \integral_{0}^{2x} {e^(t^2) dt}
[/mm]
zum Entwicklungspunkt x0=0 |
Hallo Leute,
ich brauche mal wieder Eure Hilfe.
Ich gehe gerade die alten Klausuren durch. Taylor-Polynome kann ich ja berechnen, aber hier ist die Funktion als {f(x)} gegeben, das Integral jedoch soll nach dt abgeleitet werden.
Ich hätte jetzt ganz normal die ersten 4 Ableitungen nach x gemacht, danach mit dem Taylor-Polynom
[mm] T4(x,0)={f(0)}+\bruch{f'(0)}{/1!}\*x+\bruch{f''(0)}{/2!}\*x^2+\bruch{f'''(0)}{/3!}\*x^3+\bruch{f''''(0)}{/4!}\*x^4
[/mm]
Aber hier habe ich absolut keinen schimmer wie ich anfangen soll?
Gruß
Deniz
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Hallo deb01,
> Stellen Sie das Taylor-Polynom vierter Ordnung für
> f(x) = [mm]x\* \integral_{0}^{2x} {e^(t^2) dt}[/mm]
> zum
> Entwicklungspunkt x0=0
> Hallo Leute,
>
> ich brauche mal wieder Eure Hilfe.
> Ich gehe gerade die alten Klausuren durch. Taylor-Polynome
> kann ich ja berechnen, aber hier ist die Funktion als
> {f(x)} gegeben, das Integral jedoch soll nach dt abgeleitet
> werden.
>
> Ich hätte jetzt ganz normal die ersten 4 Ableitungen nach
> x gemacht, danach mit dem Taylor-Polynom
>
> [mm]T4(x,0)={f(0)}+\bruch{f'(0)}{/1!}\*x+\bruch{f''(0)}{/2!}\*x^2+\bruch{f'''(0)}{/3!}\*x^3+\bruch{f''''(0)}{/4!}\*x^4[/mm]
>
> Aber hier habe ich absolut keinen schimmer wie ich anfangen
> soll?
>
Es ist doch
[mm]f\left(x\right)=\left g\left(x,t\right) \right|_{t=0}^{t=2*x}[/mm]
Damit ist t von x abhängig.
Demnach ist
[mm]g\left(x,t\left(x\right)\right)[/mm]
gemäß der verallgemeinerten Kettenregel zu differenzieren.
> Gruß
>
> Deniz
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Fr 13.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hallo Mathepower,
erstmal vielen Dank für die Antwort.
Ganz ehrlich, ich versteh nicht was Du damit meinst. Könntest Du mir das anhand eines einfachen beispiels erklären?
Gruß
Deniz
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Hallo deb01,
> Hallo Mathepower,
>
> erstmal vielen Dank für die Antwort.
> Ganz ehrlich, ich versteh nicht was Du damit meinst.
> Könntest Du mir das anhand eines einfachen beispiels
> erklären?
>
Es ist doch
[mm]f\left(x\right)=x*\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}=g\left(x,2x\right)-g\left(x,0\right)[/mm]
Das kann auch etwas anders geschrieben werden:
[mm]f\left(x\right)=x*\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}=\left g\left(x,t\right) \right|_{t=0}^{t=2*x}[/mm]
Damit ist
[mm]g\left(x,t\left(x\right)\right)[/mm]
nach der Kettenregel zu differenzieren:
[mm]\bruch{df\left(x\right)}{dx}=\bruch{dx}{dx}*\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}+x*\bruch{d}{dx} \left( \ \integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}}\ dt} \ \right)=\bruch{dx}{dx}*\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}+x*\bruch{d}{dx} \left( \ 2x \ \right) *e^{\left(2x\right)^{2}}[/mm]
Das Integral an der Entwicklungsstelle auszuwerten,
sollte kein Problem darstellen.
> Gruß
>
> Deniz
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Fr 13.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hallo Mathepower,
ich kann absolut alles nachvollziehen, bis auf die letzte Zeile.
Die kann ich soweit auch noch nachvollziehen, aber wie soll ich das Integral am Entwicklungspunkt darstellen, wenn ich wie Du angegeben hast
[mm] \bruch{dx}{dx}*\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}+x*\bruch{d}{dx} \left( \ 2x \ \right) *e^{\left(2x\right)^{2}}
[/mm]
einmal dt und andersrum dx habe.
Für das Taylor-Polynom 4.Grades gilt doch:
die ersten 4 Ableitungen und dann nach der von mir oben angeführten Formel nach dem Entwicklungspunkt.
Ich soll ja nach x ableiten, aber was passiert mit t und dt?
Gruß
Deniz
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Hallo deb01,
> Hallo Mathepower,
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> ich kann absolut alles nachvollziehen, bis auf die letzte
> Zeile.
> Die kann ich soweit auch noch nachvollziehen, aber wie
> soll ich das Integral am Entwicklungspunkt darstellen, wenn
> ich wie Du angegeben hast
>
Für die Entwicklungsstelle gilt doch 2*0=0.
Damit ist der Wert des Integrals ...
> [mm]\bruch{dx}{dx}*\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}+x*\bruch{d}{dx} \left( \ 2x \ \right) *e^{\left(2x\right)^{2}}[/mm]
>
> einmal dt und andersrum dx habe.
>
> Für das Taylor-Polynom 4.Grades gilt doch:
>
> die ersten 4 Ableitungen und dann nach der von mir oben
> angeführten Formel nach dem Entwicklungspunkt.
> Ich soll ja nach x ableiten, aber was passiert mit t und
> dt?
>
"dt" ist die Integrationsvariable,
die bleibt bei der Ableitung nach x unberührt.
Für t setzt Du einmal 2x ein, und einmal 0".
Das sind die Grenzen des Integrals.
Korrekt wäre eigentlich:
[mm]\bruch{dx}{dx}*\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}+x*\bruch{d}{dx} \left( \ 2x \ \right) *e^{\left(2x\right)^{2}}-x*\bruch{d}{dx} \left( \ 0 \ \right) *e^{\left(0)^{2}}[/mm]
> Gruß
>
> Deniz
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Fr 13.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Achso,
das bedeutet dann dass ich nur
[mm] x*\bruch{d}{dx} \left( \ 2x \ \right) *e^{\left(2x\right)^{2}}
[/mm]
nach x 4 mal ableite und in die Ableitungen jeweils 0 einsetze.
Bedeutet, dass meine Lösung dann abhängig von t ist, habe ich das richtig verstanden?
Vielen Dank für Deine Mühe Mathepower!!!
Lg
Deniz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst den ganzen Term weiter ableiten, nicht nur den zweiten.
und nochmal f(x) hat nichts mit t zu tun, über t wird doch integriert! die Funktion f(x) ist NUR von x abhängig, und damit auch alle ihre Ableitungen!
[mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] ist doch nicht von t abhängig sondern nur von a und b!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 15.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hallo leduart, Hallo Mathepower,
wäre dann so die erste Ableitung richtig?
[mm] 16x^2⋅e^4x^2+2e^4x^2 [/mm] + [mm] e^t^2
[/mm]
Gruß
Deniz
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Hallo deb01,
> Hallo leduart, Hallo Mathepower,
>
> wäre dann so die erste Ableitung richtig?
>
> [mm]16x^2⋅e^4x^2+2e^4x^2[/mm] + [mm]e^t^2[/mm]
>
Der erste Summand kommt doch erst bei der zweiten Ableitung vor:
[mm]16*x^{2}*e^{4*x^{2}}[/mm]
Die restlichen Summanden stimmen nicht.
> Gruß
>
> Deniz
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 So 15.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hi Mathepower,
Sorry, war total falsch:
also, die 1.Ableitung wäre
[mm] (e^{2x^2})*(2+8x^2)
[/mm]
und die 2.Ableitung
[mm] (e^{2x^2})*(16x+8x^2)
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo deb01,
> Hi Mathepower,
>
> Sorry, war total falsch:
>
> also, die 1.Ableitung wäre
>
> [mm](e^{2x^2})*(2+8x^2)[/mm]
>
> und die 2.Ableitung
>
> [mm](e^{2x^2})*(16x+8x^2)[/mm]
>
> Stimmt das?
Das stimmt leider nicht.
Poste dazu die Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 15.07.2012 | | Autor: | deb01 |
[mm] 2x*e^{(2x)^2}
[/mm]
1.Ableitung
[mm] 2*e^{(2x)^2}+2x*4x*e^{(2x)^2}
[/mm]
[mm] =2*e^{(2*x)^2}+(8x^2)*e^{(2x)^2}
[/mm]
[mm] =e^{(2x)^2}*(2+8x^2)
[/mm]
das stimmt doch?
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Hallo deb01,
> [mm]2x*e^{(2x)^2}[/mm]
>
Die 1.Ableitung muss doch lauten:
[mm]\red{\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}}+2x*e^{(2x)^2}[/mm]
> 1.Ableitung
>
> [mm]2*e^{(2x)^2}+2x*4x*e^{(2x)^2}[/mm]
> [mm]=2*e^{(2*x)^2}+(8x^2)*e^{(2x)^2}[/mm]
> [mm]=e^{(2x)^2}*(2+8x^2)[/mm]
>
> das stimmt doch?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 15.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Ja, aber das t ist doch die integrationsvariable, und diese bleibt doch unberührt.
Bei der Ableitung habe ich einen Fehler entdeckt, korrekt wäre die 1.Ableitung doch dann:
[mm] 8x*e^{(4*x)^2}
[/mm]
und die 2.Ableitung
[mm] 64x^2*e^{(4x)^2}+8*e^{(4x)^2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 15.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Sorry, wieder falsch:
korrekt wäre
[mm] 16x^2*e^{(4x)^2}+2*e^{(4x)^2}
[/mm]
und die 2.Ableitung
[mm] 128x^3*e^{(4x)^2}+48x*e^{(4x)^2}
[/mm]
Das stimmt jetzt aber, oder?!
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Hallo deb01,
> Sorry, wieder falsch:
>
> korrekt wäre
>
> [mm]16x^2*e^{(4x)^2}+2*e^{(4x)^2}[/mm]
>
> und die 2.Ableitung
>
> [mm]128x^3*e^{(4x)^2}+48x*e^{(4x)^2}[/mm]
>
> Das stimmt jetzt aber, oder?!
Nein.
Siehe dazu diesen Artikel
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 So 15.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hi Mathepower,
sorry aber ich gebe es auf. Ich kapier diese Aufgabe einfach nicht.
Danke für Deine Mühen und Zeit.
Lg
Deniz
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Hallo deb01,
> Hi Mathepower,
>
> sorry aber ich gebe es auf. Ich kapier diese Aufgabe
> einfach nicht.
Es ist
[mm]f'\left(x\right)=\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}+2x*e^{\left(2x\right)^{2}}[/mm]
Dies wird jetzt wiederum nach "x" differenziert.
Das Problem ist die Ableitung des Integrals.
Diese Ableitung ist:
[mm]\bruch{d}{dx}\integral_{0}^{2x}{e^{t^{2}} \ dt}=2*e^{\left(2*x\right)^{2}}[/mm]
Damit ist
[mm]f''\left(x\right)=2*e^{\left(2*x\right)^{2}}+\left( \ 2x*e^{\left(2x\right)^{2}} \ \right)'[/mm]
> Danke für Deine Mühen und Zeit.
>
> Lg
>
> Deniz
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 15.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Dankeschön Mathepower,
habe es gerade versucht nachzuvollziehen, aber leider wird das nichts mit mir.
Ich verstehe die Ableitungen nicht, und davon brauche ich für die Aufgabe 4 Ableitungen.
Desweiteren verstehe ich nicht mal, wie ich das Taylorpolynom darauf anwenden soll.
Wie gesagt, ich gebe es auf.
Danke für alles!!!
Lg
Deniz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 So 15.07.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo deb01,
> Dankeschön Mathepower,
>
> habe es gerade versucht nachzuvollziehen, aber leider wird
> das nichts mit mir.
>
> Ich verstehe die Ableitungen nicht, und davon brauche ich
> für die Aufgabe 4 Ableitungen.
> Desweiteren verstehe ich nicht mal, wie ich das
> Taylorpolynom darauf anwenden soll.
>
> Wie gesagt, ich gebe es auf.
>
Schade.
> Danke für alles!!!
>
> Lg
>
> Deniz
Gruss
MathePower
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Hallo deb01,
> Ja, aber das t ist doch die integrationsvariable, und diese
> bleibt doch unberührt.
>
Trotzdem ist das Integral
[mm]\integral_{0}^{2x}{e^{t^2} \ dt}[/mm]
nach "x" abzuleiten.
> Bei der Ableitung habe ich einen Fehler entdeckt, korrekt
> wäre die 1.Ableitung doch dann:
>
> [mm]8x*e^{(4*x)^2}[/mm]
>
> und die 2.Ableitung
>
> [mm]64x^2*e^{(4x)^2}+8*e^{(4x)^2}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch nichts mit dem dt zu tun, das ist doch nur der name der ntegrationsvariablen und mit [mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(s) ds} [/mm] ist doch F'(x)=f(x)
(Hauptsatz der Differential 0 und Integralrechnung)
dann noch Kettenregel weil die obere Grenze 2x statt x ist .
Gruss leduart
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