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| Aufgabe | Mathematisches Modell des Bausparens:
Text aus Formelsammlung:
Bezeichnungen (die benötigten):
V - Bausparsumme
A - Sparbetrag pro Zeiteinheit
s - Sparzeit (Wartezeit auf Darlehen) in Zeiteinheiten
r - Aufzinsungsfaktor pro Zeiteinheit in der Sparphase
G, [mm] G_{k}, [/mm] G - Sparguthaben
Typische Konditionen (die benötigten):
- Zeiteinheit ist ein quartal
- Verzinsung erfolgt nachschüssig quartalsweise
- Spar- und Tilgungszahlungen erfolgen monatlich
- Sparzins p.a. beträgt 1%
Formeln:
[mm] G_{k} [/mm] = [mm] A*\bruch{r^{k}-1}{r-1} [/mm] - Guthaben nach k Zeiteinheiten
G = [mm] \summe_{k=0}^{s-1}G_{k} [/mm] = [mm] \bruch{A}{r-1}*(\bruch{r^{s}-1}{r-1}-s) [/mm] - Gesamtguthaben in der Sparphase |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Bausparmathematik und habe mir meine Formeln soweit selber hergeleitet
und wollte sie zum Schluss mit den Formeln aus einer Formelsammlung vergleichen.
Die Formel aus der Formelsammlung für das Gesamtguthaben G will mir aber einfach nicht einleuchten.
Wenn ich jedes Quartal einen Betrag A spare und dieser jedes Quartal verzinst wird (wie oben angegeben),
dann gilt doch für mein Gesamtguthaben in der Sparphase nach n Jahren (k=4*n Quartale):
i = 1% - Guthabenzins
r = 1 + i/4 - Aufzinsungsfaktor pro Quartal
[mm] G_{k} [/mm] = [mm] A*r^{k-1} [/mm] + [mm] A*r^{k-2} [/mm] + ... + A*r + A = [mm] A*\summe_{j=0}^{k-1}r^{j} [/mm] = [mm] A*\bruch{r^k-1}{r-1}
[/mm]
Also bei zum Beispiel bei:
V=56000 EUR,
A= 697 EUR (3*4Promille*V),
i=1%,
n=7 Jahre (k=28 Quartale) habe ich ein Guthaben von:
[mm] G_{28} [/mm] = 697 EUR * [mm] \bruch{1.0025^28-1}{1.0025-1} [/mm] = 19465.02 EUR
Bis hierher ist alles klar. Aber was soll die Formel (mit k=s=28 Quartale):
G = [mm] \summe_{k=0}^{s-1}G_{k} [/mm] = [mm] \bruch{A}{r-1}*(\bruch{r^{s}-1}{r-1}-s) [/mm]
= [mm] \bruch{697EUR}{1.0025-1}*(\bruch{1.0025^{28}-1}{1.0025-1}-28)
[/mm]
= 259606.716 EUR
berechnen?
Gruss und Dank
Marten
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo Marten,
> Mathematisches Modell des Bausparens:
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>
> Text aus Formelsammlung:
> Bezeichnungen (die benötigten):
> V - Bausparsumme
> A - Sparbetrag pro Zeiteinheit
> s - Sparzeit (Wartezeit auf Darlehen) in Zeiteinheiten
> r - Aufzinsungsfaktor pro Zeiteinheit in der Sparphase
> G, [mm]G_{k},[/mm] G - Sparguthaben
>
>
> Typische Konditionen (die benötigten):
> - Zeiteinheit ist ein quartal
> - Verzinsung erfolgt nachschüssig quartalsweise
> - Spar- und Tilgungszahlungen erfolgen monatlich
> - Sparzins p.a. beträgt 1%
>
> Formeln:
> [mm]G_{k}[/mm] = [mm]A*\bruch{r^{k}-1}{r-1}[/mm] - Guthaben
> nach k Zeiteinheiten
> G = [mm]\summe_{k=0}^{s-1}G_{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{r-1}*(\bruch{r^{s}-1}{r-1}-s)[/mm] -
> Gesamtguthaben in der Sparphase
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich gerade mit der Bausparmathematik und
> habe mir meine Formeln soweit selber hergeleitet
> und wollte sie zum Schluss mit den Formeln aus einer
> Formelsammlung vergleichen.
> Die Formel aus der Formelsammlung für das Gesamtguthaben G
> will mir aber einfach nicht einleuchten.
>
> Wenn ich jedes Quartal einen Betrag A spare und dieser
> jedes Quartal verzinst wird (wie oben angegeben),
> dann gilt doch für mein Gesamtguthaben in der Sparphase
> nach n Jahren (k=4*n Quartale):
>
> i = 1% - Guthabenzins
> r = 1 + i/4 - Aufzinsungsfaktor pro Quartal
>
> [mm]G_{k}[/mm] = [mm]A*r^{k-1}[/mm] + [mm]A*r^{k-2}[/mm] + ... + A*r + A =
> [mm]A*\summe_{j=0}^{k-1}r^{j}[/mm] = [mm]A*\bruch{r^k-1}{r-1}[/mm]
>
>
> Also bei zum Beispiel bei:
> V=56000 EUR,
> A= 697 EUR (3*4Promille*V),
> i=1%,
> n=7 Jahre (k=28 Quartale) habe ich ein Guthaben von:
>
> [mm]G_{28}[/mm] = 697 EUR * [mm]\bruch{1.0025^28-1}{1.0025-1}[/mm] = 19465.02
> EUR
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Richtig:
56.000*0,004*3 = 672,00
[mm] G_{28} [/mm] = [mm] 672*\bruch{1,0025^{28}-1}{0,0025} [/mm] = 19.465,02
> Bis hierher ist alles klar. Aber was soll die Formel (mit
> k=s=28 Quartale):
> G = [mm]\summe_{k=0}^{s-1}G_{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{r-1}*(\bruch{r^{s}-1}{r-1}-s)[/mm]
> =
> [mm]\bruch{697EUR}{1.0025-1}*(\bruch{1.0025^{28}-1}{1.0025-1}-28)[/mm]
> = 259606.716 EUR
> berechnen?
>
Alle Zahlungen werden nachschüssig getätigt. Für einen einzelnen Bausparer hat sich nach k Quartalen das Guthaben
> Formeln:
> $ [mm] G_{k} [/mm] $ = $ [mm] A\cdot{}\bruch{r^{k}-1}{r-1} [/mm] $
angehäuft.
Nimmt man an, dass in jedem Quartal genau 1 Bausparer mit genau den gleichen Bedingungen und Größen hinzukommt, so entsteht in der Sparzeit s die Gesamtsumme aller eingrzahlten Sparbeiträge, abzüglich des Endguthabens eines Bausparers,
> $ [mm] \bruch{A}{r-1}\cdot{}(\bruch{r^{s}-1}{r-1}-s) [/mm] $
Aus dieser Formel wird auch die Wartezeit s berechnet.
Viele Grüße
Josef
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