Berechnung eines Kugelsektors < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:28 Do 01.01.2009 | | Autor: | Pantau |
| Aufgabe | | Berechnung eines Kugelsektors |
Ich will das Volumen eines Kugelsektors berechnen.
Die einzig brauchbaren Formeln die ich gefunden habe sind die auf Wiki:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment
Allerdings kenne ich aus dieser Formel nur r.
Aber mir ist etwas aufgefallen.
In folgendem Bild sieht man einen Kugelsektor:
http://666kb.com/i/b55vsdmw1zjsjao1x.png
Von diesem Kugelsektor kenne ich den Winkel Aplpha (a) und Betha (b).
Ich kenne außerdem R (rot gechrieben).
Kann man mit den bekannten Werten nicht h ausrechnen, so dass man danach die Formel von Wiki anwenden kann?
Und das ist auch meine Frage, wie kann ich mit den Werten die ich bereits kenne die Höhe h ausrechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo Pantau,
> Berechnung eines Kugelsektors
> Ich will das Volumen eines Kugelsektors berechnen.
> Die einzig brauchbaren Formeln die ich gefunden habe sind
> die auf Wiki:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment
> Allerdings kenne ich aus dieser Formel nur r.
Dort steht auch eine Formel für den Flächen-
inhalt [mm] A_{KK} [/mm] der Kugelkalotte. Dann gilt
[mm] Volumen(Kugelsektor)=\bruch{1}{3}*A_{KK}*r
[/mm]
(analog zur Volumenformel des Kegels)
> Aber mir ist etwas aufgefallen.
> In folgendem Bild sieht man einen Kugelsektor:
> http://666kb.com/i/b55vsdmw1zjsjao1x.png
> Von diesem Kugelsektor kenne ich den Winkel Alpha (a) und
> Beta (b).
> Ich kenne außerdem R (rot geschrieben).
> Kann man mit den bekannten Werten nicht h ausrechnen, so
> dass man danach die Formel von Wiki anwenden kann?
> Und das ist auch meine Frage, wie kann ich mit den Werten
> die ich bereits kenne die Höhe h ausrechnen?
Für R, r und [mm] \alpha [/mm] gilt z.B.: [mm] \bruch{R}{r}=sin(\bruch{\alpha}{2})
[/mm]
Ferner ist h=r-H, wobei [mm] H^2+R^2=r^2
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Do 01.01.2009 | | Autor: | Pantau |
Ich ann mit der Formel zur Kugelkalotte auch nichts anfangen.
was ist AKK?
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> Ich kann mit der Formel zur Kugelkalotte auch nichts
> anfangen.
> was ist AKK?
[mm] A_{KK} [/mm] ist der Flächeninhalt jenes Teils der
Kugeloberfläche, der zum Kugelsektor gehört.
Beispiel: die arktische Zone der Erde, durch
den nördlichen Polarkreis begrenzt, ist
(ungefähr) eine Kugelkalotte.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 01.01.2009 | | Autor: | Pantau |
Der Flächeninhalt der "Teiloberfläche" der Kugel ist mir aber auch nicht bekannt.
Kann ich nicht über die bereits bekannten Werte darauf kommen?
Um das Volumen einer Kugel zu bestimmen brauch man doch auch nur den Radius der Kugel.
Ein "Zeichenprogramm" würde dann automatisch die korrekte "Krümmung" zeichnen. Im Prinzip zeichnet man also einen "Kugelsektor" mit einem Winkel von 360°. Dann hat man eine Kugel.
Ein Kugelsektor mit 180° wäre exakt eine Halbkugel.
"Pflanzt" sich das nicht nach festen Regeln fort, wenn der Winkel immer kleiner wird so, daß man z.B. bei einem angenommenen Winkel von 45° die Krümmung der Teiloberfläche bzw. die Höhe h sofort errechnen kann?
Ich kenne wie gesagt nur den Radius und die beiden Winkel. So konnte ich mit Hilfe des Pythagoras auch den Durchmesser s des "Kegels" ausrechnen (In einem Dreieck brauch man drei Werte und eine Seite um alles in dem Dreieck zu errechnen).
Also konnte ich bereits die Fläche und den Umfang des "Kegels" berechnen.
Wenn diese Fläche genau deviniert ist (und ich kenne bereits alle Werte dieses Kegels), deviniert sich dann nicht automatisch auch die Höhe der Kugelkalotte?
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> Der Flächeninhalt der "Teiloberfläche" der Kugel ist mir
> aber auch nicht bekannt.
Die Formel dafür hast du ja aber in dem von dir ange-
gebenen Wikipedia-Artikel.
> Kann ich nicht über die bereits bekannten Werte darauf
> kommen?
> Um das Volumen einer Kugel zu bestimmen brauch man doch
> auch nur den Radius der Kugel.
> Ein "Zeichenprogramm" würde dann automatisch die korrekte
> "Krümmung" zeichnen. Im Prinzip zeichnet man also einen
> "Kugelsektor" mit einem Winkel von 360°. Dann hat man eine
> Kugel.
> Ein Kugelsektor mit 180° wäre exakt eine Halbkugel.
Die "Winkel", die du hier meinst, werden nicht in
Grad gemessen, sondern allenfalls in "Quadrat-Grad",
wie das z.B. bei der Angabe des Blickfeldes eines
Feldstechers möglich wäre.
Der volle Raumwinkel ist nicht [mm] 2*\pi, [/mm] sondern [mm] 4*\pi [/mm] .
> "Pflanzt" sich das nicht nach festen Regeln fort, wenn der
> Winkel immer kleiner wird so, daß man z.B. bei einem
> angenommenen Winkel von 45° die Krümmung der Teiloberfläche
> bzw. die Höhe h sofort errechnen kann?
Feste Regeln gibt es, aber die bestehen nicht auf
einfachen Dreisatzrechnungen, weil die Kugel-
oberfläche gekrümmt ist.
> Ich kenne wie gesagt nur den Radius und die beiden Winkel.
von den beiden Winkeln [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] genügt sogar einer !
> So konnte ich mit Hilfe des Pythagoras auch den Durchmesser
> s des "Kegels" ausrechnen (In einem Dreieck brauch man drei
> Werte und eine Seite um alles in dem Dreieck zu
> errechnen).
> Also konnte ich bereits die Fläche und den Umfang des
> "Kegels" berechnen.
> Wenn diese Fläche genau definiert ist (und ich kenne
> bereits alle Werte dieses Kegels), definiert sich dann
> nicht automatisch auch die Höhe der Kugelkalotte?
Ja, die Höhe der Kalotte ist dann ja h=r-H
(r=Kugelradius, H=Höhe des Kegels).
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Do 01.01.2009 | | Autor: | Pantau |
Ach stimmt ja. Da hab ich ja grade voll auf dem Schlauch gestanden. ^^
Ok danke für die Antwort. :)
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Hallo Pantau,
Auf deine vorherige Frage hin habe ich mir
gerade noch überlegt, wie viele Quadratgrade
eigentlich der gesamte "Himmel" hat. Es
sind nicht 360 und auch nicht 720, sondern
etwa
41'253
Wenn es also heisst, man könne in einer
klaren Nacht mit blossem Auge etwa 3000
Sterne sehen (an der sichtbaren Himmelshälfte),
so ist dies nur ungefähr ein Stern auf sieben
Quadratgrad Himmelsfläche. Herzlich wenig
gegenüber der ungeheuren Fülle von fernen
Sternen und "deep sky objects", die sich erst
bei nächtelangen Aufnahmen mit Grossteles-
kopen vom Dunkel des Himmels abheben.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 01.01.2009 | | Autor: | Pantau |
Und wie kommst du auf 41'253?
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> Und wie kommst du auf 41'253?
$\ [mm] 1°=\bruch{\pi}{180}$
[/mm]
$\ 1\ [mm] Quadratgrad=(1°)^2=\left(\bruch{\pi}{180}\right)^2=\bruch{\pi^2}{32'400}$
[/mm]
Oberfläche der Einheitskugel:
$\ [mm] O=4*\pi$
[/mm]
[mm] $\bruch{O}{1\ Quadratgrad}=\bruch{4*\pi}{\bruch{\pi^2}{32'400}}=\bruch{4*32'400}{\pi}\approx41'252.96$
[/mm]
also $\ [mm] O\approx [/mm] 41'253\ \ Quadratgrad$
Hier noch ein Link: ![[]](/images/popup.gif) Quadratgrad
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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