Berechnung eines Punktes < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 So 28.11.2004 | | Autor: | Welpe |
Hallo.
Ich habe große Probleme bei einer Aufgabe:
"Die Antenne GH hat die Spitze H (8/14/16). Bestimme die Koordinaten des Antennenfußpunktes G. Kann man die Antennenspitze vom Punkt P (41/-7/1) aus sehen?" siehe Anhang
E2: 2x + 3 y - 48 = 0 (falls ich mich nicht verrechnet habe)
Ich brauche nur einen Ansatz, die Rechnung möchte ich selbst hinbekommen, aber ich weiß leider nicht mal, wie man diese Aufgabe angehen soll :-(. Vielen Dank im Voraus!
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Zuerst mal zur Ebene [mm]E_2[/mm]: ich hab als Ebenengleichung [mm]2x+3z=48[/mm] rausbekommen, vielleicht hast du dich nur vertippt.
Ich habe dafür die Punkte [mm]B(12/12/8)[/mm] , [mm]C(12/20/8)[/mm] und [mm]F(6/20/12)[/mm] verwendet. Und die Probe mit [mm]E(6/6/12)[/mm] hat auch geklappt.
Zum Lotfußpunkt: du musst die Geradengleichung der Antenne rausfinden. Einen Punkt der Antenne kennst du ja: H. Und der Richtungsvektor dürfte auch klar sein, die Gerade steht ja senkrecht zur Bodenebene. Und der Fußpunkt ist dann eben der Schnittpunkt der Gerade GH mit der Ebene [mm]E_2[/mm].
Kann man die Antennenspitze von P aus sehen?
Da dieser Punkt [mm]P(41/-7/1)[/mm] "ganz weit vorne" liegt (also zu dir), außerdem noch um 7 nach links und 1 nach oben verschoben, kannst du dir ja überlegen, welche Ebenen die Sicht auf die Antennenspitze versperren könnten. Diese Ebenengleichung(en) kannst du aufstellen, und schauen, ob sie den direkten Weg von P zur Spitze H versperren, also diese Gerade PH schneiden (-> Spitze sieht man nicht ), oder nicht schneiden (-> Spitze ist sichtbar).
Denk aber daran: eine Ebene im mathematischen Sinne erstreckt sich unendlich weit in alle ihre Richtungen. Wenn du einen Schnittpunkt von PH mit einer der Ebenen hast, dann überleg erst, ob dieser Punkt noch "zum Haus dazugehört", oder nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 28.11.2004 | | Autor: | Welpe |
Hallo, vielen, vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen.
Ich habe jetzt für den Punkt G (72/13; 14; 160/13) berechnet. Kann das angehen? Da ich bei zwei Ebenen keinen Schnittpunkt erhalten habe, bin ich davon ausgegangen, dass man die Antennenspitze vom Punkt P aus sehen kann. Vielen Dank für die Hilfen, ich hoffe auch, dass meine Berechnungen dazu stimmen :)
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Zuerstmal: dein Antennenfußpunkt scheint nicht zu stimmen. Da es vom Punkt H aus senkrecht runter geht, müsste der Punkt G doch in x- und y-Wert mit H übereinstimmen; nur der z-Wert (also die Höhe) sollte anders sein.
Meine Rechnung: [mm]H(8/14/16)[/mm], [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]g: \overrightarrow{x} = \vektor{8 \\ 14 \\ 16} + t*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Geschnitten mit der Ebene [mm]E_2 : 2x+3z=48[/mm] ergibt sich bei mit der Wert [mm]t=-\bruch{16}{3}[/mm] , und somit der Fußpunkt [mm]G(8/14/\bruch{32}{3})[/mm].
Zum Rest der Aufgabe kann ich leider nix sagen, weil in deinem ursprünglichen Fragetext das Bild (zumindest bei mir) gar nicht eingeblendet wird. Bei meiner ersten Antwort hatte ich es irgendwie geschafft, den Link sichtbar zu machen, und so an das Bild ranzukommen. Aber da der Matheraum-Server momentan ständig am Verrecken ist, kann ich auch nicht viel probieren, um das Bild wieder zu bekommen...
Und bei meinem Versuch, diesen Link wieder sichtbar zu machen, hab ich die alte, beantwortete Frage auch wieder als nur teilweise beantwortet markiert. Sehr toll.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 28.11.2004 | | Autor: | Welpe |
Vielen Dank! :)
Ich verstehe leider nicht, warum der Richtungsvektor [mm] \vektor{0 \\ 0\\1} [/mm] lautet? Ich hatte da den Normalenvektor der Ebene genommen, nämlich [mm] \vektor{2 \\ 0\\3} [/mm].
Bei der zweiten Aufgabe habe ich auch meinen Fehler gefunden. Ich habe aber den Schnitt der Gerade h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{41 \\ -7\\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{-33 \\ 21\\ 15} [/mm] und der Ebene
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{32 \\ 0\\ 0} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 8} [/mm] berechnet und dann festgestellt, dass man den Schnittpunkt [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{30 \\ 0\\ 6} [/mm] erhält, man die Spitze also nicht sehen kann. Kann man das auch so berechnen? Vielen Dank für die große Hilfe!
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Warum dieser Normalenvektor?
Diese Antenne steht ja senkrecht in der Gegend rum. Das heißt also, dass sie weder in x-, noch in y-Richtung, sondern nur in z-Richtung verläuft (also nur senkrecht zum Boden). Und somit ist der Richtungsvektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] - oder jeder andere Vektor, der von der Spitze zum Boden läuft, z.B. auch [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -16}[/mm] (Richtungsvektoren darf man ja "kürzen" - dieser Begriff stimmt hier zwar nicht, da wir keine Brüche haben, es ist aber so klar, was ich meine  ).
Antennenspitze sichtbar?
Dein Ansatz geht in eine ähnliche Richtung, wie meiner. Auch du hast eine Ebene aufgestellt, die parallel zur x-z-Ebene steht - aber leider geht deine Ebene nicht durch die Kante DE des Daches, sondern durch den Nullpunkt. Somit ist deine Ebene nicht parallel zur x-z-Achse, sondern sie ist die x-z-Achse.
Ach ja, deine Gerade h ist richtig, ich habe nur den Richtungsvektor noch durch 3 dividiert -> Richtungsvektoren darf man "kürzen", Stützvektoren nicht !!!!!!!! Wird gerne und oft falsch gemacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 So 28.11.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Noch was zum Normalenvektor: du kannst nicht den Normalenvektor von [mm]E_2[/mm] nehmen, weil die Antenne nicht senkrecht zum Dach, sondern senkrecht zum Boden steht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 So 28.11.2004 | | Autor: | Welpe |
Vielen, vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen. Ich werde mich jetzt noch mal schnell ransetzen, danke :).
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Also, das Bild konnte ich jetzt finden (in der ersten Version deiner Frage).
Nach meinen Berechnungen kann man die Spitze nicht sehen, weil:
ich habe die Geradengleichung vom Beobachtungspunkt [mm]P(41/-7/1)[/mm] zur Antennenspitze [mm]H(8/14/16)[/mm] aufgestellt; sie lautet bei mir:
[mm]h: \overrightarrow{x}=\vektor{8 \\ 14 \\ 16} + t* \vektor{-11 \\ 7 \\ 5}[/mm]
Jetzt habe ich geschaut, ob es diese Gerade über die Dachkante DE schafft:
diese Kante verläuft ja beim konstanten y-Wert [mm]y=6[/mm]. Also schauen wir doch einfach mal, wo diese Gerade ist, wenn sie als y-Wert [mm]y=6[/mm] hat (also genau über / unter dieser DE-Kante ist):
wenn wir in die Geradengleichung von h bei y den Wert 6 einsetzen (also nur die zweite Zeile der Geradengleichung betrachten), dann ergibt sich für den Geradenparameter [mm]t=- \bruch{8}{7}[/mm]. Damit können wir auch berechnen, bei welcher x- und z-Koordinate die Gerade ist, wenn sie gerade unter / über der Kante durchläuft:
für x erhalte ich (also der Wert für t in die erste Zeile von der h-Gleichung einsetzen): [mm]x = \bruch{144}{7} \approx 20,57[/mm]
Da das Haus in x-Richtung insgesamt 32 Längeneinheiten beansprucht, könnte unsere "Beobachtungsgerade" also "das Haus schneiden", und somit die Antennenspitze unsichtbar machen. Jetzt kommt's nämlich auf die z-Komponente an: schafft es unsere Beobachtungslinie über die DE-Kante, oder bleiben wir daran hängen?
Mit dem [mm]t=- \bruch{8}{7}[/mm] in die 3. Zeile der h-Gleichung erhalten wir die z-Komponente: [mm]z = \bruch{72}{7} \approx 10,3[/mm]
Und das ist leider etwa 1,7 Meter zu tief, denn das Haus (bzw. die DE-Kante) verläuft in einer Höhe von 12 Metern. Somit schafft es unsere Beobachtungslinie nicht "am Haus vorbei", und wie können die Spitze nicht sehen.
Ich hoffe, ich hab mich nirgends vertan.....
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