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Forum "Uni-Stochastik" - Berechnung von Erwartungswert
Berechnung von Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Berechnung von Erwartungswert: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 Fr 25.02.2005
Autor: SamStone

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo, ich komme bei folgenden beiden Aufgaben nicht weiter und möchte euch gerne um Hilfe bitten:

Sei x poissonverteilt, berechne Erwartungswert von (x+1)*(x-1)
Sei x poissonverteilt, berechne Erwartungswert von [mm] 2^x [/mm]

Ich habe zwar eine Vorstellung davon was der Erwartungswert ist und wie man ihn berechnet, nur in Verbidung mit der Poissonverteilung und bei den obigen Konstellationen fehlt mir das Verständnis wie ich das berechnen muss.
Viele Grüsse
SamStone


        
Bezug
Berechnung von Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Fr 25.02.2005
Autor: Julius

Hallo SamStone!

Im ersten Fall würde ich so ansetzen:

$E[(X+1)(X-1)]$

$= E[X(X-1)] + E[X]-1$

[mm] $=e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] k(k-1) [mm] \cdot \frac{\lambda^k}{k!} [/mm] + [mm] e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] k [mm] \cdot \frac{\lambda^k}{k!} [/mm] - 1$

$= [mm] \ldots$. [/mm]

Und die zweite Aufgabe ist wirklich ganz einfach:

[mm] $E[2^X]$ [/mm]

[mm] $=e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{\infty}2^k \cdot \frac{\lambda^k}{k!}$ [/mm]

$= [mm] e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(2\lambda)^k}{k!}$ [/mm]

$= [mm] \ldots$. [/mm]

Schaffst du es jetzt die Ansätze zu Ende zu führen? Der Rest ist eigentlich simple Rechnerei. Da man sich dabei aber gerne vertut ;-), kannst du deine Lösungen gerne zur Kontrolle hier hereinstellen.

Viele Grüße
Julius

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Bezug
Berechnung von Erwartungswert: Rückfrage zun 1ten Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Fr 04.03.2005
Autor: SamStone

Hi Julius!
Zunächst erstmal Danke für die schnelle Antwort!
Jetzt ist einiges klarer, wo es bei mir noch hapert, ist wie du den Ansatz der ersten Aufgabe gemacht hast, irgendwie blicke ich da noch nicht durch!

Viele Grüsse
SamStone

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Bezug
Berechnung von Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Fr 04.03.2005
Autor: Julius

Hallo!

Ich wusste halt, dass man die Ausdrücke $E[X(X-1)]$ und $E[X]$ für die Poissonverteilung leicht berechnen kann.

Jetzt rechne ich also wie folgt:

[mm] $E[(X+1)\cdot [/mm] (X-1)]$

$= E[X [mm] \cdot [/mm] (X-1) + 1 [mm] \cdot [/mm] (X-1)]$

(Distributivgesetz)

$= E[X [mm] \cdot [/mm] (X-1) + X - 1]$

$= [mm] E[X\cdot [/mm] (X-1)] + E[X] - E[1]$

(Linearität des Erwartungswertes)

$ = [mm] E[X\cdot [/mm] (X-1)] + E[X] - 1$.

(Erwartungswert einer konstanten Funktion ist die Konstante)

Jetzt klarer? :-)

Viele Grüße
Julius

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Bezug
Berechnung von Erwartungswert: Lösung zur ersten Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:38 Sa 05.03.2005
Autor: SamStone

Nochmals herzlichen Dank! Jetzt habe ich es verstanden! :-)
So ich setze hier mal meine Lösung zur ersten Aufgabe rein, die zweite muss ich noch! Hoffe ich liege richtig:

E[(x+1)(x-1)]
= ...
= [mm] e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}k*(k-1)* \bruch{\lambda^k}{k!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}k*\bruch{\lambda^k}{k!}-1 [/mm]

= [mm] \lambda*e^{-\lambda} *\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{(k*(k-1))^k}{k!}+\lambda*e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{k^k}{k!}-1 [/mm]

[mm] =\lambda*e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{ \infty}\underbrace{\bruch{1^k}{(k-2)!}}_{geht gegen 1}+\lambda*e^{-\lambda}-1*\summe_{k=0}^{ \infty}\underbrace{\bruch{1^k}{(k-1)!}}_{geht gegen 1} [/mm]

[mm] =2*\lambda*e^{-\lambda} [/mm] - 1

Bezug
                                        
Bezug
Berechnung von Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:58 Sa 05.03.2005
Autor: Julius

Hallo SamStone!

> E[(x+1)(x-1)]
>  = ...
>  = [mm]e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}k*(k-1)* \bruch{\lambda^k}{k!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}k*\bruch{\lambda^k}{k!}-1 [/mm]
>  
>
> = [mm]\lambda*e^{-\lambda} *\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{(k*(k-1))^k}{k!}+\lambda*e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{k^k}{k!}-1 [/mm]

Ich sehe nicht, was du hier machst. [haee]

Richtig geht es so:

[mm]e^{-\lambda}* \summe_{k=2}^{ \infty}k*(k-1)* \bruch{\lambda^k}{k!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=1}^{ \infty}k*\bruch{\lambda^k}{k!}-1 [/mm]

[mm]e^{-\lambda}* \summe_{k=2}^{ \infty} \bruch{\lambda^k}{(k-2)!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^k}{(k-1)!}-1 [/mm]

[mm]e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^{k+2}}{k!}+e^{-\lambda}* \summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^{k+1}}{k!}-1 [/mm]

[mm]e^{-\lambda}* \lambda^2 * \summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^{k}}{k!}+e^{-\lambda}* \lambda\summe_{k=0}^{ \infty}\bruch{\lambda^{k}}{k!}-1 [/mm]

[mm]e^{-\lambda}* \lambda^2 * e^{\lambda} +e^{-\lambda}* \lambda * e^{\lambda} -1 [/mm]

$= [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] -1$.

Viele Grüße
Julius



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Bezug
Berechnung von Erwartungswert: Lösungsansatz zur 2ten Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 Di 15.03.2005
Autor: SamStone

Hallo Julius!
Nochmals Danke! Habe oben ziemlichen Unsinn fabriziert, wie ich jetzt bemerkt habe!
Naja, Fehler machen schlau!
Ok dann möchte ich mich mal an der 2ten Aufgabe versuchen:

[mm] E[2^{x}] [/mm]
= [mm] e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}2^{k}* \bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm]

[mm] =e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(2*\lambda)^{k}}{k!} [/mm]

[mm] =e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(\lambda+\lambda)^{k}}{k!} [/mm]

[mm] =e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{\lambda^{k}}{k!}+\bruch{\lambda^{k}}{k!}) [/mm]

[mm] =e^{-\lambda}*(e^{\lambda} [/mm] + [mm] e^{\lambda}) [/mm]

= 2
              

hoffe dass ich diesmal richtig liege!
Viele Grüsse
SamStone

Bezug
                                                        
Bezug
Berechnung von Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Do 17.03.2005
Autor: Julius

Hallo!

Nein, deine Lösung ist leider falsch! [notok]

>  Ok dann möchte ich mich mal an der 2ten Aufgabe
> versuchen:
>  
> [mm]E[2^{x}][/mm]
> = [mm]e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}2^{k}* \bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm]

[ok]  

>
> [mm]=e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(2*\lambda)^{k}}{k!} [/mm]

[ok]

>
> [mm]=e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(\lambda+\lambda)^{k}}{k!} [/mm]

[ok] (bringt nur nichts)

>
> [mm]=e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{\lambda^{k}}{k!}+\bruch{\lambda^{k}}{k!}) [/mm]

[notok] Dieser Schritt ist nicht erlaubt. Im Allgemeinen gilt nicht [mm] $(x+y)^k [/mm] = [mm] x^k [/mm] + [mm] y^k$, [/mm] vergleiche mal die Binomischen Formeln.

Stattdessen geht es so weiter:

$ [mm] \ldots [/mm] = [mm] e^{-\lambda}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(2*\lambda)^{k}}{k!}$ [/mm]

[mm] $=e^{-\lambda} \cdot e^{2\lambda}$ [/mm]

$= [mm] e^{\lambda}$. [/mm]

Viele Grüße
Julius


Bezug
        
Bezug
Berechnung von Erwartungswert: 2 neue Probleme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Mi 16.03.2005
Autor: SamStone

Hier habe ich noch zwei weitere Probleme,
ich fange mal mit dem ersten an: Sei X~Bi(6, [mm] \bruch{1}{3}) [/mm]
Berechne [mm] EX^2 [/mm]
Mich würde interessieren ob der folgende Ansatz korrekt ist:

[mm] EX^2= \summe_{k=0}^{N}k*k*P(X=k) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{N}k*k* \vektor{N \\ k}*p^k*(1-p)^{N-k} [/mm]

danach würde ich einfach die Werte einsetzen und entsprechend bis 6 aufsummieren.

Die zweite  Aufgabe zu der ich noch keine richtige Idee habe ist: Sei X ~UC[0,1]
Berechne [mm] E(X-EX)^6 [/mm]

Wäre super wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte! Ich glaube ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht!


Bezug
                
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Berechnung von Erwartungswert: Antwort zu Teil1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Mi 16.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, SamStone,

> Hier habe ich noch zwei weitere Probleme,
>  ich fange mal mit dem ersten an: Sei X~Bi(6,
> [mm]\bruch{1}{3}) [/mm]
>  Berechne [mm]EX^2 [/mm]

Meinst Du [mm] E(X^{2}) [/mm] oder [mm] (E(X))^{2}? [/mm]
Ich vermute mal: ersteres.
Dann gilt die Verschiebungsformel: Var(X) = [mm] E(X^{2}) [/mm] - [mm] (E(X))^{2} [/mm]
Daraus: [mm] E(X^{2}) [/mm] = Var(X) + [mm] (E(X))^{2} [/mm]
Nun hast Du wegen der Binomialverteilung: [mm] E(X^{2}) [/mm] = [mm] (6*\bruch{1}{3})^{2} [/mm] + [mm] 6*\bruch{1}{3}*\bruch{2}{3} [/mm] = 4 + [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = [mm] \bruch{16}{3} [/mm]

>  Mich würde interessieren ob der folgende Ansatz korrekt
> ist:
>  
> [mm]EX^2= \summe_{k=0}^{N}k*k*P(X=k)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{N}k*k* \vektor{N \\ k}*p^k*(1-p)^{N-k} [/mm]
>  
>
> danach würde ich einfach die Werte einsetzen und
> entsprechend bis 6 aufsummieren.

>
Und ich glaube, Du bekommst dasselbe raus, aber: Was geht schneller?!


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