Berechnung von Grenzwerten < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Shizo |
| Aufgabe 1 | Man berechne den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(ax)}{sin(bx)} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Sei [mm] f(x)=e^{-\bruch{1}{x^{2}}}. [/mm] Man berechne [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f'(x) |
Hallo liebe Gemeinde,
ich sitze nun vor meinem ungeliebten Freund. Dem Limes.
Leider sind wir nicht gut aufeinander zu sprechen. Deshalb möchte ich euch, um eure Hilfe bitten.
Meine Lösungsansätze:
Zu Aufgabe 1:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(ax)}{sin(bx)}
[/mm]
für [mm] x\rightarrow0 [/mm] erhalten wir den Grenzwert 0.
Wendet man jetzt die Regel von L’Hospital an:
[mm] f'(x)=\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{sin(ax)}{sin(bx)})'
[/mm]
so erhalten wir:
[mm] f'(x)=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos(ax)}{cos(bx)}
[/mm]
für [mm] x\rightarrow0 [/mm] ergibt sich [mm] \bruch{cos(0)}{cos(0)}=\bruch{1}{1}=1
[/mm]
Für mehrmaliges Anwenden der Regel würde sich die Rechnung wiederholen. Was beutet das für den Grenzwert?
Zu Aufgabe 2:
[mm] f(x)=e^{-\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\limes_{x\rightarrow0}-\bruch{1}{x^{2}}*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
für [mm] x\rightarrow0 [/mm] würde sich der Grenzwert 0 ergeben.
Sind meine Ansätze nachzuvollziehen?
Gruß
Anton
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Hallo Anton,
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(ax)}{sin(bx)}[/mm]
> > >
> > > für [mm]x\rightarrow0[/mm] erhalten wir den Grenzwert 0.
> >
> > Du meinst wohl: jeweils in Zähler und Nenner. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ergibt sich das denn nicht aus der Rechnung?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(ax)}{sind(bx)}=\bruch{sin(a*0)}{sin(b*0)}=0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das ergibt doch [mm]\frac{0}{0}[/mm], also einen unbestimmten Ausdruck.
Wieso sollte das =0 sein?
Das kann alles mögliche sein, hier wird sich rausstellen, dass es [mm]\frac{a}{b}[/mm] ist ...
>
> Oder muss ich noch etwas beachten?
>
> > > Wendet man jetzt die Regel von L’Hospital an:
> > >
> > > [mm]f'(x)=\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{sin(ax)}{sin(bx)})'[/mm]
> > >
> > > so erhalten wir:
> > >
> > > [mm]f'(x)=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos(ax)}{cos(bx)}[/mm]
> >
> > Du hast jeweils die innere Ableitung gemäß
> >  Kettenregel vergessen.
> >
> > Und auch das [mm]f'(x) \ = \ ...[/mm] stimmt hier so nicht. Das hat
> > nichts mit der Ableitung der Funktion zu tun.
>
> An dieser Stelle muss ich leider passen. Wie lässt sich
> hier die Kettenregel anwenden.
>
> f'(x)=h'(x)*g'(h(x))
>
> Was ist bei diesem Ausdruck h(x) und was g(x)?
> Und mir kommt noch eine weitere Frage. Lässt sich hier
> nicht die Quotientenregel anwenden?
Nein, du musst ja Zähler und Nenner getrennt ableiten.
Du hast [mm]f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}[/mm] und musst nun gem. de l'Hôpital berechnen [mm]\frac{z'(x)}{n'(x)}[/mm] und bei diesem Ausdruck nochmal [mm]x\to 0[/mm] betrachten ...
Sowohl Zähler als auch Nenner lassen sich per Kettenregel ableiten:
Zähler: [mm]z(x)=\sin(ax)[/mm]: äußere Funktion ist der Sinus, [mm]g(x)=\sin(x)[/mm] , innere Funktion ist [mm]h(x)=ax[/mm], du hast also [mm]z(x)=g(h(x))=\sin(ax)[/mm]
Also [mm]z'(x)=\ldots[/mm]
Analog mit dem Nenner ...
>
>
> > > Für mehrmaliges Anwenden der Regel würde sich die
> > > Rechnung wiederholen. Was beutet das für den Grenzwert?
> >
> > Das verstehe ich nicht. ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Was meinst Du?
>
> Ein wenig konfus, gebe ich zu. Da habe ich mir was
> zusammengereimt aufgrund folgender Aussage:
>
> "Führt die erste Ableitung wieder auf einen unbestimmten
> Ausdruck, so kann man darauf erneut die Regel von
> L’Hospital anwenden, was möglicherweise in endlich
> vielen Schritten zum Ziel führt."
Ja, hoffentlich, wenn du nach endich vielen Schritten einen GW heraushast, so ist dies der GW des Ausgangstermes!
Hier reicht aber 1 Anwendung der besagten Regel!
>
>
> Gruß
>
> Anton
Gruß
schachuzipus
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Hallo Anton!
> Zu Aufgabe 2:
>
> [mm]f(x)=e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\limes_{x\rightarrow0}-\bruch{1}{x^{2}}*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
Du hast falsch abgeleitet. (Und auch das [mm]\lim[/mm]-Symbol hat hier nichts verloren.)
Wie lautet denn die Ableitung zu [mm]-\bruch{1}{x^2}[/mm] ?
> für [mm]x\rightarrow0[/mm] würde sich der Grenzwert 0 ergeben.
Das müsstest Du dann auch schon mit etwas Rechnung belegen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Shizo |
> > Zu Aufgabe 2:
> >
> > [mm]f(x)=e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
> >
> >
> [mm]f'(x)=\limes_{x\rightarrow0}-\bruch{1}{x^{2}}*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
>
> Du hast falsch abgeleitet. (Und auch das
> [mm]\lim[/mm]-Symbol hat hier nichts verloren.)
>
> Wie lautet denn die Ableitung zu [mm]-\bruch{1}{x^2}[/mm] ?
Du hast recht. Da war ich etwas voreilig.
[mm] \limes_{x\rightarrow0}f'(x)=\bruch{2}{x^{3}}*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
> > für [mm]x\rightarrow0[/mm] würde sich der Grenzwert 0 ergeben.
>
> Das müsstest Du dann auch schon mit etwas Rechnung
> belegen.
[mm] \limes_{x\rightarrow0}f'(x)=\bruch{2}{x^{3}}*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
für [mm] x\rightarrow0 :f'(x)=\bruch{2}{0^{3}}*e^{-\bruch{1}{0^{2}}}=0
[/mm]
Soweit richtig!?
Gruß
Anton
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Hallo Shizo,
denkst Du eigentlich über das nach, was Du schreibst?
> > > Zu Aufgabe 2:
> > >
> > > [mm]f(x)=e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]f'(x)=\limes_{x\rightarrow0}-\bruch{1}{x^{2}}*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
> >
> > Du hast falsch abgeleitet. (Und auch das
> > [mm]\lim[/mm]-Symbol hat hier nichts verloren.)
> >
> > Wie lautet denn die Ableitung zu [mm]-\bruch{1}{x^2}[/mm] ?
>
> Du hast recht. Da war ich etwas voreilig.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}f'(x)=\bruch{2}{x^{3}}*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
Was macht der Limes schon wieder hier? Erstmal solltest Du die Ableitung ermitteln. Die stimmt jetzt.
> > > für [mm]x\rightarrow0[/mm] würde sich der Grenzwert 0 ergeben.
> >
> > Das müsstest Du dann auch schon mit etwas Rechnung
> > belegen.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}f'(x)=\bruch{2}{x^{3}}*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
Schwachsinn. Entweder auf beiden Seiten der Gleichung Limes, oder auf keiner.
> für [mm]x\rightarrow0 :f'(x)=\bruch{2}{0^{3}}*e^{-\bruch{1}{0^{2}}}=0[/mm]
>
> Soweit richtig!?
Wie kommst Du denn darauf? Das ist völliger Quark.
Der Zähler geht gegen Null, der Nenner auch. Was sagt Dir das?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Shizo |
> Schwachsinn. Entweder auf beiden Seiten der Gleichung
> Limes, oder auf keiner.
Von nun an werden keine limes mehr gesetzt!
> > für [mm]x\rightarrow0 :f'(x)=\bruch{2}{0^{3}}*e^{-\bruch{1}{0^{2}}}=0[/mm]
>
> >
> > Soweit richtig!?
>
> Wie kommst Du denn darauf? Das ist völliger Quark.
Mathe ist für mich eine Magie. Deshalb sehe ich Kleinigkeiten nicht auf Anhieb. Wenn ich dich richtig verstanden habe, lässt sich die Funktion folgendermaßen ausschreiben.
[mm] f'(x)=\bruch{2*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}}{x^{3}}
[/mm]
Und daraus folgt der unbestimmte Ausdruck [mm] \bruch{0}{0}.
[/mm]
Weiteres Anwenden der Regel von L'Hospital führt zum gleich Ergebnis.
> Der Zähler geht gegen Null, der Nenner auch. Was sagt Dir
> das?
Ich weiß es nicht. Laut der Aussage: Nach mehreren Anwendung der Regel von L'Hospital lässt sich "möglicherweise" eine Lösung finden.
Was bedeutet das denn, wenn es nicht der Fall ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Fr 20.05.2011 | | Autor: | abakus |
> > Schwachsinn. Entweder auf beiden Seiten der Gleichung
> > Limes, oder auf keiner.
>
> Von nun an werden keine limes mehr gesetzt!
>
> > > für [mm]x\rightarrow0 :f'(x)=\bruch{2}{0^{3}}*e^{-\bruch{1}{0^{2}}}=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Soweit richtig!?
> >
> > Wie kommst Du denn darauf? Das ist völliger Quark.
>
>
> Mathe ist für mich eine Magie. Deshalb sehe ich
> Kleinigkeiten nicht auf Anhieb. Wenn ich dich richtig
> verstanden habe, lässt sich die Funktion folgendermaßen
> ausschreiben.
>
> [mm]f'(x)=\bruch{2*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}}{x^{3}}[/mm]
>
> Und daraus folgt der unbestimmte Ausdruck [mm]\bruch{0}{0}.[/mm]
>
> Weiteres Anwenden der Regel von L'Hospital führt zum
> gleich Ergebnis.
>
>
> > Der Zähler geht gegen Null, der Nenner auch. Was sagt Dir
> > das?
>
> Ich weiß es nicht. Laut der Aussage: Nach mehreren
> Anwendung der Regel von L'Hospital lässt sich
> "möglicherweise" eine Lösung finden.
> Was bedeutet das denn, wenn es nicht der Fall ist.
Hallo,
die Aussage bedeutet konkret:
Der Antwortgeber gibt dir einen Wink mit dem Zaunpfahl, wird dir aber nicht die Arbeit abnehmen, diesem Hinweis selbständig nachzugehen.
Ich greife mal diesen Wink auf:
Besteht die begründete Hoffnung, dann nach mehrmaliger Ableitung der Zähler- und Nennerfunktion von [mm] \bruch{2*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}}{x^{3}} [/mm] nicht mehr der Fall "0/0" auftritt?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Shizo |
Ich bin verwirrt. Ich hatte im vorigen Post doch schon erwähnt, dass weiteres Ableiten zu keinem bestimmten Ergbnis führt.
> Besteht die begründete Hoffnung, dann nach mehrmaliger
> Ableitung der Zähler- und Nennerfunktion von
> [mm]\bruch{2*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}}{x^{3}}[/mm] nicht mehr der Fall
> "0/0" auftritt?
> Gruß Abakus
Der Exponenet im Nenner wächst zwar deutlich an, aber solange [mm] x\rightarrow0, [/mm] folgt auch [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] für alle weiteren Ableitungen.
Ich möchte mich entschuldigen, falls ich einige Personen hier mit meinen Fragen zur Weißglut bringe. Ich fühle mich in meiner Rolle auch nicht gerade Wohl. Ich merke selbst, dass ich eine riesige Wissenlücke habe.
Trotzallem vielen Dank
Anton
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Hallo Anton,
Du bist zu voreilig. So schnell kommt man hier nicht zum Ergebnis.
> Ich bin verwirrt. Ich hatte im vorigen Post doch schon
> erwähnt, dass weiteres Ableiten zu keinem bestimmten
> Ergbnis führt.
Einmaliges weiteres Ableiten nicht, in der Tag.
> > Besteht die begründete Hoffnung, dann nach mehrmaliger
> > Ableitung der Zähler- und Nennerfunktion von
> > [mm]\bruch{2*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}}{x^{3}}[/mm] nicht mehr der Fall
> > "0/0" auftritt?
> > Gruß Abakus
>
>
> Der Exponenet im Nenner wächst zwar deutlich an, aber
> solange [mm]x\rightarrow0,[/mm] folgt auch [mm]\bruch{0}{0},[/mm] für alle
> weiteren Ableitungen.
Im Gegenteil. Der Exponent im Nenner sinkt mit jeder weiteren Ableitung, je nachdem, wie man es angeht. Siehe unten.
> Ich möchte mich entschuldigen, falls ich einige Personen
> hier mit meinen Fragen zur Weißglut bringe. Ich fühle
> mich in meiner Rolle auch nicht gerade Wohl. Ich merke
> selbst, dass ich eine riesige Wissenlücke habe.
Nicht doch. Das Forum ist doch dazu da, Wissenslücken zu beheben. Aber das wird vor allem Deine Arbeit sein. Dir ist nicht geholfen, wenn jemand die Aufgabe einfach löst, denn dann kannst Du die nächste Aufgabe wieder nicht selbst lösen. Wir sind hier, damit Du Unterstützung dabei findest, etwas selbst zu lernen.
schachuzipus hat Dir schon geschrieben, dass bei der Anwendung von de l'Hospital Zähler und Nenner getrennt voneinander abzuleiten sind. Diese Aufgabe hat allerdings die eingebaute Gemeinheit, dass man hier ziemlich aufs Glatteis geraten kann.
Wenn Du Dir mal überlegst, wie der Graph der eigentlichen Funktion [mm] f(x)=e^{-\bruch{1}{x^2}} [/mm] aussieht, dann verläuft die Funktion symmetrisch zur y-Achse, hat bei x=0 eine Nullstelle und verläuft sonst im Positiven, und nähert sich im Unendlichen asymptotisch der Geraden y=1. Die Ableitung bei x=0 hat also sozusagen nur zwei Möglichkeiten, weil dort das globale Minimum der Funktion liegt: entweder sie ist selbst Null (also f'(0)=0), oder sie ist nicht bestimmbar, weil f'(x) bei Null eine Unstetigkeit hat bzw. einen "Sprungstelle". Das wäre z.B. der Fall, wenn die Funktion hier eine "Spitze" ausbildet, anschaulich gesprochen.
Das bekommt man nur heraus, wenn man den in der Aufgabe gesuchten Grenzwert bestimmt.
Gesucht ist also [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{2e^{-\bruch{1}{x^2}}}{x^3}
[/mm]
Da Zähler und Nenner gegen Null gehen, wenden wir de l'Hospital an und erhalten:
[mm] \lim_{x\to 0}\bruch{2e^{-\bruch{1}{x^2}}}{x^3}=\lim_{x\to 0}\bruch{-4e^{\bruch{1}{x^2}}*\bruch{1}{x^3}}{3x^2}=\lim_{x\to 0}-\bruch{4e^{\bruch{1}{x^2}}}{3x^5}
[/mm]
Hm. Das sieht nicht vielversprechend aus. So wie es aussieht, wird also in der Tat die Potenz im Nenner immer größer. So bekommen wir sie also nicht weg. Auch Substitutionen wie [mm] z=\bruch{1}{x} [/mm] oder [mm] z=\bruch{1}{x^2} [/mm] helfen nicht weiter, nicht einmal [mm] z=e^{-\bruch{1}{x^2}}.
[/mm]
Mit anderen Worten: de l'Hospital ist hier ausnahmsweise nicht hilfreich.
So scheint es jedenfalls.
Es gibt aber doch einen Weg. Manchmal kommt es - auch und gerade bei der Anwendung von de l'Hospital - nur darauf an, geschickt umzuformen:
Mit der Substitution [mm] z=\bruch{1}{x} [/mm] ist [mm] \bruch{2e^{-\bruch{1}{x^2}}}{x^3}=\bruch{2z^3}{e^{z^2}}
[/mm]
Und siehe da: damit klappts.
Wegen der Substitution musst Du natürlich [mm] z\to\pm\infty [/mm] betrachten.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 So 22.05.2011 | | Autor: | Shizo |
Tricky. In der Tat. Ich wäre an dieser Stelle nicht auf die Substitution gekommen. Danke nochmals für den Hinweis.
Danke auch an alle anderen, die mir bei diesem schwierigen Weg geholfen haben.
Gruß
Anton
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